CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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CORRIENTES ALTERNAS

Circuitos inductivos en serie

Circuito en serie en corriente alterna. Vimos que un cuadro de hilo conductor, que gira con velocidad angular constante en un campo magnético uniforme, produce una fuerza electromotriz (fem) alterna sinusoidal. Este sencillo dispositivo es el prototipo de los generadores industriales de corriente alterna, o alternadores, representándose en la figura siguiente la estructura del inductor y del inducido. Alrededor de la circunferencia interna del estator están distribuidos cierto número de pares de polos. Como cada conductor situado sobre la superficie del inducido o rotor corta el campo magnético, se produce en él una fem inducida, en determinado sentido cuando el conductor pasa por un polo norte y en sentido opuesto cuando pasa por un polo sur. La fem inducida es, por consiguiente, alterna, y el número de ciclos completos en cada vuelta es igual al número de pares de polos. Esta disposición multipolar permite alcanzar una frecuencia suficientemente grande sin que sea necesario utilizar una velocidad angular peligrosamente elevada.

Figura : Esquema de un generador industral de corriente alterna

La fem inducida de un alternador industrial puede diferir de la forma sinusoidal perfecta, pero, a menos que no se diga expresamente otra cosa, supondremos en estas páginas que utilizamos un alternador que mantiene entre sus bornes una diferencia de potencial sinusoidal dada por:

v =Vm sen 2πft,

siendo v la diferencia de potencial instantánea, Vm la diferencia de potencial máxima y f la frecuencia, igual al número de revoluciones por segundo del rotor multiplicado por el número de pares de polos. En Estados Unidos, para muchos de los alternadores, f = 60 ciclos/seg.

Figura : Circuito formado por una resistencia, una autoinducción y una capacidad dispuestas en serie.

Vamos a determinar ahora la intensidad de corriente que se obtiene en un circuito cuando se mantiene entre sus bornes una diferencia de potencial sinusoidal alterna. Sea un circuito constituido por una resistencia, una autoinducción y un condensador, conectados en serie entre los bornes de un alternador, como se representa en la figura a continuación. La diferencia de potencial instantánea entre a y b es la suma de las diferencias de potencial instantáneas entre los bornes de R, L y C. Esto es,

siendo i, di/dt y q la intensidad instantánea de la corriente, su derivada respecto al tiempo y la carga del condensador, respectivamente.

Derivando esta ecuación respecto a t, y sustituyendo dq/dt por i, se obtiene:

Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución es:

 

 

Esta ecuación parece complicada pero su interpretación no es difícil. Consideremos en primer lugar el término :

Las magnitudes A y b dependen de las constantes del circuito y de las condiciones iniciales, esto es, de los valores de V, i, di/dt y q en el instante de cerrar el circuito. El factor ε-bt decrece exponencialmente con el tiempo y se hace despreciable al cabo de un tiempo suficiente (de ordinario muy pequeño). Este factor es transitorio y aunque en la práctica las diferencias de potencial y las corrientes transitorias pueden adquirir valores peligrosamente grandes, no los tendremos en cuenta y sólo consideraremos el primer término, que se denomina solución del estado estacionario.

Se ve que la corriente correspondiente al estado estacionario varía sinusoidalmente con el tiempo, lo mismo que el voltaje entre los bornes. Su valor máximo es:

La intensidad de la corriente en el estado estacionario puede escribirse, por tanto,

i = Im sen (2πft - φ).

La frecuencia de la intensidad de corriente es, por tanto, la misma que la del voltaje, pero ambas difieren en la fase, o sea, están desfasadas en un ángulo φ.

Introduzcamos las siguientes simplificaciones:

La magnitud Z se denomina impedancia del circuito; X es la reactancia y XL y XC son la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva, respectivamente. Las impedancias y las reactancias se expresan en ohmios.

La intensidad máxima de corriente está relacionada con la máxima diferencia de potencial por una ecuación que tiene la misma forma que la ley de Ohm, para las corrientes continuas, correspondiendo la impedancia Z a la resistencia R.

Medias cuadráticas o valores eficaces.

Los valores instantáneos de una intensidad de corriente, fem o diferencia de potencial alternas, varían de un modo continuo desde un valor máximo en un sentido, pasando por cero, hasta un máximo en sentido opuesto, y así sucesivamente. Es más cómodo estudiar las corrientes alternas considerando sus valores cuadráticos medios en lugar de sus valores máximos.

El valor cuadrático medio de la intensidad de una corriente variable se define como el valor de la intensidad de una corriente constante que desarrollase la misma cantidad de calor en igual tiempo y en la misma resistencia, y por esta razón se denomina al valor cuadrático medio, valor eficaz de la corriente variable.

La derivada respecto al tiempo de la cantidad de calor desarrollada en una resistencia R, que transporta una corriente alterna sinusoidal  

i = Im sen ωt

es :

i2R = Im2R sen2 ωt

La cantidad total de calor desarrollada en un tiempo T, igual a un período, es:

La cantidad de calor desarrollada por una corriente de intensidad constante le en el mismo tiempo es:

Puesto que por definición de le las cantidades de calor son iguales,

Por consiguiente, si la intensidad de una corriente varia sinusoidalmente, su valor eficaz es 1/ √2 = 0,707 veces su valor máximo. Asimismo, el valor eficaz de una diferencia de potencial que varíe sinusoidalmente es 1/ √2 veces su valor máximo; p. ej., cuando se dice que la diferencia de potencial alterno entre los dos cables de una línea de suministro doméstico es 110 V, ello significa que la diferencia de potencial eficaz es 110 V, y, por consiguiente, la diferencia de potencial máxima será 110 X √2 = 155 V.

Dividiendo por √2 el primero y el último miembros de la ecuación obtenemos:

De ahora en adelante, interpretaremos que las letras I, ε o V sin subíndices, se refieren a los valores eficaces de las magnitudes correspondientes. La ecuación anterior se escribirá, por tanto,

Consideremos ahora los factores que determinan la resistencia, reactancia e impedancia de un circuito. En primer lugar, la resistencia de un conductor que transporta una corriente alterna puede no ser la misma que la resistencia del mismo conductor cuando transporta una corriente constante. La diferencia se debe al hecho de que la densidad de corriente en un hilo que transporta una corriente alterna no es uniforme en toda la sección del mismo, sino mayor junto a la superficie. Este fenómeno se conoce con el nombre de efecto cortical, efecto superficial o efecto skin. La sección efectiva del conductor se reduce y su resistencia aumenta. El efecto cortical es originado por la fem autoinducida creada por las variaciones del flujo interno en un conductor, y es mayor cuanto más elevada es la frecuencia. Aunque este efecto es un factor importante para las frecuencias utilizadas en radio, puede despreciarse de ordinario para las frecuencias de 60 ciclos/seg. La resistencia real de un conductor, a cualquier frecuencia, se denomina su resistencia eficaz para aquella frecuencia. A menos que explícitamente se diga otra cosa, no tendremos en cuenta el efecto cortical y supondremos que la resistencia de un conductor es independiente de la frecuencia.

 

La reactancia de una autoinducción, XL = 2πfL, es proporcional a la vez al coeficiente de autoinducción y a la frecuencia. Si hay un núcleo de hierro asociado al inductor, entonces el coeficiente de autoinducción no es constante, pero de nuevo para mayor sencillez no tendremos en cuenta esta variación.

La reactancia capacitiva, Xc = 1/2πfC, es inversamente proporcionala la capacidad y a la frecuencia.

La relación entre la impedancia Z de un circuito en serie y los valores de R, XLy Xc puede representarse gráficamente considerando todas estas magnitudes como vectores. La resistencia R se representa por un vector situado sobre el eje X, y cuyo sentido coincide con el sentido positivo del mismo; y las reactancias XLy Xc por vectores situados sobre el eje Y y en los sentidos positivo y negativo, respectivamente. La impedancia es el vector suma geométrica o resultante de estos tres vectores. Véase la figura a continuación, denominada diagrama del vector impedancia del circuito. Esta figura se ha dibujado para el casoXL> Xc y, por tanto, X es positiva. Si XL< Xc, resulta X negativa y se dirige hacia abajo en vez de hacia arriba.

Figura : Diagrama del vector impedancia correspondiente al circuito serie de la figura superior.

Temas relacionados :

Ejemplo.- ¿Cuál será el valor de la f. e . m . de capacidad de un condensador de 250 µ F (250 X 10-6 F) si al estar conectado a una red de 50 Hz se establece una corriente de 25 A ?

Aplicando fórmulas se tiene

Ejemplo.- ¿Cuál será el valor de la intensidad de corriente en un circuito constituído por un condensador de 400 µF y resistencia nula cuando a sus armaduras se aplica una tensión alterna de 150 V y 50 Hz ?

Aplicando fórmulas se tiene

I = 2 π f C V = 2 X 3,14 X 50 X 400/106 X 150 = 18,84 V

Ejemplo.- ¿Cuánto vale la capacitancia de un condensador de 100 µF de capacidad cuando es recorrido por una corriente alterna de 50 Hz de frecuencia ?

Aplicando fórmulas se tiene

Ejemplo.- Hállense los valores de la capacitancia del condensador anterior cuando la frecuencia de la corriente toma valores de 60, 100 y 1.000 Hz . Para la frecuencia de 60 Hz la capacitancia tomará el valor

Asimismo, para la frecuencia de 100 Hz la capacitancia vale

Finalmente, a la frecuencia de 1.000 Hz el valor de la capacitancia será

Ejemplo que hace ver como el valor de la capacitancia está en proporción inversa con el de la frecuencia .

Ejemplo.-Una resistencia de 600 Ω está conectada en serie con una autoinducción de 0,5 henrios y una capacidad de 0,2 µf. Calcúlese la impedancia del circuito y dibújese el diagrama del vector impedancia:

a) para la frecuencia de 400 ciclos/seg:

b) para 600 ciclos/seg.

 

Figura : Diagramas del vector impedancia correspondientes al ejemplo de la sección anterior. (a) f = 400 ciclos; (b) f = 600 ciclos.

Problemas de ejemplo

1- Desarróllese la expresión para la capacitancia equivalente de varias capacitancias en serie.

Suponiendo que no hay cargas iniciales en los capacitores, los voltajes son :

2- Determínese la capacitancia equivalente de las cuatro capacitancias mostradas en la figura siguiente :

3- Para un voltaje constante de 100 V en las terminales de la figura anterior, determínese las carga correspondiente en cada uno de los cuatro capacitores.

Los dos circuitos paralelos tienen capacitancias equivalentes Ceq1 = Ceq2 = 1.0 µF. Véase la figura siguiente.  Así, V1 = V2 = 50 V.

Ya que Q =CV, la carga en los 0.2 µF es

En forma similar Q0.8 = 40µC ; Q0.3 = 15µC ; Q0.7 = 35µC

4- Un elemento único de circuito tiene las funciones de corriente y voltaje graficadas en la figura siguiente. Determínese el elemento.

El elemento no puede ser un resistor ya que v e i no son proporcionales v es una integral de i. Para 2ms ≤ t ≤ 4 ms, i ≠0 pero v es constante (cero); por lo tanto, el elemento no puede ser un capacitor. Para 0 < t < 2ms,

(Examínese el intervalo 4 ms < t < 6 ms: L debe ser la misma)

 

 

 

 


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