CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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ANÁLISIS VECTORIAL

Magnitudes escalares y vectoriales

En el estudio de la electrotecnia es menester referirse de continuo a dos magnitudes de distinta especie, y por ello es necesaria una clasificación en la forma que sigue:

Magnitudes escalares: Son aquellas que resultan completamente definidas con ayuda de un solo número. La temperatura, el peso específico y la resistividad son ejemplos de magnitudes escalares.

Magnitudes vectoriales: Son aquellas que resultan definidas por medio de tres números. Se suele decir que son entes definidos por tres coordenadas, y se las representa gráficamente por medio de vectores. La traslación, la velocidad y la intensidad de campo magnético son ejemplos de magnitudes vectoriales.

Todos los fenómenos que estudiaremos en electrotecnia se encuentran localizados en regiones del espacio que se denominan campos, y a ellos nos habremos de referir de continuo. Por ello realizamos ahora una primera clasificación de los campos, precedida de su definición.

Campo: Lugar del espacio al que se le puede atribuir, en cada punto, el valor de una determinada propiedad física medible.

Campo escalar: Es un campo en el que a cada uno de sus puntos se le atribuye una propiedad física expresable por medio de una magnitud escalar.

Los campos escalares se representan con ayuda de las superficies de nivel, que son las formadas por todos los puntos en que tiene igual valor la magnitud física que lo defme, y que se desarrollan en el espacio de tres dimensiones. Es común, no obstante, representar los campos escalares en un dibujo de dos dimensiones, recurriendo al artificio de cortar con un plano las superficies de nivel, con lo que se obtienen líneas que dan una imagen del campo, tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1

En dichas representaciones, la variación más rápida del valor escalar se obtiene pasando normalmente de una superficie a otra.

Es evidente, asimismo, que cuanto más próximas están las superficies de nivel tanto más rápida es la variación del campo. Digamos finalmente que las superficies de nivel no se cortan, porque ello implicaría suponer que en un mismo punto existen dos valores diferentes de la propiedad física que se le atribuye el campo.

Campo vectorial: Es un campo en el que cada uno de sus puntos posee una propiedad física expresable por medio de un vector.

Su representación se realiza por medio de las llamadas líneas de campo. Estas líneas tienen la propiedad de que su tangente, en un punto cualquiera, concuerda con la dirección del vector en ese punto, y su sentido es el mismo que tiene el vector en el punto considerado. La magnitud o módulo del campo se expresa por medio de la densidad de líneas que atraviesan a una superficie normal a las mismas. Resumiendo, diremos que un campo vectorial se representa con la ayuda de sus líneas, las que por medio de su tangente determinan la dirección, con su sentido, el sentido del vector, y con su densidad el módulo, que son los tres elementos indispensables para dejar determinada una magnitud vectorial. En la figura 2 vemos la representación de un campo por medio de sus líneas. En el punto M, de una línea, la tangente determina el vector A1 en ese punto, y el vector A2 en el punto M2 de la misma línea, con lo cual se definen la dirección y el sentido en los puntos M1 y M2.

Figura 2.

Tomando en esos lugares dos superficies S1 y S2 normales a las líneas, vemos que la densidad en S1 es mayor que en S2, por lo que el módulo de A1 supera al de A2. Esto equivale a decir que el campo en M1 es más intenso que en M2.

 

Representación de vectores

A las magnitudes escalares las representamos simplemente por letras corrientes, por ejemplo A. Igual temperamento seguiremos para los módulos. A los vectores, en cambio, los señalaremos con una letra y un pequeño trazo encima de ella A. Hacemos notar, sin embargo, que en la bibliografía moderna se las indica con el tipo de imprenta llamado negrita, que si bien es muy simple y cómodo para la impresión, no es el mejor método para la escritura manuscrita, porque resulta trabajosa y da lugar a confusiones. Tampoco usaremos, por las mismas razones, los caracteres góticos y las formas

Para poder expresar un vector por medio de sus componentes se acostumbra a referirlo a una terna básica o tema de referencia, formada por tres vectores unitarios que en adelante denominaremos i j k, llamados también versores, ortogonales entre sí, que dejamos indicados en la figura 3. Estos versores concuerdan con un sistema coordenado.

Figura 3

El valor de sus módulos es:

i = 1; j = 1; k = 1

Notemos que partiendo de i hacia j en el plano xy, el versor k queda determinado con la llamada regla del tirabuzón, o dicho de otro modo, la rotación desde i hacia j determina la dirección positiva de k según el eje z. O dicho en otras palabras, girando el versor  i hacia el j , un tirabuzón avanzaría según la dirección de k .

Supongamos ahora un vector cualquiera A que deseamos expresar por medio de tres coordenadas. Según la figura 4, cada una de las componentes es un vector colineal con alguno de los versores, de tal modo que

Figura 4

Producto escalar

Una operación muy corriente con vectores es el producto escalar, cuyo resultado es una magnitud escalar que por definición vale:

En la figura 5 vemos a los dos vectores A B que forman el producto escalar. Esta operación se representa por medio de los vectores

Figura 5

escritos uno junto al otro, sin ningún signo adicíonal. Si aplicamos el concepto de producto escalar a los versores de la terna de referencia, resultan relaciones de utilidad posterior:

Producto vectorial

Figura 6

Además del producto escalar recién expuesto, en electrotecnia se emplea muy a menudo el llamado producto vectorial. Si bien desde el punto de vista estrictamente formal ni a uno ni a otro lo podríamos llamar producto, es ésa la denominación usada , y la que emplearemos. El resultado del producto vectorial de dos vectores es un nuevo vector A X B , cuyo sentido es normal al plano que contiene a los vectores A y B (o sea, es normal a ambos vectores), cuya dirección está acorde con la regla del tirabuzón y cuyo módulo viene expresado por:

Vectorialmente, este tipo de producto se puede expresar por medio de:

Figura 7

El valor A B sen Θ según se señaló en la (2-13) es el módulo, de tal manera que el vector auxiliar n suministra al producto vectorial las propiedades de dirección y sentido. Es un vector unitario, de módulo |n| = 1, normal al plano formado por A y B y con sentido acorde con la regla del tirabuzón. Los vectores n A B forman lo que en geometría se conoce como triedro positivo o directo, en el cual, si giramos la parte positiva de x hacia la parte positiva de y, un tornillo avanzaría en la dirección positiva de z, como se señala en la figura 7.

Como este producto es bastante usado en electrotecnia, comenzaremos a estudiar sus propiedades determinando el producto vectorial de los versores unitarios de figura 3.

Para mejor ilustración recurrimos a la figura 8. Las relaciones resultan:

Con ayuda de estos resultados se puede expresar el producto vectorial en función de las coordenadas de los dos vectores:

En virtud de las relaciones (2-15) queda finalmente:

Si bien la (2-18) es la expresión del vector A X B , resulta en algunos casos más cómodo utilizar una forma con determinantes, que es más fácil de recordar, y cuyo resultado operado es idéntico a la (2-18).

El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa:

por lo que no podemos afirmar, como ya hemos dicho, que es un producto, sino que es simplemente una operación con vectores.

El gradiente

Supongamos que se tiene un campo escalar. A cada punto de dicho campo le corresponde una propiedad definida únicamente por las coordenadas del lugar, y que es expresable por medio de una función del tipo:

U (x , y , z)                                                          (2-21 )

que se denomina función escalar. Admitamos ahora que a cada punto del campo le asignamos un vector que tenga las dos siguientes propiedades:

-Dirección y sentido: el del más rápido crecimiento de U.

-Módulo: el del valor absoluto de la función, para un recorrido l = 1.

El vector así definido se llama vector gradiente, o simplemente gradiente.

En la figura 9 apreciamos una función escalar representada por medio de sus líneas, que son las intersecciones de las superficies equipotenciales con un plano. El punto M2 pertenece a una superficie en donde la función escalar vale U2 . Tomando la dirección del más rápido crecimiento de U desde U2 hasta U3 , dibujamos un vector que es justamente el que llamamos grad U, y lo descomponemos según las tres direcciones de referencia. El valor de cada uno de las componentes es la variación de la función según la dirección considerada, o sea, la derivada en esa dirección.

Figura 9

 

Supongamos ahora en el campo escalar un trayecto dl expresado como vector, que va desde el punto M2 hasta el M3 en la figura 9, y cuya fórmula es:

A la componente del vector grad U, según la dirección dl, la llamaremos (grad U)l, y haciendo el producto escalar:

y reemplazando (2-25) y (2-23) podemos operar fácilmente y obtener, finalmente:

El segundo miembro es el diferencial total exacto de la función U; por lo tanto:

Figura 10

Esta expresión nos señala el valor del módulo del gradiente en una dirección cualquiera l, aunque no sea la del máximo crecimiento. Como aplicación del concepto de gradiente es muy importante calcular la integral curvilínea en un trayecto dado entre dos puntos a0 y a1 del campo, cuya expresión es la integral del producto escalar, la que con el auxilio de la fórmula (2-26), podemos escribir:

y con ayuda de la (2-28) resulta:

Esta expresión es de gran importancia, y nos indica que la integral curvilínea entre dos puntos depende únicamente del valor de la función en dichos puntos, independientemente del camino recorrido.

Supongamos ahora que realizamos la circuitación entre dos puntos fijos del campo, pero siguiendo distintos caminos, como se indica en la figura 11. De acuerdo con el concepto recién expuesto, tendremos:

Por lo tanto, si se ejecuta el circuito cerrado a0 a1 a0, la integral curvilínea será nula, o sea:

El símbolo indica que la integral curvilínea se extiende a toda la curva cerrada L, que en este caso es el circuito que comienza en a0, llega hasta a1 y regresa hasta a0. A esta integral se la llama también integral de línea o circulación del vector grad U a lo largo de la línea L cerrada.

El flujo de un vector

En análisis vectorial, el concepto de flujo de un vector está asociado con el de la superficie a la cual se refiere. Por lo tanto, es necesario expresar de continuo a las superficies; y para ello se las representa por medio de vectores. En la figura 12 vemos una superficie elemental dS componente de otra mayor S, de la cual sale un vector unitario n normal a la misma. Este vector representa a la superficie dS, tiene módulo unitario y su sentido se escoge arbitrariamente, pero con la condición de que una vez elegido para un elemento queda definido y debe conservarse para todos los de la misma superficie.

Figura 12

En base a esto, se define como flujo del vector A través de la superficie dS al producto escalar:

Como el vector n tiene módulo unitario, la expresión se reduce generalmente a:

Por lo tanto, si deseamos determinar el flujo total emergente de una superficie S, que encierra a un volumen V según la figura 13, debemos integrar y queda:

El flujo es una magnitud escalar.

Figura 13

 

 

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