CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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ANÁLISIS VECTORIAL

Magnitudes escalares y vectoriales

La divergencia

Figura 13

Volviendo a la figura 13, decimos por definición que la divergencia es una magnitud escalar que tiene por expresión:

El numerador de esta expresión es el flujo total emanado de la superficie cerrada S que envuelve al volumen V. El límite indica que la divergencia es el flujo de un volumen infinitamente pequeño, o sea, emergente de un punto. Por lo tanto, otra forma de expresión de la divergencia será:

Como los vectores se expresan en coordenadas, encontraremos la divergencia también en coordenadas, y para ello recurrimos a la figura 14. En ella se ha representado un cubo elemental. Por su cara izquierda entra un flujo elemental:

porque (Ax)x es la componente del vector A en la dirección x, con el valor que corresponde a la coordenada en el punto x. Por la cara opuesta sale un flujo:

Figura 14

 

porque (Ax)x+dx es la componente del vector A en la dirección x, pero con el valor que le corresponde a la coordenada x+dx. El válor recién citado se obtiene fácilmente como sigue:

Por lo tanto, la variación en la dirección x será la diferencia entre el flujo que sale (2-42) y el que entra (2-40), o sea:

dado que dx dy dz es el volumen del cubo elemental. Por idénticos razonamientos consideramos las variaciones de flujo en las tres direcciones, y sumándolas nos resulta:

y recordando la (2-39):

Es interesante consignar aquí una propiedad de los campos vectoriales, fácilmente expresable a través de la divergencia. Supongamos tener un campo en la figura 15, y dentro del mismo delimitamos una porción:

Figura 15

encerrada por las superficies S1 y S2 y por las líneas del campo que apoyan sobre su contorno. A tal conjunto se lo conoce como tubo de líneas. Dado que el vector A es tangente a las líneas de campo la superficie lateral de ese sólido no emite líneas, y todo el flujo que entra por S1 debe salir por S2. En consecuencia, en el tubo no se originan ni terminan líneas, y por tal razón se dice que allí:

Los campos que cumplen esta condición se denominan campos solenoidales.

Teorema de la integral de Gauss

Este teorema, también llamado teorema de la divergencia, se demuestra partiendo de la fórmula (2-45), convenientemente adaptada para que represente el flujo elemental emergente (o entrante) de un volumen elemental:

En base a la (2-46), y considerando que dx dy dz = dV, se integra la (2-48) y se obtiene:

Recordando la (2-37), por igualación sale:

Ésta es la expresión del teorema de la integral de Gauss, la que indica que el flujo de un vector extendido a la superficie cerrada S es igual a la divergencia del mismo vector extendida al volumen V que encierra la misma superficie S. Este teorema permite trasformar una integral de volumen (integral triple) en una integral de superficie (integral doble).

El rotor, rotacional, vórtice o torbellino

Desarrollaremos el concepto de rotor por ser de suma utilidad en la explicación de los conceptos básicos de los campos en electrotecnia. Para ello, previamente es necesario exponer lo que se entiende por circulación de un vector, con ayuda de la figura 16.

Figura 16

Supongamos una superficie elemental dS que posee una normal representable por un vector n, como ya se vio en el parágrafo 2.6. Supongamos que nos encontramos en un campo vectorial al que en cada punto corresponde un vector A. Recorremos ahora el borde de la superficie dS, al que llamaremos L, realizando en cada punto el producto escalar Adl, o sea:

Integrando a lo largo de todo el trayecto cerrado L tendremos lo que se denomina circulación del vector A a lo largo de L, y que se expresa por:

La circulación es entonces la integral curvilínea extendida a un trayecto cerrado que bordea una superficie. Establecido esto, podemos, por definición, determinar la componente en la dirección n de un nuevo vector llamado rotor, cuyo módulo es:

El rotor representa el límite de la circulación por unidad de área, en la dirección de n. El rotor es entonces un vector que tiene como módulo el valor de la circulación por unidad de área, y como dirección y sentido, los del vector n normal a la superficie alrededor de la cual se hace la circulación.

Figura 17

 

Determinaremos ahora las componentes del rotor en coordenadas. Para ello tomamos la componente en la dirección de z, como se ilustra en la figura 2-17, y realizamos la circulación elemental alrededor de un rectángulo de lados dy - dx, en el plano y-x. Calculamos la circulación en cada uno de los lados en la forma que sigue:

Pero los valores del vector A pueden desarrollarse:

En consecuencia, el valor de la circulación total será el valor de la suma de las circuitaciones parciales, o sea:

y por definición de la fórmula (2-52):

Por análogos procedimientos podemos encontrar las componentes en las tres direcciones. Asignándole a cada una el correspondiente versor de referencia nos queda:

Por lo tanto, el nuevo vector derivado de A tiene por expresión general la siguiente:

Esta expresión tiene completa justificación recurriendo a la figura 18.

Figura 18

En la misma se ve un tetraedro elemental en el que la cara dS, con orientación arbitraria y normal n, será la que recorreremos y encontraremos su circulación. Primeramente hacemos la circulación sobre el triángulo que está sobre el plano x - y, luego sobre el que está sobre y - z, y finalmente sobre z - x. Observamos que, si sumamos las tres circulaciones, sobre dx dy dz las circulaciones se anulan, y en consecuencia el resultado es sobre la cara de orientación arbitraria de normal n coincidente con R. Este razonamiento justifica que la suma de las componentes da el rotor.

La expresión (2-62) es más fácil de recordar si se escribe en forma de determinante:

Siendo el rotor un vector derivado de otro, podemos afirmar que donde existe un campo de vectores A existe otro campo de vectores R. Si hemos convenido en el parágrafo 2.1. que a un campo vectorial se lo representa por medio de sus líneas, el nuevo campo vectorial del rotor tendrá también líneas, cuya propiedad fundamental la encontraremos buscando su divergencia. Para ello recurrimos a la expresión (2-46) aplicada al rotor:

Recordando las (2-59), (2-60) y (2-61) tenemos:

Reemplazando en (2-64) resulta:

Es posible entonces afirmar que la divergencia de un rotor es constantemente nula, y ésta es la condición de los campos solenoides, es evidente que el campo de un rotor es solenoidal. Siendo constantemente nula su divergencia no existen regiones en donde aparezca o finalice flujo, y en consecuencia las líneas del rotor son cerradas.

Fórmula de Stokes

En la figura 19 tenemos una superficie cualquiera de valor S y de perímetro L. La dividimos en varias superficies parciales y tomamos una de ellas de valor ΔS¡ que tiene perímetro L¡ cuya normal vale n.

Figura 19

De acuerdo con la (2-52), para esta superficie la componente del rotor en la dirección de n vale:

Reordenamos:

Pero observando la figura se aprecia que las circulaciones de los lados comunes de las superficies se anulan, razón por la cual:

y finalmente, la fórmula de Stokes queda:

Esta fórmula de Stokes es la expresión del teorema del rotor, que dice:

Si en un campo de vectores A existe una superficie cuyo perímetro es una línea cerrada L, la circulación de A a lo largo del perímetro es igual al flujo del rotor de A a través de la superficie dada.

 

La fórmula de Stokes, puede expresarse en función de coordenadas rectangulares, mediante el razonamiento que sigue:

en virtud de la (2-10). Además, si llamamos α , β y γ a los cosenos directores de la normal unitaria n, tendremos:

Recordando la (2-62) y otra vez la (2-10) podemos escribir:

Reemplazando las (2-73) y (2-75) en la (2-72) resulta:

El operador diferencial vectorial "nabla"

Las operaciones diferenciales vectoriales que hemos desarrollado hasta aquí, pueden ser expresadas en forma más simple con ayuda del operador nabla (símbolo ). Es muy importante recordar que este operador tiene sentido solamente si afecta a una expresión, y no se usa aisladamente. Su forma general es la siguiente:

Aplicado al gradiente, la divergencia y el rotor, conduce a las siguientes expresiones:

El simbolismo del operador nabla se resume en el siguiente cuadro:

La (2-81) expresa que el operador aplicado a un escalar lo trasfonna en un vector, aplicado a un vector lo trasforma en escalar, y aplicado vectorialmente a un vector, lo trasforma en otro vector. Se ahorra mucho tiempo en la escritura, y debe recordarse que en la (2-78) se opera como si fuera un producto escalar entre el operador nabla y la función escalar. Lo mismo en la (2-79), se realiza el producto escalar entre el operador y el vector. En vez en la (2-80), el operador nabla y el vector se afectan siguiendo las reglas del producto vectorial.

 

 

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