CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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ANÁLISIS VECTORIAL

Magnitudes escalares y vectoriales

Ver temas previos :

Campo irrotacional

Si en un campo vectorial se cumple:

Aplicando la fórmuia de Stokes (2-72) se obtiene como conclusión:

Por otra parte, en virtud de las (2-59), (2-60) y (2-61) tendremos:

Para que estas relaciones se cumplan es menester que:

siendo U (x, y, z) una función escalar como las ya descriptas en el parágrafo, denominada función potencial. El vector A es el gradiente de la función potencial U (ver fórmula (2-22)).

Divergencia de un gradiente "laplaciano".

 

Supongamos que se tiene un campo escalar, definido por medio de una función potencial U, cuyo valor depende de las coordenadas del lugar. El gradiente de esta función es un vector que vale:

A la divergencia del gradiente se la llama laplaciano, y se la indica con el símbolo 2 , o a veces Δ.

Más abreviadamente:

El laplaciano es un operador como nabla, que solo tiene sentido cuando afecta a una función. Es una forma de indicar una operación de derivación.

Rotor de un gradiente

 

La operación propuesta es la siguiente:

Como es fácil apreciar, cada uno de los paréntesis es nulo y:

Como ya se estableció, en (2-68), la divergencia de un rotor es constantemente nula, de lo que deducimos que para este caso:

Esta expresión se conoce como ecuación de Laplace para los campos irrotacionales, de estructura solenoidal. Escrita en forma condensada, es:

          ∇2U =0

Si al vector A se lo considera como gradiente de un escalar U, se lo llama vector potencial.

Rotor de un rotor

El desarrollo de la operación propuesta,

conduce a un resultado de interés para el estudio de la propagación del campo electromagnético. Para realizarla debemos efectuar sucesivos reemplazos y operaciones, que comenzamos por calcular una de las componentes del primer rotor:

Haciendo idéntico proceso con las otras dos componentes, y luego sumando, se obtiene el resultado. Pero para dar una forma más adecuada se procede a sumar y restar diversas derivadas, con lo que se obtiene:

Escribiendo en forma condensada:

 

 

 

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