CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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Leyes de Kirchhoff


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Corrientes y uniones en los circuitos. Leyes de Kirchhoff

Para resolver circuitos eléctricos en los que únicamente existe una red de resistencias, basta con aplicar la ley de Ohm y seguir procedimientos básicos. Sin embargo, la resolución de circuitos complejos en los que hay varios generadores y receptores interconectados requiere métodos especificas, como las leyes de Kirchhoff, el método de las corrientes de malla, el de las tensiones en los nudos, el teorema de Thévenin L y el de Norton, entre otros.

Las redes de resistencias en las cuales las resistencias no forman agrupaciones sencillas, en serie o en paralelo, o en las cuales hay generadores de fem en paralelo, no pueden resolverse, en general, por el método de la resistencia equivalente. Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) enunció por primera vez dos reglas que permiten resolver tales problemas sistemáticamente.

Definiremos, en primer lugar, algunos conceptos.

  • Un nudo es un punto de la red en el cual se unen tres (o más) conductores.
  • Una malla es cualquier recorrido conductor cerrado; p. ej., los puntos a, b, c y d  de la figura figura siguiente son nudos, y las trayectorias abca, abdca, abcdεa, etcétera, son mallas.
  • Una rama es un trayecto directo que puede recorrer una intensidad entre dos nudos. En un circuito eléctrico existen tantas ramas como intensidades de corriente.

Figura : Circuito para explicar los conceptos de nudos y mallas.

Si se aplican a nuestro ejemplo las definiciones estudiadas, resulta un circuito como el que aparece en el margen, en el cual se cumple que:

Sustituyendo por los valores reales de resistencias y fem, se obtienen las intensidades que circulan por cada rama.

Las reglas de Kirchhoff pueden enunciarse como sigue:

REGLA DE LOS NUDOS: La suma algébrica de las intensidades de las corrientes que se dirigen a cualquier nudo de la red es cero. En todo circuito eléctrico. la suma de las corrientes que entran en un nudo es igual a la suma de las que salen:

Σi = 0 

REGLA DE LAS MALLAS: La suma algébrica de las fuerzas electromotrices (fem) en una malla cualquiera de una red es igual a la suma algébrica de los productos Ri en la misma malla. En un circuito eléctrico, se cumple que la suma de todas las diferencias de potencial a lo largo de una malla es igual a 0:

Σε = Σ Ri

Explicado de otra manera, sería;

Ley de Kirchhoff : Hay muy pocos circuitos en los aparatos eléctricos que sean simples circuitos cerrados, por lo que necesitamos saber qué ocurre con la corriente allí donde hay uniones. De nuevo, la idea básica de velocidad de flujo proporciona la respuesta sin dificultad.

Supongamos que a una unión llegan seis culombios por segundo; deben salir de la unión el mismo número de culombios por segundo, pues de otra forma habría un exceso de electrones acumulándose en la unión o habría una desaparición misteriosa de ellos, ver figura. (Un resultado similar ocurriría con el flujo de agua, por supuesto suponiendo que no hay «escapes».)

Figura -Corrientes en una unión (nudo).

Generalizando más allá de los dos casos sencillos que se representan en la figura anterior, podemos decir que se cumple lo mismo en el caso de nudos más complejos (figura siguiente).

La relación existente entre las corrientes eléctricas en los nudos o uniones se resume por la ley de Kirchhoff, la cual establece que:

La corriente total que entra en un nudo de una red eléctrica es igual a la corriente total que sale del nudo.

Figura -En un nudo la corriente que entra es igual a la que sale.

En los dos ejemplos de las figuras anteriores hay muchas posibilidades distintas, cumpliendo todas la ley de KirchhofT: las dos corrientes pueden ser, en principio, de 4 A y 1 A, o de 2,5 A y 2,5 A, o de 0A y 5 A, o incluso de 6 A saliendo y 1 A entrando en el nudo.

El lector puede pensar en muchos casos similares para el segundo ejemplo.

Podemos expresar las leyes también como :

1. La suma de las corrientes que entran, en un punto de unión de un circuito es igual a la suma de las corrientes que salen de ese punto. Si se asigna signo más (+) a las corrientes que entran en la unión, y signo menos (-) a las que salen de ella, entonces la ley establece que la suma algebraica de las corrientes en un punto de unión es cero:

suma de I= 0 (en la unión)

En esencia, la ley simplemente dice que la carga eléctrica no puede acumularse en un punto (es decir, cuanto más corriente lega a un punto, mayor cantidad sale de él ); o sea expresa simplemente que la carga eléctrica no se acumula en ningún nudo de la red.

2. Para todo conjunto de conductores que forman un circuito cerrado, se verifica que la suma de las caídas de voltaje en las resistencias que constituyen la malla, es igual a la suma de las fem intercaladas. Considerando un aumento de potencial como positivo (+) y una caída de potencial como negativa (-), la suma algebraica de las diferencias de potenciales (voltajes) en una malla cerrada es cero:

suma de E - suma de las caídas IR = 0 (en la malla cerrada)

Para aplicar esta ley en la práctica, se supone una dirección arbitraria para la corriente en cada rama. El extremo de la resistencia, por donde penetra la corriente, es positivo, con respecto al otro extremo. Si la solución para la corriente que se resuelve, hace que quede invertido el negativo, es porque la dirección de la corriente es opuesta a la que se ha supuesto. La segunda regla se deduce de la expresión generalizada de la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito, Vab= Σ Ri - Σε. Esta ecuación fué deducida para un circuito sencillo en serie, en el cual la intensidad de la corriente es la misma en todos los puntos. Las intensidades en las distintas partes de una malla diferirán, en general, una de otra, y el término Σ Ri ha de interpretarse como la suma de los productos de cada resistencia, por la intensidad de la corriente en dicha resistencia. Entonces, si se recorre la malla completamente de modo que el segundo punto coincida con el primero, la diferencia de potencial es nula y Σ Ri=Σε.

El primer paso para aplicar las reglas de Kirchhoff es asignar un valor y un sentido a todas las intensidades desconocidas, y un valor a todas las resistencias incógnitas.

Tanto las magnitudes conocidas como las desconocidas se representan en un esquema con los sentidos claramente indicados. La solución se efectúa basándose en los sentidos supuestos. Si una solución de las ecuaciones atribuye valor negativo a una intensidad de corriente o a una fem, su verdadero sentido es opuesto al que le habiamos asignado. En cualquier caso, se obtienen los valores numéricos verdaderos. Por tanto, las reglas proporcionan un método para hallar tanto los sentidos como los valores numéricos de las intensidades y fem, y no es necesario conocer de antemano estos sentidos.

Las expresiones  Σ i; Σ Ri y Σε , son sumas algébricas. Cuando se aplica la regla de los nudos, se considera positiva la intensidad de una corriente si se dirige hacia el nudo, y negativa si se aleja del mismo. (Naturalmente, puede utilizarse el convenio contrario) Cuando se aplica la regla de las mallas, se elige como positivo un sentido de recorrido de la malla (sea el sentido de las agujas de un reloj o el sentido opuesto). Todas las corrientes y fem que tengan este sentido son positivas, y las que tengan sentido contrario, negativas. Obsérvese que una corriente que tiene sentido positivo en la regla de los nudos, puede tener sentido negativo en el término en el cual aparezca en la regla de las mallas. Obsérvese también que es indiferente el sentido de recorrido de la malla tomado como positivo, pues el resultado al elegir el sentido opuesto hubiera consistido simplemente en obtener la misma ecuación con los signos cambiados. Hay tendencia a suponer que el sentido que debe tomarse como positivo es el sentido de la corriente en la malla; pero, en general, tal elección no es posible, puesto que la corriente en alglinos elementos de una malla puede tener el sentido de las agujas de un reloj, y en otros elementos, sentido contrario. Estos y otros detalles serán aclarados con ejemplos.

En redes complicadas, en las cuales intervienen gran número de magnitudes desconocidas, és, a veces, difícil saber cómo puede obtenerse un número suficiente de ecuaciones independientes para poder hallar todas las incógnitas. Se utilizan las siguientes reglas útiles:

1.-Si hay n nudos en la red, se aplica la regla de los nudos a n -1 de éstos, pudiendo elegirse cualesquiera de ellos. La aplicación de dicha regla al nudo enésimo no proporciona una ecuación independlente.

2.-Imaginemos la red descompuesta en un número de mallas sencillas, como las piezas de un rompecabezas. Se aplica la regla a cada una de estas mallas.

 

EJEMPLO.-En la figura (a) siguiente se indican los valores y sentidos de las fem, y los valores de las resistencias. Determínese la intensidad de la corriente en cada rama de la red.

Recordemos que un circuito equivalente es una simplificación del circuito primitivo que produce los mismos efectos que aquel en su conjunto y que nos permite realizar el cálculo del mismo de forma más sencilla.

Asignemos un sentido y una letra a cada magnitud desconocida, siendo enteramente arbitrarios los sentidos supuestos. Obsérvese que la intensidad de la corriente en R3, R1 y ε1, es la misma, y, por consiguiente, sólo se requiere una letra. Lo mismo ocurre para la intensidad de la corriente en ε2, R2 y R6.

Figura -(a) Esquema de un circuito dispuesto para aplicar las leyes de Kirchhoff; (b) El mismo circuito cortado en mallas.

Los nudos se designan con las letras a, b, c y d:

Puesto que hay cuatro nudos, sólo existen tres ecuaciones independientes. Si aplicásemos la regla al cuarto nudo d, se encontraría:

i6 + i3 - i5 = 0.

Pero si sumamos las tres primeras ecuaciones, el resultado es:

- i6 - i3 + i5 = 0,

que es la ecuación anterior. Por tanto, no obtenemos ningún resultado nuevo aplicando la regla al nudo d. Sin embargo, hemos obtenido una comprobación de las tres primeras ecuaciones.

En la figura (b) se representa el circuito cortado en piezas. Consideremos en cada malla como positivo el sentido de las agujas del reloj. La regla de las mallas proporciona las siguientes ecuaciones:

Se tienen seis ecuaciones independientes para determinar las seis intensidades desconocidas.

Ejemplo. A continuación, se muestra la resolución del circuito mixto de la figura siguiente, aplicando la ley de Ohm y los criterios expuestos anteriormente.

 

El objetivo es determinar los valores de RE (resistencia equivalente), IT, I1, I2 y VAB. así como la potencia total consumida por el circuito.

Para la obtención del circuiro equivalente, es preciso calcular, en primer lugar, el valor de RE (resistencia equivalente). Para ello, analizaremos el tipo de agrupamiento de las resistencias que se encuentran en el circuito. Primero, se obtiene el valor de las resistencias equivalentes parciales y, después, la resistencia equivalente total.

Las resistencias R3 y R4 están en serie; por tanto, su equivalente será:

RE1 = R3+ R4= 1+ 4 = 5 kΩ

Esta resistencia está en paralelo con R2, luego:

Finalmente, se calcula el valor de potencia que consume el circuito:

Vamos a resolver ahora este otro circuito eléctrico, aplicando en esta ocasión las leyes de Kirchhoff. Se trata de determinar los valores de las intensidades eléctricas que circulan por las distintas ramas, la diferencia de potencial en los extremos de la resistencia R4 y la potencia que consume dicha resistencia.

En primer lugar, hay que establecer las ramas, los nudos y las mallas del circuito. Tras un breve análisis del mismo, resulta la disposición que se muestra a continuación, y que nos permite aplicar las leyes de Kirchhoff:

El resultado negativo de I2 indica que el sentido de esta intensidad es el opuesto al que se le asignó en el circuito de la figura. Por tanto, se puede concluir que el segundo generador (ε2) no está aportando energía a la malla B. Por el contrario, está tomando una corriente de carga de 2,58 A procedente del primer generador (ε1), Este también está suministrando a la malla B una corriente de 1,13 A (I3).

La tensión en los bornes de R4 y su potencia de consumo serán:

 

Ejemplos

1- Para el circuito de escalera mostrado en la figura siguiente, encuéntrese la fuente de voltaje Ve la cual da por resultado una corriente de 7.5 mA en el resistor de 3Ω.

Se supondrá una corriene de 1 A: el voltaje necesario para producir 1 A está en la misma razón de 1 A como Ve es a 7.5 mA, debido a que la red eléctrica es lineal.

Vcf = 1(1 + 3 + 2) = 6V

Icf = 6/6 = 1 A

Entonces por la ley de Kirchhoff de la corriente, Ibc = 1+1 = 2A, y

Vbg = 2(4) + 6 = 14 V   Ibg = 14/7 = 2 A

Otra vez por la ley de Kirchhoff de la corriente, Iab = 2+2 = 4 A; y así  Vah = 4(8) + 14 + 4(12) = 94 V. Ahora bien, el último paso

2- Determínese la corriente I para el circuito mostrado en la figura siguiente :

Sin los valores de los resistores, no es posible calcular las corrientes en cada rama, aún así, la red eléctrica dentro del área sombreada puede ver como un nodo único, en el cual la ley de Kirchhoff de la corriente da

2 -3 -I -4=0  ó  I=-5A

O sea la corriente I tiene un valor de 5 Amperios circulando en la dirección negativa del gráfico.

3- Encuéntrese la corriente I suministrada por la fuente de 50 V que se indica en la figura (a) siguiente

La red de resistores se reduce primero a un equivalente único, Req que se ve en la figura (b). Para ilustrar los pasos necesarios pueden hacerse esquemas a medida que se procede a la reducción.

La resistencia a la izquierda de la rama xy es

y a la derecha Req2 = 6(3)/9 = 2 . Estas dos paretes están en paralelo una con otra, y en serie con la resistencia de 2Ω. Entonces

y I = 50/3.66 = 13.7 A

Ahora, sabiendo que una fuente de 50 V suministra 13.7 A a la red mostrada en la figura siguiente.

Obténgase las corrientes en todas las ramas de la red.

Las resistencias equivalentes a la izquierda y derecha de la rama ab se calculan como se indica a continuación :

Con referencia a la red anterior reducida, ver la figura siguiente

La siguiente división de estas corrientes será, refiriéndose a la red original ;

4- El divisor de voltaje mostrado en la figura a continuación también se llama atenuador. (Cuando una resistencia única tiene una derivación ajustable, se le llama un potenciómetro o pot.) Para hacer evidente el efecto de carga calcúlese la relación Vsal/Vent para los valores siguientes R : (a) ∞, (b) 1 MΩ, (c) 10 kΩ, (d) 1 kΩ

(a)

(b)

Con R = 104Ω, el equivalente paralelo con los 250Ω debe calcularse primero

(c)

(d)

Puede parecer que un divisor de voltaje está construído para dar por resultado una relación de 1:10. Sin embargo, la carga puede cambiar esto considerablemente.


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