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INICIO : Electrotecnia para aplicaciones industriales

Neumática e Hidráulica

Matemáticas. Elementos Básicos. Problemas resueltos.

 

 

 


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CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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Efecto de la temperatura sobre la resistencia. Ley de Ohm

Efecto de la temperatura sobre la resistencia

Si se aplica la misma diferencia de potencial entre los extremos de una barra de cobre y de una barra de madera se producen corrientes muy diferentes. La característica del conductor que interviene en esta diferencia es su resistencia.

La resistividad es la última magnitud a tener presente en el cálculo de la resistencia de un material. Se define como la resistencia específica, es decir, la oposición que ofrece un material al paso de la corriente eléctrica por unidad de longitud y superficie (normalmente para su cálculo se utiliza varillas del material que se debe calcular con unas dimensiones especificas de 1m de longitud y 1cm2 de sección).

La resistividad es la parte más importante de la resistencia, ya que es la que realmente nos identifica si un material es buen conductor o por el contrario es un aislante. Hasta el momento, y considerando solamente la longitud y la sección, tendría la misma resistencia una varilla de madera que una de cobre, suponiendo igualdad en las dimensiones físicas. Era, pues, necesario otro parámetro que dependiera del material, la resistividad.

La resistividad del cobre es de 1.7 X 10-8 ohm-m; la del cuarzo fundido es aproximadamente de 1016 ohm-m. Pocas propiedades físicas pueden medirse entre márgenes tan amplios de valores.

El flujo de carga a través de un conductor se compara a menudo con el flujo de agua a través de un tubo, el cual se produce debido a que hay una diferencia de presión entre los extremos del tubo, establecida, por ejemplo, con una bomba. Esta diferencia de presión se puede comparar con la diferencia de potencial establecida entre los extremos de una resistencia mediante una batería. El flujo de agua (digamos m3/seg) se compara con la corriente (coul/seg o amp). La rapidez de flujo del agua para una diferencia de presión dada depende de la naturaleza del tubo. ¿Es largo o corto? ¿Es angosto o ancho? Está vacío o lleno de algo, por ejemplo, grava? Estas características del tubo son análogas a la resistencia de un conductor.  

La resistencia de un conductor metálico aumenta al aumentar la temperatura. Dicho aumento depende de la elevación de la temperatura y del coeficiente térmico de resistividad alfa (), ( el cual se define como el cambio de resistividad por grado centígrado de variación a 0°C ó a 20°C). Los semiconductores tienen un coeficiente de temperatura negativo, mientras que muchos metales se tornan superconductores (q=0) a pocos grados por encima del cero absoluto.

La resistencia (R) para una variación de temperatura (t) (en grados centígrados) está dada por:

donde Ro es la resistencia a la temperatura de referencia (generalmente 20° C) y es el coeficiente de temperatura de la resistencia.

Si la resistividad sólo dependiera del tipo de material, no habría complicaciones, ya que construida la tabla correspondiente, estarían tabuladas todas las resistividades de los materiales más frecuentemente usados. Pero la resistividad también depende de la temperatura, siendo necesarias innumerables tablas, una para cada variación de la temperatura, para su completa identificación.

El problema se solucionó, en parte, dando una única tabla; esta tabla corresponde a una temperatura estándar de unos 20ºC, y en ella están representados los valores de la resistividad de la mayor parte de materiales interesantes desde el punto de vista eléctrico. Cuando la temperatura no coincida con los 20ºC, aplicando la siguiente fórmula ( que es otra forma de expresar la fómula anterior ) , se obtiene el valor de la resistividad a cualquier otra temperatura.

Tabla 1.  Propiedades de los materiales conductores *

* Los valores solo son aproximados, puesto que los valores precisos dependen de la composición exacta del material.
+ El carbono tiene de 2500 a 7500 veces la resistencia del cobre. El grafito es una forma del carbono.

Tabla : Propiedades de los metales como conductores

Obsérvese que el carbono tiene un coeficiente de variación con la temperatura negativo (Tabla1). En general, α es negativo para todos los semiconductores como el germanio y el silicio. Un valor negativo de α significa que la resistencia es menor a temperaturas más altas. Por consiguiente, la resistencia de los diodos semiconductores y de los transistores puede disminuir considerablemente cuando se calientan con la corriente bajo una carga normal. Obsérvese también que el constantán tiene un valor de a igual a cero (Tabla 1), por lo que se le puede utilizar para resistores de precisión de alambre enrollado que no cambian de resistencia al aumentar la temperatura.

Electricidad: Conceptos relacionados con la resistividad eléctrica. Bandas de energía. Enlaces.

PROBLEMA 11. Un alambre de tungsteno ( = 0,0045 a 20" C) usado como filamento para una lámpara, tiene una resistencia de 20 ohms a la temperatura de 20° C. ¿Cuál es su resistencia a 620° C, suponiendo que el coeficiente de temperatura permanece constante? (En realidad aumenta.)

SOLUCIóN. R = Ro (1 + t) = 20 X (1 + 0,0045 X 600) = 74 ohms.

PROBLEMA 11a. Un alambre de tungsteno tiene una resistencia de 10 Ω a 20°C. Encuéntrese su resistencia a 120°C.

Usando la Tabla 1,

α = 0.005 Ω/ °C

El aumento en la temperatura es :

Al sustituir en la ecuación R = Ro (1 + t), tenemos

Debido al aumento de la temperatura en 100°C, la resistencia del alambre aumenta en 5 Ω, o sea un 50% de su valor original de 10 Ω.

PROBLEMA 11b. Medimos la resistencia de una fase de un bobinado de cobre de un motor antes de haber funcionado (a la temperatura de 0 ºC), obteniendo un resultado de 4 ohmios. Determinar la resistencia que alcanzará cuando esté en funcionamiento a una temperatura de 75ºC.

Solución :

PROBLEMA 11c. ¿Cuál será el aumento de temperatura que experimenta una lámpara incandescente con filamente de wolframio, si al medir su resistencia a temperatura ambiente (20 ºC) obtuvimos un resultado de 358 ohmios, habiéndose calculado una resistencia en caliente de 807 Ω ?.

PROBLEMA 11d. Determinar la corriente que aparecerá en la lámpara incadescente del problema anterior al conectarla a 230 V y en los siguientes casos : a) sólo al conectarla, b) una vez encendida.

Solución : a) Nada más al conectar la lámpara el filamento se encuentra a 20ºC y su resistencia es de 358 ohmios.

b) Al aumentar la temperatura hasta los 2.533 ºC, la resistencia aumenta su valor hasta 807 ohmios, produciéndose una disminución y estabilización de la corriente.

PROBLEMA 11e.  Un bloque rectangular de carbón tiene 1.0 cm X 1.0 cm X 50 cm.
(a) ¿Cuál es su resistencia medida entre los dos extremos cuadrados?

(b) ¿Entre dos caras rectangulares opuestas? La resistividad del carbón a 20°C es de 3.5 X 10-5 ohm-m.

(a) El área de un extremo cuadrado es de 1.0 cm2 , o sea, 1.0 X 10-4 m2 . La  siguiente ecuación da el valor para la resistencia entre los extremos cuadrados:

(b) Para la resistencia entre las caras rectangulares opuestas (área = 5.0 X 10-3 m2 ), tenemos:

 

Así pues, un conductor dado puede tener diversas resistencias, según la forma como se le aplique la diferencia de potencial. La relación entre las resistencias en los dos casos anteriores es 2600. Suponemos en cada caso que la diferencia de potencial se aplica al bloque de tal manera que las superficies entre las cuales se busca la resistencia son equipotenciales, pues de otro modo no sería válida la ecuación usada.

La figura siguiente muestra (con línea llena) la forma como varía la resistividad del cobre con la temperatura. A veces, para usos prácticos, estos datos se expresan en forma de ecuación.

Figura : La resistividad del cobre en función de la temperatura. La linea interrumpida es una aproximación que se ajusta a la curva en los dos puntos marcados con circulitos. El punto marcado To, ρo se escoge como punto de referencia.

Si estamos interesados sólo en un intervalo limitado de temperaturas que se extiendan, digamos, de 0 a 500°C, podemos ajustar una línea recta a la curva de la figura, haciéndola que pase por dos puntos escogidos arbitrariamente (véase la línea interrumpida). Escogernos el punto designado To, ρo en la figura como punto de referencia; en este caso, To es 0ºC y ρo es 1.56 X 10-8 ohm-m. La resistividad ρ a cualquier temperatura T se puede encontrar mediante la ecuación empírica de la recta marcada con línea interrumpida en la figura que es: 

ρ = ρo[1 + α(T -To)].

Esta relación muestra correctamente que ρ --> ρo cuando T -->To

Si en la ecuación anterior despejamos a α, obtenemos:

Comparando ecuaciones, vemos que esta expresión α es un coeficiente medio de temperatura de resistividad para un par de temperaturas escogidas, y no el coeficiente de temperatura de resistividad a una temperatun dada, que es la definición de α. Para la mayoría de los fines prácticos, la última da resultados que quedan dentro de los limites aceptables de exactitud.

 

Ley de Ohm

George Simon Ohm, descubrió en 1827 que la corriente en un circuito de corriente contínua varía directamente con la diferencia de potencial, e inversamente con la resistencia del circuito. La ley de Ohm establece que la corriente eléctrica (I) en un conductor o circuito, es igual a la diferencia de potencial (E) sobre el conductor (o circuito), dividido por la resistencia (R) del mismo. En unidades prácticas (mks) , por lo tanto,

por transposición algebraica, la ley de Ohm puede expresarse en otras dos formas equivalentes:

La ley de Ohm se aplica a la totalidad de un circuito o a una parte o conductor del mismo . Por lo tanto, la diferencia de potencial (caída de voltaje) sobre cualquier parte de un crcuito o conductor, es igual a la corriente (I ) que circula por el mismo, multiplicada por la resistencia (R) de esa parte del circuito, o sea, E= IR. La corriente total en el circuito, es igual a la fem (E) de la fuente, dividida por la resistencia total (R), o I = E/R. Similarmente, la resistencia (R) de cualquier sección o de la totalidad del circuito, es igual a la diferencia de potencial que actúa en esa parte o en todo el circuito, dividido por la corriente, o sea, R = E/I.

PROBLEMA 12. ¿Qué corriente circula por una resistencia de 50 ohms cuando se aplica una diferencia de potencial de 12 volts sobre sus terminales?

PROBLEMA 13. ¿Cuál es la resistencia de un calefactor que drena 14,2 amperes cuando se lo conecta a la línea de alimentación de 220 volts?

PROBLEMA 14. Determinar el voltaje (o diferencia de potencial) que debe aplicarse a un calefactor eléctrico de 44 ohms (cuando está caliente) para que drene una corriente de 5 amps.

SOLUCIóN. E = IR = 5 amp X 44 ohms = 220 volts.

PROBLEMA 15 . Un amperímetro conectado en serie con una resistencia desconocida, indica 0,4 amperios (Fig. 1-2). Un voltímetro conectado sobre los terminales de la resistencia, indica 24 voltios. Determinar el valor de la resistencia. (El circuito indicado en la Fig. 1-2 se usa comúnmente para medir la resistencia "en caliente" de algunos aparatos, tales como calefactores eléctricos, lámparas incandescentes, tostadoras ,etc.)

PROBLEMA 16. Un reóstato (resistencia variable) tiene una resistencia máxima de 5 ohms y una mínima de 0,3 ohms. Si la corriente a través del reóstato es 12 amperes, ¿cuál es la caída de voltaje sobre el mismo para cada condición?

SOLUCIóN. Para resistencia máxima (5 ohms), la caída de voltaje es,

E = IR = 12 amps X 5 ohms = 60 volts

para resistencia mínima (0,3 ohms), la caída de voltaje es,

E = IR = 12 amps X 0,3 ohm = 3,6 volts

PROBLEMA 17. A un circuito se le aplica una diferencia de potencial de 28 volts (Fig. 1-3). ¿Cuál es la resistencia que debe incluirse en el circuito para limitar la corriente a 56 miliamperes (56 mA) ?

 

PROBLEMA 18. El voltaje aplicado a un circuito de resistencia constante se cuadruplica. ¿Qué cambio se produce en la corriente?

SOLUCIóN. Dado que la corriente es directamente proporcional al voltaje, también ésta se cuadruplica, si la resistencia permanece constante. Matemáticamente, si I1 es la corriente inicial e I2 es la corriente final:

Por lo tanto,

PROBLEMA 19. Si se reduce a la mitad la resistencia de un circuito de voltaje constante, ¿qué sucede con la corriente?
SOLUCIóN. Dado que la corriente es inversamente proporcional a la resistencia, si el voltaje aplicado es constante, se duplica la corriente:

por lo tanto,

PROBLEMA 20. El voltaje sobre un circuito de corriente constante aumenta en un 25 %. ¿Cómo debe variar la resistencia del circuito?

SOLUCIóN. Sea R1 = resistencia inicial y R2 = resistencia final.

Entonces,

Por lo tanto,

(es decir que la resistencia también aumenta en un 25 %).

Problemas adicionales :

PROBLEMA 20a - Encuéntrese I cuando V = 120 V y R = 30 ohms. Úsese la ecuación I=V/R para encontrar la incógnita I.

PROBLEMA 20b - Encuéntrese R cuando E = 220 V e I = 30 Ω. Úsese la ecuación R = V/I para encontrar la incógnita R.

PROBLEMA 20c - Encuéntrese V cuando I = 3.5 A y R = 20 . Úsese la ecuación V = IR  para encontrar la incógnita E.

PROBLEMA 20d - Un foco eléctrico consume 1.0 A al operar en un circuito de CC de 120 V. ¿Cuál es su resistencia?. El primer paso en la solución de un problema de circuitos es trazar un diagrama esquemático del circuito en cuestión, marcando cada una de sus partes e indicando los valores conocidos (ver figura siguiente).

Como se conocen V e I, usamos la ecuación R=V/I al resolver para R.

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