MEDICIONES ELÉCTRICAS - PROPIEDADES DE LOS INSTRUMENTOS INDICADORES

El galvanómetro de movimiento D'Arsonval responde al valor promedio o de corriente continua de la corriente que circula por la bobina móvil. Si el galvanómetro conduce una corriente alterna con medios ciclos positivos y negativos, el par producido será en una dirección para el ciclo positivo y en la otra para el negativo. Si la frecuencia de la señal es muy baja, la aguja oscilará hacia adelante y hacia atrás alrededor del punto cero de la escala del medidor. A altas frecuencias, la inercia de la bobina es tan grande que la aguja no puede seguir las rápidas inversiones en el par y vibra suavemente alrededor del cero. Para medir corriente alterna con un galvanómetro D'Arsonval, se deben diseñar algunos medios para obtener un par unidireccional que no se invierta cada medio ciclo. Un método es el de rectificación de la corriente alterna, de tal forma que la corriente rectificada deflecte la aguja. Otros métodos se basan en medir el efecto de calentamiento de la corriente alterna para producir una indicación de su magnitud. Algunos de éstos se detallan a continuación en estas páginas.

Electrodinamómetro

Uno de los movimientos más importantes de corriente alterna es el electrodinamómetro. Se utiliza a menudo en voltímetros y amperímetros de corriente alterna muy exactos, no solamente para la medición de señales de alta frecuencia de la línea de energía sino también para señales que se encuentren en rangos bajos de audiofrecuencia. Con algunas pequeñas modificaciones, el electrodinamómetro se puede emplear como wattímetro, medidor de VAR, medidor de factor de potencia o frecuencímetro. El movimiento de electrodinamómetro también puede servir como un instrumento de transferencia, ya que se puede calibrar en corriente continua y luego utilizarlo directamente en corriente alterna, con lo cual se establece la equivalencia entre las mediciones de voltaje de corriente alterna y corriente continua.

El elemento móvil D'Arsonval utiliza un imán permanente para generar el campo magnético en el cual gira la bobina móvil; el electrodinamómetro utiliza la corriente por medir para producir el flujo de campo necesario. La figura siguiente muestra las partes de este movimiento.

Fig. Diagrama esquemático del movimiento del electrodinamómetro.

Una bobina fija, dividida en dos partes iguales, proporciona el campo magnético en el cual gira la bobina móvil. Las dos medias bobinas se conectan en serie con la bobina móvil y se alimentan con la corriente por medir. Hay suficiente espacio entre las bobinas fijas para permitir el paso del eje de la bobina móvil. La bobina móvil tiene unida una aguja balanceada por medio de un contrapeso. Su rotación se controla mediante resortes, similar a la construcción del galvanómetro D'Arsonval. El montaje completo está rodeado por un blindaje laminado para proteger el instrumento de los campos magnéticos exteriores que puedan afectar su operación. El amortiguamiento se logra mediante aletas de aluminio que se mueven en cámaras de aire. El mecanismo se construye en forma muy sólida y rígida, para mantener invariables sus dimensiones mecánicas y que su calibración esté intacta. Una vista de un corte de un electrodinamómetro se muestra en la figura a continuación :

.

Fig. : Vista interior de un electrodinamómetro; muestra los arreglos de bobinas fijas y móviles. El mecanismo es construido rígidamente, rodeado de un blindaje laminado para minimizar el efecto de los campos magnéticos externos en la indicación del medidor. (Cortesía de Weston Instruments, Inc.)

Para entender la operación del instrumento conviene recordar las expresiones del par desarrollado por una bobina suspendida en un campo magnético. Se define  que:

T= B x A x I x N

lo cual indica que el par que deflecta la bobina móvil es directamente proporcional a las constantes de la bobina (A y N), la intensidad del campo magnético en el cual la bobina se mueve (B), y a la corriente que circula por la bobina. En el electrodinamómetro la densidad de flujo (B) depende de la corriente que circula a través de la bobina fija y por lo tanto es directamente proporcional a la corriente de de flexión (I). Puesto que las dimensiones de la bobina y su número de vueltas son cantidades fijas para un medidor dado, el par desarrollado es una función de la corriente al cuadrado (I²).

Si el electrodinamómetro se diseña exclusivamente para utilizarlo en corriente continua, la escala cuadrática se observa fácilmente mediante las marcas de la escala agrupadas en valores muy bajos de corriente, y aumentando el espaciamiento progresivamente hacia los valores más altos de corriente. Para utilizarlo en corriente alterna, el par desarrollado en cualquier instante es proporcional a la corriente instantánea al cuadrado (i²). El valor instantáneo de i² siempre es positivo y, por consiguiente, se producirá un par pulsante.

El movimiento del electrodinamómetro no puede seguir las rápidas variaciones del par y toma una posición en la cual el par promedio se equilibra con el par de control de los resortes. La deflexión del medidor es función de la media del  cuadrado de la corriente. La escala del electrodinamómetro se calibra en términos de la raíz cuadrada de la corriente promedio al cuadrado; de esta forma, el medidor indica valores efectivos o rms de la corriente alterna.

Las propiedades de transferencia del electrodinamómetro son claras cuando se compara el valor efectivo de una corriente alterna con el de la corriente directa en términos de sus efectos caloríficos o transferencia de potencia. Una corriente alterna que produce calor en una resistencia dada a la misma razón promedio que una corriente directa (I) tiene, por definición una corriente de I amperes.

La razón promedio de generación de calor por una corriente continua de I amperes en una resistencia R es I²R watts. La razón promedio de generación de calor por una corriente de i amperes durante un ciclo en la misma resistencia R es

  Por definición :

Si el electrodinamómetro se calibra con una corriente directa de 1 A y se marca la escala para indicar este valor de 1 A de corriente continua la corriente alterna que produce una deflexión de la aguja a esa misma marca en la escala corresponderá a un valor rms de 1 A. De esta forma, se puede "transferir" una lectura realizada con corriente continua a su valor en corriente alterna y así se establece una correspondencia directa entre corriente alterna y corriente continua. El electrodinamómetro puede ser muy útil como un instrumento de calibración, y se utiliza con este propósito, por su exactitud inherente.

El electrodinamómetro presenta cierras desventajas. Una de ellas es su alto consumo de energía, como consecuencia directa de su construcción. La corriente medida, además de circular por la bobina móvil debe proporcionar el flujo de campo. Para obtener suficiente campo magnético fuerte, se requiere una alta fmm (fuerza magnetomotriz) y la fuente debe suministrar corriente y potencia altas. A pesar de este consumo alto de energía .el campo magnético es más débil que el del galvanómetro D'Arsonval ya que no hay hierro en el circuito; es decir, toda la trayectoria de flujo consiste en aire. Algunos instrumentos incluyen acero laminado especial como parte de la trayectoria de flujo; pero la presencia del metal introduce problemas de calibración causados por los efectos de frecuencias y formas de onda. Los valores típicos de la densidad de flujo de un electrodinamómetro están en el intervalo de 60 gauss. Estos se comparan muy desfavorablemente con las densidades de flujo altas (1000 a 4000 gauss) de un buen galvanómetro D'Arsonval. La densidad de flujo baja de un electrodinamómetro afecta de inmediato el par producido y, por lo tanto, la sensibilidad del instrumento es generalmente muy baja.

La adición de una resistencia en serie conviene al electrodinamómetro en un voltímetro, el cual otra vez puede usarse para medir voltajes de corrientes continuas y alternas. Por las razones mencionadas, la sensibilidad de un voltímetro electrodinamómetro es baja, del orden de 10 a 30 Ω/V (comparada con 20 Ω /V de un medidor D'Arsonval). La reactancia y la resistencia de la bobina también se incrementan cuando aumenta la frecuencia, limitando la aplicación del voltímetro electrodinamómetro a rangos de frecuencias bajas. Es muy exacto para la medición de señales a la frecuencia de la línea de energía y por lo general se utiliza como un patrón secundario.

El movimiento electrodinámico (incluso sin derivación) se puede utilizar como un amperímetro, sin embargo es difícil diseñar una bobina móvil que pueda conducir más de aproximadamente 100 mA. Las corrientes altas se deberían conducir hacia la bobina móvil mediante terminales de alambre grueso, con lo que se perdería su flexibilidad. En caso de emplear una derivación, se coloca únicamente a través de la bobina móvil. Las bobinas fijas se fabrican de alambre grueso, y pueden conducir corrientes totales altas. Esto permite construir amperímetros para corrientes de hasta 20 A. Para medir valores de corrientes de corriente alterna mayores se utilizan transformadores de corriente y un amperímetro patrón de 5 A de corriente alterna.  

MEDICIONES EN CORRIENTE ALTERNADA

Voltímetros y amperímetros (polímetros).

En corriente alterna no tiene sentido hablar de polaridad, puesto que la magnitud a medir varía constantemente con el tiempo. Por esta razón no hay que atender a esta circunstancia en las medidas de alterna realizadas con voltímetros y amperímetros.

Hay que tener en cuenta que la magnitud indicada por el aparato de medida es, en los aparatos de medida del laboratorio, el valor eficaz de la corriente o de la tensión.

La medición de valores de CA es más compleja que en CC. Se requiere una total comprensión de las relaciones básicas existentes entre las diversas indicaciones de los instrumentos y el significado de las aparentes discrepancias entre los valores leídos. Muy a menudo, cuando se miden parámetros de CA (voltaje, corriente, potencia y otros) se emplea un proceso de rutina, cuando no debe ser así. Tal procedimiento introduce un serio error por el solo hecho de la anomalía introducida al observar la verdadera naturaleza de la cantidad medida.

Forma de onda

Una onda no-senoidal tiene un valor promedio que puede ser considerablemente diferente del valor promedio de una onda senoidal pura (para la cual se calibró el medidor) y la lectura puede ser errónea. El factor de forma relaciona el valor promedio y el valor rms de los voltajes y corrientes variantes en el tiempo.

Para una onda senoidal:

Nótese que el voltímetro del ejemplo anterior tiene una escala adecuada sólo para mediciones de señales senoidales. El factor de forma de la última ecuación arriba también es el factor por el cual la corriente real (promedio) se multiplica para obtener las marcas de la escala de rms equivalentes.

El elemento rectificador ideal debe tener resistencia directa cero e inversa infinita. Sin embargo, en la práctica el rectificador es un dispositivo no-lineal, indicado por las curvas características de la figura siguiente.

Figura . Curvas características de un rectificador de estado sólido

A valores bajos de corriente directa, el rectificador opera en una parte extremadamente no lineal de su curva característica, y su resistencia es grande en comparación con la resistencia a valores más altos de corriente. Por lo general las marcas de la escala de un voltímetro de rango bajo están demasiado juntas por lo que muchos fabricantes colocan una escala adicional para voltajes bajos, calibrada especialmente para este propósito. La alta resistencia en la primera parte de la curva característica del rectificador también impone un límite a la sensibilidad que se puede obtener en microamperímetros y voltímetros

La resistencia del elemento rectificador cambia con las variaciones de temperatura; ésta es una de las mayores desventajas de los instrumentos de corriente alterna tipo rectificador. La exactitud del medidor suele ser satisfactoria en condiciones normales de operación a temperatura ambiente y es generalmente del orden de  +/- 5% de la lectura a plena escala con una onda senoidal. A temperaturas muy altas o bajas, la resistencia del rectificador cambia la resistencia total del circuito medidor lo suficiente para que las mediciones sean erróneas. Si se esperan grandes variaciones de temperatura, el medidor debe estar dentro de un gabinete de temperatura controlada.

La frecuencia también afecta la operación de los elementos rectificadores. El rectificador presenta propiedades capacitivas y tiende a filtrar frecuencias altas. Las lecturas del medidor pueden ser erróneas hasta un 0.5% menos por cada aumento de 0.5% kHz en la frecuencia.

Las indicaciones en valores medios o eficaces no son de tanta importancia cuando se trata de la corriente de línea, de 50 ó 60 Hz, como tampoco lo es cuando se trata de una onda sinusoidal pura. En tales casos, cualquier instrumento que indique valor medio podrá calibrarse también en términos de valor eficaz con sólo aplicar las constantes de conversión,

Sin embargo, estas relaciones entre valores medio, efectivo y máximo, no se cumplen con otras formas de onda que no sean sinusoidales. Por consiguiente, no resulta válida la aplicación de factores fijos de conversión y los instrumentos denominados "de valor efectivo verdadero" , que indican valores efectivos en forma directa o indirecta, deberán reemplazar a los indicadores mucho más simples que miden valores medios, pero que se han calibrado en términos de valores efectivos.

Indicador con rectificador

En términos generales los instrumentos tipo rectificador usan un galvanómetro PMMC en combinación con algún arreglo rectificador. El elemento rectificador consiste por lo común en un diodo de germanio o silicio. Los rectificadores de óxido de cobre y selenio son obsoletos, ya que tienen regímenes de voltaje inverso pequeños y sólo pueden manejar cantidades de corriente limitadas. Los diodos de germanio tienen un voltaje pico inverso (PIV) de 300 V y un régimen de corriente de alrededor de 100 mA. Los diodos rectificadores de silicio de baja corriente tienen un PIV superior a 1000 V y un régimen de corriente del orden de 500 mA.

Algunas veces los rectificadores para trabajar en instrumentos constan de cuatro diodos en una configuración de puente, con lo que proporcionan una rectificación de onda completa. La figura siguiente muestra un voltímetro de corriente alterna compuesto por una resistencia multiplicadora, un puente rectificador y un galvanómetro PMMC.

Figura. Voltímetro de corriente alterna tipo rectificador de onda completa.

El puente rectificador produce una corriente pulsante unidireccional a través del medidor, sobre un ciclo completo del voltaje de entrada. Por la inercia del galvanómetro, el medidor indica una deflexión estable proporcional al valor promedio de la corriente. Dado que las corrientes y voltajes alternos se suelen expresar en valores rms. la escala del medidor se calibra en término de los valores rms de una forma de onda senoidal.

Consideremos un indicador conectado en serie con un resistor y un rectificador (diodo) . Cuando se aplica una tensión de CA al instrumento, la deflexión será proporcional al "valor medio" de la corriente rectificada. El indicador podrá calibrarse entonces en valores efectivos sólo si se conoce el factor de forma de onda de la sinusoide de CA.

En un voltímetro de corriente alterna experimental se emplea el circuito de la figura a) anterior, donde el movimiento PMMC tiene una resistencia interna de 50 Ω necesita una corriente continua de 1mA para deflexión a plena escala. Considérese que los diodos son ideales (resistencia directa cero y resistencia inversa infinita) y calcúlese el valor de la resistencia multiplicadora R para obtener una deflexión del medidor a plena escala con 10 V de corriente alterna (rms) aplicados a las terminales de entrada.

SOLUCION: Para rectificación de onda completa,

La resistencia del circuito total, despreciando la resistencia directa del diodo, es

Circuitos típicos de multímetro de corriente alterna

En general, los voltímetros de corriente alterna tipo rectificador usan el arreglo de la figura siguiente,

Figura . Circuito de un voltímetro de corriente alterna típico de un multímetro comercial

Se emplean dos diodos en este circuito, formando un rectificador de onda completa con el galvanómetro conectado de forma que sólo reciba la mitad de la corriente rectificada.

El diodo D₁, conduce la mitad del ciclo positivo de la señal de corriente alterna de entrada y hace que el medidor se deflecte de acuerdo con el valor promedio de esa mitad del ciclo. La bobina móvil del medidor tiene una resistencia en derivación R_Sh con el objeto de que circule más corriente por el diodo D, y así mover su punto de operación dentro de la parte lineal de su curva característica. Sin el diodo D₂, la mitad del ciclo negativo del voltaje de entrada aplicaría un voltaje inverso a través del diodo D₁, produciendo una pequeña corriente de fuga en la dirección inversa. El valor promedio del ciclo completo seria menor al de rectificación de media onda. El diodo D₂, soluciona este problema. En el semiciclo negativo, D₂ conduce completamente, y la corriente a través del circuito de medición, que ahora es en dirección opuesta, no pasa por el movimiento del medidor.

Por lo general el multímetro comercial tiene las mismas marcas de escala para ambos rangos de voltaje de corriente continua y corriente alterna. En virtud de que la componente de corriente continua de una onda senoidal para rectificación de media onda es igual a 0.45 veces el valor rms, se presenta de inmediato un problema. Con el fin de obtener la misma deflexión en los intervalos de voltaje correspondientes de corriente continua y corriente alterna, el multiplicador para el rango de corriente alterna se debe disminuir proporcionalmente. El circuito de la figura siguiente ilustra la solución al problema y éste se detalla en el ejemplo que sigue:

Figura . Cálculo de resistencia multiplicadora y la sensibilidad de un voltímetro ca.

Problema de ejemplo:

La bobina móvil de un medidor tiene una resistencia interna de 100 Ω y necesita 1 mA de corriente continua para la deflexión a plena escala. Se coloca una resistencia de derivación R_sh a través de la bobina móvil, con un valor de 100 Ω . Los diodos D1 y D2 tienen una resistencia directa en promedio de 400 Ω cada una, y se supone que poseen una resistencia inversa infinita. Para una escala de corriente alterna de 10 V, calcúlese a) el valor del multiplicador R_sh b) la sensibilidad del voltímetro en la escala de corriente alterna.

SOLUCIÓN a) Dado que R_m y R_sh son iguales a 100Ω , la corriente total que la fuente debe suministrar para la deflexión a plena escala es I_t = 2 mA. Para rectificación de media onda el valor de corriente continua equivalente del voltaje de corriente alterna rectificado es :

La resistencia total del circuito del instrumento es

La resistencia total está constituida de varios valores. Como sólo interesa la resistencia del circuito durante la mitad del ciclo en el cual la bobina móvil recibe corriente, se puede eliminar la resistencia infinita de la polarización inversa del diodo D₂ del circuito. Por lo tanto:

El valor del multiplicador es

b) La sensibilidad del circuito en su escala de corriente alterna de 10 V es

El mismo movimiento utilizado en un voltímetro de corriente continua, daría una sensibilidad de 1000 Ω/V.

Un circuito del diagrama esquemático simplificado de un multímetro típico para la medición de volts de corriente alterna  se reproduce en la figura que sigue. Las resistencias R9,  R13, R7 y R6  forman una serie de multiplicadores para los rangos de voltaje de 1000 V, 250 V,  50 V y 10 V,  respectivamente y sus valores se indican en el diagrama de la figura siguiente. En los rangos de 2.5 V de corriente alterna la resistencia R23 actúa como multiplicador y corresponde al valor de Rs del ejemplo anterior, de la figura anterior.

Figura. Circuilo de un voltímetro multirrango Simpson modelo 260. (Cortesía de Simpson Electric Company.)

La resistencia R24 es la derivación del medidor y mejora la operación del rectificador. Ambos valores están sin especificar en el diagrama y se eligen por el fabricante. Un poco de reflexión basta para convencerse que la resistencia de derivación debería ser de 2000 Ω, igual a la resistencia del medidor. Si la resistencia directa promedio de los elementos del rectificador es de 500Ω (suposición razonable), entonces la resistencia R23 debe tener un valor de 1000Ω.  Esto es debido a que la sensibilidad del medidor en los rangos de corriente alterna se da como 1000 Ω/V; en el rango de corriente alterna de 2.5 V, el circuito ha de tener una resistencia total de 2500 Ω. Este valor se obtiene de la suma de R23 , la resistencia directa del diodo y la combinación de las resistencias de la bobina móvil y la resistencia de derivación como se muestra en el problema de ejemplo anterior.

Rectificador en serie

Fig. 12 - Voltímetro elemental de 0 - 10 volts, con rectificador en serie.

Precaución: La presencia de una componente de CC en el voltaje de CA a medir desvirtúa la calibración e, incluso, puede dañar el diodo y el instrumento.

En la Figura 12 se presenta el circuito de un instrumento con rectificador en serie, con un alcance en valores efectivos de 0 a 10 volts. La sensibilidad del indicador es de 1.000 ohms por volt. La extensión del alcance de voltaje se obtiene por el aumento de la resistencia serie. Para mediciones de alta tensión deberán utilizarse dos o más diodos en serie a fin de aumentar la resistencia inversa y el voltaje de ruptura. La calibración es lineal desde 0,1 volt hasta 10 volts efectivos. Puede utilizarse la escala original del indicador de CC para la calibración en valores efectivos si el resistor serie se ha ajustado de modo tal que para 10 volts; de CA en la entrada del instrumento éste deflexione a plena escala. Así entonces, cada indicación del miliamperímetro multiplicada por 10 será el valor efectivo del voltaje de entrada, La resistencia de la fuente de donde se mide la tensión no debe exceder de unos pocos cientos de ohms; de no ser así, el instrumento introduciría una carga excesiva y produciría indicaciones falsas. Debe tenerse en cuenta que no es posible calibrar en forma directa los alcances inferiores a 10 volts, puesto que la relación corriente de salida-voltaje de entrada deja de ser lineal.

Rectificador en paralelo

Fig. 13 - Voltimetro elemental de 0-10 volt con rectificador en paralelo.

En la Figura 13 se exhibe un indicador con rectificador en paralelo. Las especificaciones y la calibración son muy semejantes a la del instrumento con rectificador en serie. En esta configuración, el rectificador representa una carga adicional sobre la fuente, pero permite mediciones de voltaje de CA con componente de CC superpuesta.

Voltímetro de CA de elevada sensibilidad.

Fig. 14 - Voltímetro de CA de alta sensibilidad.

El circuito del instrumento que se exhibe en la Figura 14 emplea un indicador de 0-10 µA y tiene una sensibilidad de 100.000 ohms por volt. El instrumento posee seis alcances que se extienden desde 0-1 volt hasta 500 volts. Para cada alcance se emplea un resistor serie separado. A fin de obtener una resistencia inversa muy elevada y alta tensión de ruptura, se utilizan dos diodos. Si se adoptan diodos de silicio deberá restringirse el alcance mínimo; debido a que éstos tienen un voltaje de umbral más elevado. Pero en cambio, la resistencia inversa y la tensión de ruptura, serán mucho más altos.

Los valores indicados para los resistores del multiplicador de alcances deberán considerarse sólo como una guía; los valores exactos se determinarán por calibración, puesto que los mismos dependen de las características de los diodos que se utilicen.

Debido a la pequeña corriente directa que circula por el instrumento, los diodos trabajan en. la región de umbral. Por consiguiente no debe esperarse que exista linealidad entre la corriente de salida y el voltaje de entrada, y las escalas deberán trazarse punto por punto. La deflexión a plena escala, sin resistor serie, se obtiene con una entrada eficaz de 0,25 volt. Este instrumento de CA podrá utilizarse con frecuencias comprendidas entre 50 Hz y varios cientos de kilobertz.

Mediciones de corriente

Fig. 15 - Indicador de CA con rectificador en puente.

El amperímetro de CA más eficiente y apropiado utiliza un rectificador de onda completa, con un puente de diodos, y un micro o miliamperímetro de CC como indicador (Figura 15 ). En su alcance inferior (máxima sensibilidad) el indicador no lleva resistencia serie y debe calibrarse, por consiguiente, por comparación con un instrumento patrón. La extensión de los alcances del instrumento se obtiene montando varios resistores "shunt" en su entrada de CA.

Fig. 16. Extensión del alcance de un amperímetro de CA mediante un transformador de intensidad.

Este tipo de instrumento, o un verdadero amperímetro de CA, o aun un voltímetro de CA, pueden emplearse para medir grandes niveles de corriente si se los conecta en serie con la carga a través de un transformador de intensidad (T), como se indica en la Figura 16. El devanado primario de T tiene, generalmente, una reactancia muy baja, de modo tal que produce la mínima caída de tensión. El alcance o factor de multiplicación se determina por la relación de espiras del transformador.

Vatímetros

Sea un dipolo eléctrico en el que se ha conectado un vatímetro tal como se indica en la figura siguiente:

La magnitud que señala el vatímetro viene dada por la expresión:

en donde (U,I) indica el desfase entre la corriente y la tensión. Al ser el coseno una magnitud con signo, la lectura del vatímetro podrá ser positiva o negativa. Puesto que el vatímetro está diseñado para indicar magnitudes positivas, cuando la aguja del vatímetro tienda a desplazarse hacia la izquierda habrá que cambiar las conexiones de forma que la lectura sea positiva. A esta habrá que cambiarle el signo.

Cuando la lectura es positiva con unas conexiones como las de la figura anterior, el desfase entre la tensión y la corriente estará comprendido entre - π/2 y π/ 2 , por lo que el dipolo estará consumiendo potencia. Por el contrario, cuando la lectura sea negativa (hay que recordar que habrá que cambiar las conexiones del vatímetro, y posteriormente el signo de la lectura de dicho aparato), el dipolo estará produciendo potencia.

DETERMINACION DE LAS COMPONENTES DE UNA IMPEDANCIA COMPLEJA

Según el método del amperímetro, voltímetro y vatímetro. Sea el montaje de la figura siguiente.

Se suponen ideales los aparatos de medida. Las relaciones entre las distintas magnitudes son:

Se pueden hallar los distintos parámetros de los circuitos, haciendo:

que nos permiten calcular las componentes R y X de la impedancia Z.

Los valores de P, U e I son las medidas con el vatímetro, voltímetro y amperímetro, respectivamente.

También se puede operar de la manera siguiente:

de donde se deduce:

CIRCUITO SERIE R-L-C

Como ejemplo, podemos realizar el diagrama vectorial del circuito de alterna de la figura:

donde:
R: resistencia de 47 Ω
Z: bobina, entre las tomas extremas.
C: condensador fijo de 30 μF.
E: la fuente de tensión de c.a. de 50 Hz, cuyo valor es de 90 V

Realizar el montaje de la figura. Empléese el mismo voltímetro sucesivamente para obtener las distintas medidas de tensión.

Con los valores de las medidas obtenidas, dibujar el diagrama vectorial de tensiones e intensidades.

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