CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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Los teoremas de circuitos y los métodos de resolución estudiados son muy útiles para el tratamiento de circuitos simples o complejos. Con su aplicación es posible aproximarse y llegar a comprender de una manera sistemática problemas de circuitos que serían muy dificil de abordar por el método desarrollado. Desde ya se descarta que el alumno conoce perfectamente la combinación de resistencias en serie y paralelo.

Los teoremas aquí desarrollados son aplicables a los circuitos formados por elementos activos y pasivos lineales y bilaterales.

Fuentes de tensión y de corriente

Antes de explicar las fuentes de tensión y de corriente ideales, es preciso considerar la naturaleza general de las fuentes eléctricas. Una fuente eléctrica es un dispositivo capaz de convertir energía no eléctrica en energía eléctrica y viceversa. Una batería, durante su descarga, convierte energía química en energía eléctrica, mientras que una batería que esté siendo cargada convierte la energía eléctrica en energía química. Una dinamo es una máquina que convierte energía mecánica en energía eléctrica y viceversa. Si está operando en el modo de conversión mecánico a eléctrico, se denomina generador; si está transformando energía eléctrica en mecánica, se denomina motor. Lo importante es que estas fuentes pueden suministrar o absorber potencia eléctrica, generalmente manteniendo la tensión o la corriente. Este comportamiento resulta de gran interés para el análisis de circuitos y condujo a la definición de la fuente de tensión ideal y de la fuente de corriente ideal como elementos de circuito básicos. El desafio consiste en modelar las fuentes reales en función de los elementos de circuito ideales básicos.

Una fuente ideal de tensión es un elemento de circuito que mantiene una tensión prescrita en bornes de sus terminales, independientemente de la corriente que fluya a través de esos terminales. De forma similar, una fuente de corriente ideal es un elemento de circuito que mantiene una corriente prescrita a través de sus terminales, independientemente de la tensión existente en bornes de los mismos.  Estos elementos de circuito no existen como dispositivos reales, sino que se trata de modelos idealizados de las fuentes de corriente y tensión existentes en la práctica.

Utilizar un modelo ideal para las fuentes de corriente y de tensión impone una restricción importante en cuanto al modo de describir esas fuentes matemáticamente. Puesto que una fuente de tensión ideal proporciona una tensión constante, incluso aunque la corriente en el elemento cambie, resulta imposible especificar la corriente de una fuente ideal de tensión en función de la tensión de ésta. De la misma forma, si la única información que tenemos sobre una fuente de corriente ideal es el valor de la corriente suministrada, resulta imposible determinar la tensión en bornes de la fuente de corriente. En otras palabras, hemos sacrificado nuestra capacidad de relacionar la tensión y la corriente en una fuente real en aras de la simplicidad de utilizar fuentes ideales en el análisis de circuitos.

Las fuentes ideales de tensión y de corriente pueden subdividirse en fuentes independientes y fuentes dependientes. Una fuente independiente establece una tensión o corriente en un circuito que no dependen de las tensiones o corrientes existentes en otras partes del circuito. El valor de la tensión o corriente suministradas está especificado, exclusivamente, por el valor de la propia fuente independiente. Por contraste, una fuente dependiente proporciona un tensión o corriente cuyo valor depende de la tensión o corriente existentes en algún otro punto del circuito. No podemos especificar el valor de una fuente dependiente a menos que conozcamos el valor de la tensión o de la corriente de las que la fuente depende.

Los símbolos de  circuito para las  fuentes ideales independientes se muestran en  la  Figura 1.1. Observe que se utiliza un círculo para representar una fuente independiente. Para especificar completamente una fuente de tensión ideal e independiente en un circuito, es preciso incluir el valor de la tensión suministrada y la polaridad de referencia, como se indica en la Figura 1.1 (a). De forma similar, para especificar completamente una fuente de corriente ideal e independiente, será preciso indicar el valor de la corriente suministrada y su dirección de referencia, como se muestra en la Figura 1.1 (b).

Figura 1.1. Simbolos de circuito para (a) una fuente de tensión ideal e independiente y (b) una fuente de corriente ideal e independiente.

Los símbolos de circuito para las fuentes ideales dependientes se muestran en la Figura 1.2. Para representar una fuente dependiente, se utiliza el símbolo de un rombo. Tanto la fuente dependiente de corriente como la fuente dependiente de tensión pueden estar controladas por una tensión o una corriente existentes en otra parte del circuito, por lo que existe un total de cuatro variantes, como se indica mediante los símbolos de la Figura 1.2. Las fuentes dependientes se denominan en ocasiones fuentes controladas.

Figura 1.2. Simbolos de circuito para

  • (a) una fuente de tensión ideal y dependiente controlada por tensión,
  • (b) una fuente de tensión ideal y dependiente controlada por corriente,
  • (c) una fuente de corriente ideal y dependiente controlada por tensión y
  • (d) una fuente de corriente ideal y dependiente controlada por corriente.

Para especificar completamente una fuente de tensión ideal y dependiente controlada por tensión, es necesario indicar la tensión de control, la ecuación que permite calcular la tensión suministrada a partir de la tensión de control y la polaridad de referencia de la tensión suministrada. En la Figura 1.2(a), la tensión de control se denomina vx, la ecuación que determina la tensión suministrada vs, es

vs = μvx

y la polaridad de referencia de vs, es la que se indica. Observe que μ es una constante multiplicadora adimensional.

Existen otros requisitos simi lares para especificar completamente las otras fuentes ideales dependientes. En la Figura 1.2(b), la corriente de control es ix, la ecuación de la tensión suministrada vs, es

vs = ρ ix

la referencia de polaridad es la que se muestra y la constante multiplicadora ρ tiene como dimensiones voltios partidos por amperios. En la Figura 1.2(c), la tensión de control es vx, la ecuación de la corriente suministrada is, es

is = αvx

la dirección de referencia es la mostrada y la constante multiplicadora α tiene como dimensiones amperios partidos por voltios. En la Figura 1.2(b), la corriente de control es ix, la ecuación de la corriente suministrada is, es

is = βix

la dirección de referencia es la mostrada y la constante multiplicadora β es adimensional. Finalmente, en nuestro análisis de las fuentes ideales, observemos que constituyen ejemplos de elementos de circuito activos. Un elemento activo es aquel que modela un dispositivo capaz de generar energía eléctrica. Los elementos pasivos modelan dispositivos físicos que son incapaces de generar energía eléctrica. Las resistencias; las bobinas y los condensadores son, todos ellos, ejemplos de elementos de circuito pasivos. Los Ejemplos 1.1 y 1.2 ilustran el modo en que las características de las fuentes ideales independientes y dependientes limitan los tipos de interconexiones admisibles entre las fuentes.

 

Teorema de superposición

La corriente a través de cualquier elemento de un circuito es la sumatoria de las corrientes que cada fuente de energía del circuito produciría estando sola. Para las restantes fuentes sólo se consideran las resistencias internas, esto equivale a reemplazar por un cortocicuito las de tensión y eliminar dejando un circuito abierto las de corriente.

Una red lineal (por ejemplo, una red de resistencias de cc) que contenga dos o más fuentes independientes puede analizarse para obtener los diversos voltajes y corrientes de rama, permitiendo así que las fuentes actúen una a la vez, y entonces se superponen los resultados. Se aplica este principio debido a la relación lineal entre la corriente y el voltaje. En caso de fuentes dependientes la superposición puede usarse solamente cuando las funciones de control son externas a la red que contiene las fuentes, de modo que los controles permanecen inalterados mientras las fuentes actúen una a la vez. Las fuentes de voltaje que se suprimen mientras una fuente única actúa se reemplazan con cortocircuitos; las fuentes de corriente se remplazan con circuitos abiertos. La superposición no puede aplicarse directamente al cálculo de la potencia, porque en un elemento ésta es proporcional al cuadrado de la corriente o al cuadrado del voltaje, los cuales no son lineales.

Para su demostración se recurrirá a un sencillo circuito de dos mallas mostrado en la figura siguiente, que resuelto por el método sistemático de mallas resulta representado por el siguiente sistema lineal:

Figura 2 : Teorema de superposición

Si se denomina:
Δ: al determinante de la matriz "R"

Δ1: al determinante de la matriz sustituta "S1", que resulta del reemplazo del vector columna "Ri1" de la matriz "R" por el vector columna de términos independientes "ε"

Δ2: al determinante de la matriz sustituta "S2" que resulta del reemplazo del vector columna "Ri2" de la matriz "R" por el vector columna de términos independientes "ε"

 

Desarrollando (1.2) y (1.3) por la suma de los producto de los elementos de una columna y los cofactores asociados queda:

Si se escriben estas expresiones en función de:

Si en la (1.4) se reemplazan "ε1" y "ε2" en función de las fem's del circuito.

Donde:

 

Se comprobará sólo para dos de las componentes de corriente, por ejemplo las "I21" e "I22" de cada malla, cuando sólo está la fuente "E2" habiéndose sustituido "E1" y "E3" por dos cortocircuitos, tal como se muestra en figura 1.2.

Figura 3

Por el método sistemático de mallas:

Los resultados obtenidos en (1.10) y (1.11) cuando únicamente está la fuente "E2" según se comprueba de (1.7) y (1.8), son idénticos a las componentes que produce la misma "E2" cuando todas las fuentes están simultáneamente en el circuito.

Ejemplo: Calcúlese la corriente en el resistor de 23Ω de la siguiente figura (a) aplicando el principio de superposición.

Con la fuente de 200 V actuando sola, la fuente de corriente de 20 A se reemplaza con un circuito abierto, figura (b)

Cuando la fuente de 20A actúa sola, la fuente de 200V se reemplaza por un cortocircuito, figura (c). La resistencia equivalente a la izquierda de la fuente es

La corriente total en el resistor de 23Ω es de

I23Ω = I'23Ω + I''23Ω = 1.65 A + 9.58 A = 11.23 A

Desarrollo del circuito mediante NI Multisim:

Circuito con fuente de corriente abierta :

Circuito con fuente de tensión en cortocircuito :

Circuito completo, con amperímetro colocado en serie con la resistencia de 23 Ω

Observamos que si se suman las dos corrientes de U1 y U2, obtenemos el valor medido en la última figura

1.65 A + 9.58 A = 11.23 A

CIRCUITOS DE DOS, TRES Y CUATRO TERMINALES

Una resistencia, una pila, los terminales de alimentación de un circuito de alumbrado, la salida a los parlantes de un amplificador de sonido, la entrada de antena de un televisor, la ficha de conexión a un aparato telefónico, los tomacorrientes (enchufes) que se disponen en nuestras casas y en general cualquier circuito o parte de estos vistos desde dos terminales, son todos ejemplos de circuitos de dos polos o de dos terminales.

Una linea de transmisión de corriente contínua, el cable que une una antena de televisión con el televisor, una línea telefónica, un amplificador de audio entre la entrada de micrófono y la salida a parlantes, el par de cables que une la salida de un amplificador de sonido y los parlantes, el par de cables que alimenta un conjunto de luces, un transistor, un transformador y cualquier parte de un circuito interconectado con el resto por cuatro nodos, constituyen diversos ejemplos de circuitos de cuatro terminales o polos. Como se desprende de los ejemplos dados cualquiera de los anteriores circuitos, podrían ser clasificados en activos (los que contienen fuentes o elementos activos) y pasivos (los que no contienen elementos activos). Existen muchos casos de circuitos en los que por motivos constructivos tienen sólo tres terminales (caso de un transistor bipolar), o teniendo cuatro terminales, por motivos de masa, retorno o alguna otra razón, dos de sus terminales están referidos al mismo potencial y en consecuencia pueden constituirse en un solo punto de conexión. A estos circuitos se los conoce como de tres terminales.

TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON

El teorema de Thévenin es un método para convertir un circuito complicado en un circuito equivalente sencillo.El teorema de Thévenin afirma que cualquier red lineal compuesta de fuentes de voltaje y resistencias, al considerarse entre dos puntos arbitrarios de la red, puede ser sustituida por una resistencia equivalente RTh en serie con una fuente equivalente VTh. El teorema de Norton se usa para simplificar un circuito en términos de corrientes en lugar de voltajes. Para el análisis con corrientes, se puede utilizar este teorema para reducir una red a un circuito sencillo en paralelo y una fuente de corriente, la cual alimenta una corriente de línea total que se divide entre las ramas en paralelo.

Una red lineal activa con resistencias que contenga una o más fuentes de voltaje o corriente puee reemplazarse por una fuerna única de voltaje y una resistencia en serie (teorema de Thévenin), o por una fuente única de corriente y una resistencia en paralelo (teorema de Norton). El voltaje se llama voltaje de Thévenin, V', y la corriente se llama corriente equivalente de Norton, I'. Las dos resistencias son las mismas, R'. Cuando las terminales ab en la figura 1a, están en circuito abierto, aparecerá un voltaje entre ellas.

Figura 4a, 4b, 4c

 

En la figura b es evidente que este debe ser el voltaje V' del circuito equivalente de Thévenin. Si un cortocircuito se aplica a las terminales, como lo sugiere la línea punteada en la figura 4a, resultará una corriente. En la figura 4c es evidente que esta corriente de ser I' del circuito equivalente de Norton. Ahora bien, si los circuitos 4b y 4c son equivalentes de la misma red activa, también lo son entre sí. Se intuye que I' = V'/R'. Si ambos V' e I' han sido determinados de la misma red activa, entonces R' = V'/I'.

Una consecuencia lógica de tratar con circuitos representados por sistemas lineales es que si entre dos terminales cualesquiera se impone una diferencia de potencial "v" variable que no altere el circuito, la corriente "i" que se impulsa en la nueva malla que se origina, variará linealmente con dicha diferencia de potencial y vendrá representada, en consecuencia, por la función de una recta como la que se muestra en la figura 5

Figura 5

Para demostrar esta afirmación, se usa el circuito de la figura 1.1. En este caso se quiere comprobar el comportamiento del circuito visto desde dos terminales (bornes C y F), habiéndose sustituido para tal fín la fuente "E2" por otra cuya fem denominada "v" sea ajustable, lo que se muestra en figura 6.

Figura 6

Cabe aclarar que podría también haberse dejado "E2" conectándose "v", a través de dos derivaciones tomadas desde cualquier par de nodos, siempre que no correspondan a una fem, por ejemplo los B y F. En tal caso el circuito de dos terminales en cuestión hubiera resultado distinto al de la figura 1.4, porque en lugar de dos mallas hubiera tenido tres y en consecuencia, aunque posible, hubiera sido más complicado de resolver.

Por el planteo hecho el sistema de ecuaciones que representa a este circuito resulta ser el mismo de (3) pero en el que en la expresión (1.6) hay que reemplazar "ε2= E3 - v" e "I2 = i", con lo que la corriente "i" en la nueva malla será:

La expresión (1.14) corresponde a la hipótesis planteada en (1.12) donde

La 1.15 demuestra que "RTH" esta dada por "R1//R3" en serie con "R2" que es la resistencia equivalente vista desde los bornes C y F, habiéndose cortocicuitado todas las fuentes internas.

También la expresión (1.14) muestra que el segundo término tiene la dimensión de una fem, que es constante y por lo tanto para la hipótesis corresponde a la ordenada al origen "ETH"

En resumen, de acuerdo con lo demostrado se puede afirmar que un circuito lineal cualquiera, o parte de éste, visto desde dos nodos, se comporta como un generador en serie con una resistencia. De la figura 1.3 y de las ecuaciones (1.12) y (1.13), se observa que la fem denominada fuente de Thévenin designada con "ETH" se obtiene de determinar la diferencia de potencial entre los nodos en cuestión (C y F para este caso), habiéndose abierto previamente el circuito entre estos nodos lo que implica hacer "i = 0". La resistencia es la que se tiene entre dichos nodos después de haber pasivado todas las fuentes. Pasivar fuentes significa:

1) para una fuente de tensión, sustituirla por un cortocircuito y

2) para una fuente de corriente, eliminarla y dejar el circuito abierto.

La hipótesis de que la relación entre la diferencia de potencial "v" y la corriente "i" impulsada en una nueva malla (formada para el circuito de la figura 6 a partir de los nodos C y F) resulta ser una función lineal, podría haberse expresado también como:

La expresión (1.17) permite decir que la parte del circuito de la figura 6 que se encuentra a la izquierda de los nodos C y F, puede ser reemplazada por una fuente de corriente "IN" en paralelo con una resistencia "RN", ambas constantes del circuito. A continuación se demostrará esta hipótesis con la resolución del circuito propuesto, pero por el método nodal. Según este método el primer paso consiste en sustituir las fuentes reales de tensión por sus equivalentes de corriente.

Para la demostración del teorema, entre los bornes C y F, en lugar de imponer externamente una variación de tensión "v" (como se hizo para la demostración del teorema de Thévenin), aquí se impone una variación de corriente utilizándose una fuente variable de corriente "i", tal como se muestra en figura 7 siguiente.

Figura 7

Como se desprende de la figura, hay dos nodos efectivos y una única ecuación de nodo, ya que el nodo E está vinculado a tierra, por lo tanto el circuito queda representado por:

Por otra parte la otra incógnita "v" que entra en juego, se la puede determinar fácilmente, ya que por definición se conoce el valor impuesto de "i".

Despejando "VB" de (1.18) y sustituyendo en (1.19) se tiene:

Queda demostrado que un circuito lineal cualquiera o parte de él, visto desde dos nodos, se comporta como un generador de corriente "IN" en paralelo con una resistencia "RN".

De la (1.17) y (1.20), se observa que la fuente de corriente "IN" denonominada corriente de Norton, se obtiene haciendo "0" la diferencia de potencial "v", lo que significa hacer un cortocircuito entre los nodos C y F en cuestión. La resistencia es la que se tiene entre dichos nodos después de haber pasivado todas las fuente.

EQUIVALENCIA ENTRE FUENTES REALES DE CORRIENTE Y TENSIÓN

Una aplicación interesante de estos teoremas es su uso para demostrar la equivalencia entre fuentes reales de corriente y tensión.

Figura 8 : Equivalencia de fuentes

 

Ejemplos.

Problema1

Obténgase los circuitos equvalentes de Thévenin y Norton para la red mostrada en la figura 9a

Figura 9.

Con las terminales ab abiertas, las dos fuentes impulsan una corriente en el sentido de las manecillas del reloj, a través de los resistores de 3Ω y 6Ω [Fig. 9(b) ].

Como no pasa corriente a través del resistor superior derecho de 3Ω , el voltaje de Thévenin puede tomarse de cualquier rama activa:

La resistencia R' puede obtenerse poniendo en cortocircuito las fuentes de voltaje [fig. 9(c)] y encontrando la resistencia equivalente de esta red en las terminales ab :

Cuando un cortocircuito se aplica a las terminales, la comente Icc resulta de las dos fuentes. Suponiendo que a través del cortocircuito corre de a a b, por superposición se tiene

La figura 10 muestra los dos circuitos equivalentes. En el caso presente V', R' e I' se obtuvieron independientemente. Ya que estas magnitudes están relacionadas con la ley de Ohm, cualquiera de las dos puede usarse para obtener la tercera.

El valor de los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton es claro cuando una red activa se examina en varias condiciones de carga, cada una representada por un resistor. Esto se aprecia en la figura 10, donde es evidente que los resistores R1, R2,..., Rn.. pueden conectarse uno a la vez, y se obtiene fácilmente la corriente y potencias resultantes. Si se intentara esto en el circuito original usando, por ejemplo, la reducción de red, la tarea sería muy tediosa y llevaría demasiado tiempo.

Figura 10

TEOREMA DE LA TRANSFERENCIA MÁXIMA DE POTENCIA

En ocasiones se desea obtener la máxima transferencia de potencia en una red activa a un resistor RL de carga externa. Suponiendo que la red es lineal puede reducirse a un circuito equivalente como el de la figura 11. Entonces

Y así la potencia absorbida por la carga es

Puede verse que PL alcanza su máximo valor, V'2/4R' cuando RL = R'; entonces la potencia en R' es también V'2/4R'. En consecuencia cuando la potencia transferida es máxima, la eficiencia es de 50%.

Figura 11

Ejemplo 1- Si una batería de 10 V tiene una resistencia interna de Ri =5 Ω (ver circuito siguiente), ¿cuál es la potencia máxima que puede proporcionar al resistor de carga ?

Para una transferencia máxima de potencia,

Solución : la potencia máxima es de 5W.

Ejemplo 2- Prepárese para el ejemplo 1 una tabla de valores de la potencia entregada a la carga cuando la resistencia de carga RL es 1 Ω, 3Ω , 4Ω , 5Ω , 6Ω , 7Ω y 10Ω .

Tabla : Potencia proporcionada a RL

Nótese que cuando RL = Ri = 5 Ω, se transfiere a la carga la máxima potencia de 5 W.

 

 

 

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