CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

www.sapiensman.com

 


 

sapiensman.com/ESDictionary

www.sapiensman/electrotecnia


 

Comprar | Vender


www.sapiensman.com

 

www.sapiensman.com/electrotecnia

 


Los teoremas de circuitos y los métodos de resolución estudiados son muy útiles para el tratamiento de circuitos simples o complejos. Con su aplicación es posible aproximarse y llegar a comprender de una manera sistemática problemas de circuitos que serían muy dificil de abordar por el método desarrollado. Desde ya se descarta que el alumno conoce perfectamente la combinación de resistencias en serie y paralelo.

Los teoremas aquí desarrollados son aplicables a los circuitos formados por elementos activos y pasivos lineales y bilaterales.

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

La corriente a través de cualquier elemento de un circuito es la sumatoria de las corrientes que cada fuente de energía del circuito produciría estando sola. Para las restantes fuentes sólo se consideran las resistencias internas, esto equivale a reemplazar por un cortocicuito las de tensión y eliminar dejando un circuito abierto las de corriente.

Una red lineal (por ejemplo, una red de resistencias de cc) que contenga dos o más fuentes independientes puede analizarse para obtener los diversos voltajes y corrientes de rama, permitiendo así que las fuentes actúen una a la vez, y entonces se superponen los resultados. Se aplica este principio debido a la relación lineal entre la corriente y el voltaje. En caso de fuentes dependientes la superposición puede usarse solamente cuando las funciones de control son externas a la red que contiene las fuentes, de modo que los controles permanecen inalterados mientras las fuentes actúen una a la vez. Las fuentes de voltaje que se suprimen mientras una fuente única actúa se reemplazan con cortocircuitos; las fuentes de corriente se remplazan con circuitos abiertos. La superposición no puede aplicarse directamente al cálculo de la potencia, porque en un elemento ésta es proporcional al cuadrado de la corriente o al cuadrado del voltaje, los cuales no son lineales.

Para su demostración se recurrirá a un sencillo circuito de dos mallas mostrado en la figura siguiente, que resuelto por el método sistemático de mallas resulta representado por el siguiente sistema lineal:

Figura 1.1 : Teorema de superposición

Si se denomina:
Δ: al determinante de la matriz "R"

Δ1: al determinante de la matriz sustituta "S1", que resulta del reemplazo del vector columna "Ri1" de la matriz "R" por el vector columna de términos independientes "ε"

Δ2: al determinante de la matriz sustituta "S2" que resulta del reemplazo del vector columna "Ri2" de la matriz "R" por el vector columna de términos independientes "ε"

 

Desarrollando (1.2) y (1.3) por la suma de los producto de los elementos de una columna y los cofactores asociados queda:

Si se escriben estas expresiones en función de:

Si en la (1.4) se reemplazan "ε1" y "ε2" en función de las fem's del circuito.

Donde:

 

Se comprobará sólo para dos de las componentes de corriente, por ejemplo las "I21" e "I22" de cada malla, cuando sólo está la fuente "E2" habiéndose sustituido "E1" y "E3" por dos cortocircuitos, tal como se muestra en figura 1.2.

Figura 1.2

Por el método sistemático de mallas:

Los resultados obtenidos en (1.10) y (1.11) cuando únicamente está la fuente "E2" según se comprueba de (1.7) y (1.8), son idénticos a las componentes que produce la misma "E2" cuando todas las fuentes están simultáneamente en el circuito.

Ejemplo: Calcúlese la corriente en el resistor de 23Ω de la siguiente figura (a) aplicando el principio de superposición.

Con la fuente de 200 V actuando sola, la fuente de corriente de 20 A se reemplaza con un circuito abierto, figura (b)

Cuando la fuente de 20A actúa sola, la fuente de 200V se reemplaza por un cortocircuito, figura (c). La resistencia equivalente a la izquierda de la fuente es

La corriente total en el resistor de 23Ω es de

I23Ω = I'23Ω + I''23Ω = 11.23 A

CIRCUITOS DE DOS, TRES Y CUATRO TERMINALES

Una resistencia, una pila, los terminales de alimentación de un circuito de alumbrado, la salida a los parlantes de un amplificador de sonido, la entrada de antena de un televisor, la ficha de conexión a un aparato telefónico, los tomacorrientes (enchufes) que se disponen en nuestras casas y en general cualquier circuito o parte de estos vistos desde dos terminales, son todos ejemplos de circuitos de dos polos o de dos terminales.

Una linea de transmisión de corriente contínua, el cable que une una antena de televisión con el televisor, una línea telefónica, un amplificador de audio entre la entrada de micrófono y la salida a parlantes, el par de cables que une la salida de un amplificador de sonido y los parlantes, el par de cables que alimenta un conjunto de luces, un transistor, un transformador y cualquier parte de un circuito interconectado con el resto por cuatro nodos, constituyen diversos ejemplos de circuitos de cuatro terminales o polos. Como se desprende de los ejemplos dados cualquiera de los anteriores circuitos, podrían ser clasificados en activos (los que contienen fuentes o elementos activos) y pasivos (los que no contienen elementos activos). Existen muchos casos de circuitos en los que por motivos constructivos tienen sólo tres terminales (caso de un transistor bipolar), o teniendo cuatro terminales, por motivos de masa, retorno o alguna otra razón, dos de sus terminales están referidos al mismo potencial y en consecuencia pueden constituirse en un solo punto de conexión. A estos circuitos se los conoce como de tres terminales.

TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON

Una red lineal activa con resistencias que contenga una o más fuentes de voltaje o corriente puee reemplazarse por una fuerna única de voltaje y una resistencia en serie (teorema de Thévenin), o por una fuente única de corriente y una resistencia en paralelo (teorema de Norton). El voltaje se llama voltaje de Thévenin, V', y la corriente se llama corriente equivalente de Norton, I'. Las dos resistencias son las mismas, R'. Cuando las terminales ab en la figura 1a, están en circuito abierto, aparecerá un voltaje entre ellas.

Figura 1a, 1b, 1c

 

En la figura b es evidente que este debe ser el voltaje V' del circuito equivalente de Thévenin. Si un cortocircuito se aplica a las terminales, como lo sugiere la línea punteada en la figura a, resultará una corriente. En la figura 1c es evidente que esta corriente de ser I' del circuito equivalente de Norton. Ahora bien, si los circuitos 1b y 1c son equivalentes de la misma red activa, también lo son entre sí. Se intuye que I' = V'/R'. Si ambos V' e I' han sido determinados de la misma red activa, entonces R' = V'/I'.

Una consecuencia lógica de tratar con circuitos representados por sistemas lineales es que si entre dos terminales cualesquiera se impone una diferencia de potencial "v" variable que no altere el circuito, la corriente "i" que se impulsa en la nueva malla que se origina, variará linealmente con dicha diferencia de potencial y vendrá representada, en consecuencia, por la función de una recta como la que se muestra en la figura 1.3

Figura 1.3

Para demostrar esta afirmación, se usa el circuito de la figura 1.1. En este caso se quiere comprobar el comportamiento del circuito visto desde dos terminales (bornes C y F), habiéndose sustituido para tal fín la fuente "E2" por otra cuya fem denominada "v" sea ajustable, lo que se muestra en figura 1.4.

Figura 1.4

Cabe aclarar que podría también haberse dejado "E2" conectándose "v", a través de dos derivaciones tomadas desde cualquier par de nodos, siempre que no correspondan a una fem, por ejemplo los B y F. En tal caso el circuito de dos terminales en cuestión hubiera resultado distinto al de la figura 1.4, porque en lugar de dos mallas hubiera tenido tres y en consecuencia, aunque posible, hubiera sido más complicado de resolver.

Por el planteo hecho el sistema de ecuaciones que representa a este circuito resulta ser el mismo de (1.1) pero en el que en la expresión (1.6) hay que reemplazar "ε2= E3 - v" e "I2 = i", con lo que la corriente "i" en la nueva malla será:

La expresión (1.14) corresponde a la hipótesis planteada en (1.12) donde

La 1.15 demuestra que "RTH" esta dada por "R1//R3" en serie con "R2" que es la resistencia equivalente vista desde los bornes C y F, habiéndose cortocicuitado todas las fuentes internas.

También la (1.14) muestra que el segundo término tiene la dimensión de una fem, que es constante y por lo tanto para la hipótesis corresponde a la ordenada al origen "ETH"

En resumen, de acuerdo con lo demostrado se puede afirmar que un circuito lineal cualquiera, o parte de éste, visto desde dos nodos, se comporta como un generador en serie con una resistencia. De la figura 1.3 y de las ecuaciones (1.12) y (1.13), se observa que la fem denominada fuente de Thévenin designada con "ETH" se obtiene de determinar la diferencia de potencial entre los nodos en cuestión (C y F para este caso), habiéndose abierto previamente el circuito entre estos nodos lo que implica hacer "i = 0". La resistencia es la que se tiene entre dichos nodos después de haber pasivado todas las fuentes. Pasivar fuentes significa:

1) para una fuente de tensión, sustituirla por un cortocircuito y

2) para una fuente de corriente, eliminarla y dejar el circuito abierto.

La hipótesis de que la relación entre la diferencia de potencial "v" y la corriente "i" impulsada en una nueva malla (formada para el circuito de la figura 1.4 a partir de los nodos C y F) resulta ser una función lineal, podría haberse expresado también como:

La expresión (1.17) permite decir que la parte del circuito de la figura 1.4 que se encuentra a la izquierda de los nodos C y F, puede ser reemplazada por una fuente de corriente "IN" en paralelo con una resistencia "RN", ambas constantes del circuito. A continuación se demostrará esta hipótesis con la resolución del circuito propuesto, pero por el método nodal. Según este método el primer paso consiste en sustituir las fuentes reales de tensión por sus equivalentes de corriente.

Para la demostración del teorema, entre los bornes C y F, en lugar de imponer externamente una variación de tensión "v" (como se hizo para la demostración del teorema de Thévenin), aquí se impone una variación de corriente utilizándose una fuente variable de corriente "i", tal como se muestra en figura 1.5 siguiente.

Figura 1.5

Como se desprende de la figura, hay dos nodos efectivos y una única ecuación de nodo, ya que el nodo E está vinculado a tierra, por lo tanto el circuito queda representado por:

Por otra parte la otra incógnita "v" que entra en juego, se la puede determinar fácilmente, ya que por definición se conoce el valor impuesto de "i".

Despejando "VB" de (1.18) y sustituyendo en (1.19) se tiene:

Queda demostrado que un circuito lineal cualquiera o parte de él, visto desde dos nodos, se comporta como un generador de corriente "IN" en paralelo con una resistencia "RN".

De la (1.17) y (1.20), se observa que la fuente de corriente "IN" denonominada corriente de Norton, se obtiene haciendo "0" la diferencia de potencial "v", lo que significa hacer un cortocircuito entre los nodos C y F en cuestión. La resistencia es la que se tiene entre dichos nodos después de haber pasivado todas las fuente.

EQUIVALENCIA ENTRE FUENTES REALES DE CORRIENTE Y TENSIÓN

Una aplicación interesante de estos teoremas es su uso para demostrar la equivalencia entre fuentes reales de corriente y tensión.

Figura 1.6 : Equivalencia de fuentes

 

Ejemplos.

Problema1

Obténgase los circuitos equvalentes de Thévenin y Norton para la red mostrada en la figura 2a

Figura 2.

Con las terminales ab abiertas, las dos fuentes impulsan una corriente en el sentido de las manecillas del reloj, a través de los resistores de 3Ω y 6Ω [Fig. 2(b) ].

Como no pasa corriente a través del resistor superior derecho de 3Ω , el voltaje de Thévenin puede tomarse de cualquier rama activa:

La resistencia R' puede obtenerse poniendo en cortocircuito las fuentes de voltaje [fig. 2-(c)] y encontrando la resistencia equivalente de esta red en las terminales ab :

Cuando un cortocircuito se aplica a las terminales, la comente Icc resulta de las dos fuentes. Suponiendo que a través del cortocircuito corre de a a b, por superposición se tiene

La figura 3 muestra los dos circuitos equivalentes. En el caso presente V', R' e I' se obtuvieron independientemente. Ya que estas magnitudes están relacionadas con la ley de Ohm, cualquiera de las dos puede usarse para obtener la tercera.

El valor de los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton es claro cuando una red activa se examina en varias condiciones de carga, cada una representada por un resistor. Esto se aprecia en la figura 3, donde es evidente que los resistores R1, R2,..., Rn.. pueden conectarse uno a la vez, y se obtiene fácilmente la corriente y potencias resultantes. Si se intentara esto en el circuito original usando, por ejemplo, la reducción de red, la tarea sería muy tediosa y llevaría demasiado tiempo.

Figura 3

TEOREMA DE LA TRANSFERENCIA MÁXIMA DE POTENCIA

En ocasiones se desea obtener la máxima transferencia de potencia en una red activa a un resistor RL de carga externa. Suponiendo que la red es lineal puede reducirse a un circuito equivalente como el de la figura 4. Entonces

Y así la potencia absorbida por la carga es

Puede verse que PL alcanza su máximo valor, V'2/4R' cuando RL = R'; entonces la potencia en R' es también V'2/4R'. En consecuencia cuando la potencia transferida es máxima, la eficiencia es de 50%.

Figura 4

Problemas resueltos

1- Grafíquese el voltaje-vs.-corriente característicos de la fuente de 60 V en la figura 5 (a). Muéstrense los puntos para las posiciones a, b, c, y d del interruptor.

Ia = 60/∞ = 0A; Ib = 60/10 = 6A; Ic = 60/2 = 30 A; y Id = 60/1 = 60 A

La grifica se muesta en la figura 5 (b). La fuente permanece constante a 60 V en todas las corrientes . Sin embargo, no se permite una resistencia cero.

2- Calcúlese una resistencia intema de una batería que en un circuito abierto tiene un voltaje de 12.0 V y suministra 100 A a una resistencia de 0.10 Ω.

El circuito de la batería con su resistencia interna R se muestra en la figura 6.

Figura 6

3- Las mediciones hechas en una fuente práctica de corriente continua muestran un voltaje terminal de 100 V para una resistencia de carga de 100 Ω, y 105 V para una resistencia de 210 Ω. Obténgase el modelo de circuito para esta fuente.

Una fuente de voltaje constante y una resistencia en serie pueden usarse para modelar la fuente práctica, como se advierte en la figura 6. Pueden escribirse las siguientes ecuaciones

Resolviendo las dos ecuaciones simultáneas, tenemos V=110 V; R =10 Ω.

4- Determínese las lecturas de un voltímetro ideal conectado en la figura a continuación a:

a) las terminales a y b,

b) a las terminales c y g.

La potencia promedio en el resistor de es de 20 W.

La dirección de I a través del resistor de se determina obervando que la polaridad de la fuente de 90 V requiere que la corriente pase de d a c. Por esto d es positiva con respecto a a c y Vdc = (2)(5) = 10 V.

Un voltímetro ideal indica el voltaje sin consumir corriente alguna. Puede considerar que tiene un resistencia infinita.

a) La aplicación de la ley de Kirchhoff del voltaje a la trayectoria cerrada acdba nos da :

Vac + Vcd + Vdb + Vba = 0

0 - 10 + 0 - VM = 0

VM = -10 V

Si el medidor es de tipo digital, indicará -10V. Un galvanómetro de bobina móvil tenederá a irse escala abajo, con la manecilla deteniéndose en el tope. Si se invierten las terminales, indicará 10 V. ( Y con su terminal + al punto b, se sabe que b es 10 voltios positiva con respecto a a.)

b ) La aplicación de la ley de Kirchhoff del voltaje a la trayectoria cefgc da

Vce + Vef + Vfg + Vgc = 0

2(17) - 90 + 2(6) + VM = 0

VM = 44 V

En esta conexión el medidor indica 44 V positivos, lo cual indica que el punto g tiene 44 voltios arriba del punto c.

5- Encuéntrese el valor de la resistencia ajustable R que resulta en una transferencia máxima de potencia a través de las terminales ab en el circuito mostrado en la figura siguiente :

Figura

Primero se obtiene un equivalente de Thévenin, con V' =60 V y R' =11 Ω. De acuerdo con la teoría vista (Teorema de máxima transferencia de potencia), la transferencia máxima ocurre para R = R' = 11 Ω.; con

 

Si esta información te resulta útil, compártela :

 

 

 


INICIO : Electrotecnia para aplicaciones industriales

Neumática e Hidráulica

Matemáticas. Elementos Básicos. Problemas resueltos.


 

Si usted es una pequeña empresa, consultor o profesional, conseguir sus pagos es crítico. Con Payoneer sus fondos son transferidos de cualquier compañía del mundo de forma rápida, segura y a bajo coste.  ÚNASE A NOSOTROS. MILLONES YA LO HAN HECHO .