CONCEPTOS DE ELECTROTECNIA PARA APLICACIONES INDUSTRIALES

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Fuerza Electromotriz y Circuitos

Redes eléctricas. Leyes de Kirchhoff

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La figura siguiente muestra un circuito que contiene dos trayectorias. Para simplificar las cosas, hemos omitido las resistencias interiores de las baterías. Hay dos nodos, b y d, y tres ramas que conectan estos nodos. Las ramas son, la rama izquierda bad, la rama derecha bcd, y la rama central bd. Si se conocen las fems y las resistencias, ¿cuáles son las corrientes en las diversas ramas?

Denotamos las corrientes en las ramas con los símbolos i1, i2 e i3, como se muestra en la figura. La corriente i1 tiene el mismo valor en cualquier sección transversal de la rama de la izquierda desde b hasta d. En forma semejante i2 tiene el mismo valor en cualquier lugar de la rama de la derecha e i3 en la rama central. Los sentidos de las corrientes se han escogido arbitrariamente. El lector cuidadoso notará que i3debe apuntar en una dirección opuesta de la que hemos mostrado. Deliberadamente la hemos dibujado en forma incorrecta para poner de manifiesto cómo los procedimientos matemáticos formales siempre nos indicarán que así es.

Las tres corrientes i1, i2 e i3 llevan cargas ya sea hacía el nodo d o saliendo de él. La carga no se acumula en el nodo d. ni se pierde en él porque el circuito se encuentra en condiciones de régimen constante.

Así pues, la carga debe salir del nodo mediante las corrientes con la misma rapidez con que llega a él. Si arbitrariamente llamamos positiva a una corriente que llega al nodo y negativa a una que sale del nodo, entonces,

i1 + i2 -i3 = 0

Esta ecuación sugiere un principio general para la resolución de redes eléctricas: En cualquier nodo la suma algebraica de las corrientes debe valer cero, o en otras palabras, en cualquier punto de un circuito la suma de las corrientes que entran a un circuito es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. Este teorema del nodo se conoce también como primera ley de Kirchhoff. Nótese que es simplemente un enunciado del princípio de la conservación de la carga. Así pues, nuestras herramientas principales para resolver circuitos son:

(a) la conservación de la energia y

(b) la conservación de la carga.`

El enunciado de la segunda ley de Kirchhoff dice la suma algebraica de todas las caídas instantáneas de voltaje alrededor de cualquier circuito cerrado es cero, o el voltaje aplicado en un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito.

 

Figura. Una red eléctrica

Para el circuito de la figura, el teorema del nodo proporciona sólo una relación entre las tres incógnitas. Aplicando el teorema al nodo b se llega exactamente a la misma ecuación, como debe verificar el estudiante. Para obtener el valor de las tres incógnitas, necesitamos otras dos ecuaciones independientes; podemos obtenerlas mediante el teorema de la trayectoria.

En un circuito de una sola trayectoria hay sólo una trayectoria conductora a la cual aplicar el teorema, y la corriente es la misma en todas las partes de esa trayectoria. En una red eléctrica hay más de una trayectoria, y la corriente en general no será la misma en todas las partes de una trayectoria dada.

Si recorremos la trayectoria de la izquierda de la figura en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el teorema de la trayectoria da:

ε1 -i1R1 + i3R3 = 0.

La trayectoria de la derecha da:

- i3R3 - i2R2 - ε2 = 0.

Estas dos ecuaciones, junto con la relación derivada anteriormente usando el teorema del nodo, son las tres ecuaciones simultáneas que se necesitan para despejar las incógnitas i1, i2 e i3. Haciéndolo se obtiene:

Se llega acá luego de hacer algunos desarrollos algebraicos que hemos omitido. La ecuación para i3 muestra que cualesquiera que sean los valores numéricos que se den a las fems y a las resistencias, la corriente i3 tendrá siempre un valor negativo. Esto significa que siempre apuntará hacia arriba en la  red eléctrica de la figura, y no hacia abajo como supusimos deliberadamente. Las corrientes i1e i2 pueden estar en cualquier dirección según los valores numéricos que se asignen.

El estudiante debe verificar que las ecuaciones conducen a conclusiones razonables en casos especiales. Por ejemplo, para R3 = , encontramos:

¿A qué se reducen estas ecuaciones para R2 = ?

El teorema de la trayectoria puede aplicarse a una trayectoria grande constituida por todo el circuito abcda de la figura anterior. Esta circunstancia podría sugerir que hubiera más ecuaciones de las que necesitamos, porque sólo hay tres incógnitas y ya hemos escrito tres ecuaciones que las incluyen. Ahora bien, el teorema de la trayectoria da para esta trayectoria:

-i1R1- i2R2- ε2 +ε1 =0

que no es otra cosa que la suma de las ecuaciones :

ε1 -i1R1 + i3R3 = 0.

- i3R3 - i2R2 - ε2 = 0.

Así pues, este circuito grande no proporciona o a ecuación independiente. Nunca se encontrará al resolver redes eléctricas que haya más ecuaciones independientes que variables.

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