CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

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ESTADÍSTICAS : Población y atributo. Frecuencia. Histograma. Polígono de frecuencias. Sectores circulares. Moda. Mediana, Media aritmética. Dispersión. Desviación.

 


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Estadísticas. Su origen

Entre los precursores de esta disciplina se encuentran Pascal, Fermat. Bernoulli, Gauss y Laplace, aunque, en realidad, mucho antes del nacimiento de Cristo se la practicaba en forma incipiente, casi siempre por encargo de los diferentes gobiernos, y consistía en la recopilación de datos, tales como propiedades. producción agrícola, población, etc. Como estos datos se utilizaban para aplicarlos en función de las necesidades de una nación o estado, esta ciencia fue denominada Estadística.

Actualmente ha cobrado tal importancia su aplicación que es vital para toda empresa o industria organizada, investigaciones científicas y económicas. etc.. no sólo con el objeto de recopilar o canalizar datos para decidir situaciones del presente sino para tomar decisiones que se proyecten al futuro.

Del estudio que haremos de esta rama de la Matemática. abarcaremos unicamente los puntos que cubran las necesidades de la docencia inicial, tales como frecuencias, confección de tablas y gráficos. dispersiones y desviaciones, que serán tratados en forma elemental y por ende, accesibless.

Población y atributo. Variables

De un conjunto de objetos o cosas, hechos, acontecimientos o personas, es común tener en cuenta alguna propiedad o atributo que, por su relevancia, puede interesar de manera muy particular a una empresa, establecimiento industrial, escuela, repartición pública, etc. A la cantidad de datos u observaciones se la llama población.

Por tanto

Se llama población al número de datos obtenidos de un conjunto de cosas.

Ejemplo: si un curso tiene 34 alumnos y se toman las edades de los mismos, la población es la cantidad de edades, es decir 34.

Los atributos tenidos en cuenta para realizar una estadística pueden ser de dos clases:

  • Cuantitativos: cuando el dato obtenido se indica mediante un número: por ejemplo superficie, edad, talla, producción en toneladas, etc.
  • Cualitativos: cuando la propiedad elegida se refiere a sexo, nacionalidad, raza, etcétera.

Los valores que se obtienen de aplicarle a un conjunto un atributo cuantitativo reciben el nombre de variable. Esto es, la variable representa valores numéricos que resultan de definir, en un conjunto, cierta propiedad.

Frecuencia. Intervalo de clase

Los datos u observaciones se ordenan en una tabla con el objeto de analizarlos con claridad. En la misma, figura generalmente la población y la variable. Al efecto, consideremos el siguiente ejemplo:

Sea un conjunto de alumnos de primer año de una escuela periférica de la ciudad de Córdoba. El atributo aplicado es la edad, que expresamos en meses, con el objeto de apreciar mejor, elementos que proponen situaciones como la presente.

(Tabla 1).

El número de veces que se repite la misma edad se llama frecuencia absoluta o simplemente frecuencia. Por ejemplo, la frecuencia de la edad 181 meses es 3.

Se observa que el mayor valor de la variable es 193 meses y el menor es 152 meses. La diferencia, es decir 41 meses, recibe el nombre de amplitud de la variable.

Es común confeccionar una tabla en la que figura la cantidad de alumnos que tienen la edad comprendida entre ciertos valores o límites que se llaman intervalos de clase (Tabla 2). En este caso, la amplitud de cada intervalo es de 5 meses. Si consideramos el intervalo de clase 180 a 185, al menor y al mayor valor se los llama límite inferior y límite superior, respectivamente. En realidad, el intervalo de cada clase es cerrado únicamente en el límite inferior; el superior es abierto. Por ejemplo: consideremos el intervalo de clase 160 a 165. El límite inferior es 160 y el superior se apróxima a 165. El valor es el límite inferior del intervalo siguiente.

A continuación, confeccionamos una tabla, llamada tabla de frecuencias, en la que figuran las edades que se repiten en cada intervalo de clase.

 

El número de veces que se repite el mismo intervalo de clase se llama frecuencia de un intervalo de clase. Por ejemplo, la frecuencia del tercer intervalo es 4 y del último es 2.

Recordemos que el número total de obseNaciones efectuadas es 34, valor al que llamaremos n. Esto es: n = 34.

El cociente entre la frecuencia de un intervalo de clase y el número de observaciones se llama frecuencia relativa. Por ejemplo, la frecuencia relativa del segundo intervalo de clase es:

Frecuencia acumulada

Si sumamos consecutivamente las frecuencias de los intervalos de clase, se irán obteniendo sus respectivas frecuencias acumuladas. Por ejemplo:

• la frecuencia acumulada hasta el tercer intervalo se encuentra sumando las frecuencias del primero, segundo y tercer intervalo de clase, esto es:

• la frecuencia acumulada del primero al último intervalo de clase es 34, es decir, el total de observaciones efectuadas.

Representaciones gráficas

Histograma

Es una de las formas gráficas de representar un suceso o hecho del cual se ha obtenido una cierta cantidad de observaciones. Con estas, hemos confeccionado una tabla de valores en la que figuran los intervalos de clase y las frecuencias de los mismos y que hemos llamado tabla de frecuencias.

El histograma, según veremos, es un conjunto de rectángulos consecutivos ubicados en un plano cartesiano. La base de cada uno de ellos es el intervalo de clase y la altura, la frecuencia del mismo.

De acuerdo con la tabla 2, se puede obtener el siguiente histograma:

El histograma se confecciona cuando los datos son muy numerosos, ya que estos se pueden reunir en pocos intervalos de clase.

Poligono de frecuencia - Curva de frecuencias

Es una figura que se obtiene al unir consecutivamente los puntos determinados por cuplas, cuya primera componente es el valor medio de cada intervalo de clase y la segunda componente es la frecuencia correspondiente.

Si el número de observaciones del fenómeno estadístico estudiado es grande y los intervalos de clase son de escasas dimensiones, se obtendrá una figura formada por segmentos muy pequeños. razón por la cual decimos que tiende a una curva llamada curva de frecuencia.

Las curvas pueden adoptar distintas formas que dependen de la distribución de frecuencias. Ejemplos:

Curva simétrica

m es el punto de máxima frecuencia. Por allí se traza la perpendicular al eje de abscisas que recibe el nombre de normal y que indicamos con N.

La curva obtenida adopta la forma de una campana. La normal es eje de simetría respecto de la curva. Por ello, la curva se llama curva simétrica o normal.

Curvas asimétricas

Sectores circulares

Las representaciones gráficas permiten obtener conclusiones aproximadas del suceso estudiado. Una de ellas se efectúa por medio de sectores circulares, cuyos ángulos centrales son proporcionales a las frecuencias obtenidas del fenomeno tratado. Tomemos un ejemplo:

En una escuela de varones. se realizó una encuesta sobre el deporte preterido. Se efectuaron 450 observaciones, que arrojaron las siguientes cifras:

fútbol 170
básquetbol 100
vóleibol 110
otros 70

El cálculo de las amplitudes de los ángulos centrales es un planteo de repartición proporcional. Proponemos un ejemplo:

 

Clases de parámetros

Cuando el número de observaciones efectuadas es importante, resulta confusa la comparación con otras tablas, razón por la cual se efectúa un procedimien llamado reducción de datos que consiste en tomar pocos valores que representen todas las frecuencias. Estos valores o parámetros se clasifican en dos grandes grupos.

• parámetros de posición o valores centrales

• parámetros de dispersión o desviación

Parámetros de posición

Estos valores revelan una tendencia de las observaciones efectuadas. hacia valores determinados. Los más importantes son:

  • moda
  • mediana
  • media aritmética

Moda

En la tabla 2 se observa que la mayor frecuencia es 7. Decimos. entonces que la moda del fenómeno estudiado es 7.

En general. podemos decir que la moda se utiliza al solo efecto de obtener una visión rápida y sencilla del suceso.

Mediana

Ordenemos en forma creciente (o decreciente) los datos obtenidos al estudiar un determinado fenómeno. De ese ordenamiento resulta la siguiente serie:

2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 9 . 15 . 18 . 20

Observamos que el 6 ocupa el centro de la serie. Se dice que 6 es la mediana del conjunto de observaciones efectuadas.

Puede ocurrir que el número de elementos del conjunto sea par, por ejemplo:

7 . 8 , 10 , 12 , 15 , 19

En este caso se promedian los valores centrales 10 y 12:

Media aritmética

Uno de los valores que indica la tendencia central del suceso estadístico recibe el nombre de media aritmética, que es utilizado cuando se trata de valores simétricos y/o próximos a los valores centrales y, en algunos casos, cuando la cantidad de observaciones es apreciable.

Este parámetro es el promedio de la suma de los valores que toma la variable y el número de observaciones efectuadas.

En general se presentan dos casos:

  • media aritmética simple
  • media aritmética compuesta o ponderada

La media aritmética simple consiste en calcular el promedio de los datos obtenidos. Ejemplo: Del plantel de los 12 integrantes del equipo de básquetbol de un colegio secundario se tomaron las alturas de sus componentes. La media aritmética se calcula así:

La media aritmética es 1,75 m.

La media aritmética compuesta o ponderada consiste en calcular el promedio de la suma de los productos que se obtienen de multiplicar las variables por su correspondiente frecuencia.

Consideremos la siguiente tabla de frecuencias referidas a las edades de los 22 integrantes de un equipo de fútbol de mayores:

Calculamos el promedio de los productos ponderados:

Vale decir que la media aritmética ponderada es igual a 25 años y 6 meses.

Si la tabla se presenta con intervalos de clase. se considera como valor de la variable el valor medio de cada intervalo. Este valor se aplica para obtener el producto ponderado.

Parámetros de dispersión

Se han estudiado someramente los parámetros de posición cuya finalidad. según lo hemos comprobado, es mostrar. con pocos valores. la tendencia central de las observaciones efectuadas. Debemos destacar que dichos valores son insuficientes para obtener una idea formada y menos aún excluyente, del fenómeno estudiado, porque la dispersión o desviación de los valores de la variable pueden diferir notablemente, aun para los mismos valores centrales. Por ejemplo: La media aritmética de las edades de los integrantes de un equipo de fútbol es 26 para edades que oscilan entre 23 y 28 años. Pero puede ocurrir que en otro equipo, la media aritmética sea la misma, no obstante las edades oscilen entre 18 y 30.

En estos casos es fácilmente advertible dónde se produce mayor tendencia central. Pero en otros casos no ocurre lo mismo. Por lo tanto, los valores centrales propuestos no otorgan un informe completo del suceso; más aún, en determinados casos pueden llevarnos a conclusiones erróneas. Por ello es necesario profundizar el estudio de las desviaciones o dispersiones que ocurren en todo fenómeno estadístico.

Se entiende por dispersión o desviación de una observación a la diferencia entre el valor de la variable para dicha observación y la media aritmética del conjunto de observaciones efectuadas. Por ejemplo, en una situación anterior, la altura promedio o media aritmética era de 1,75 m. La desviación de la primera altura (1,75 m) es cero y de la segunda (1,70 m) es - 5 y de la séptima (1,77 m) es + 2. Si resolvemos la suma algebraica de las desviaciones obtendremos cero.

Desviación media

Como no es posible obtener la media aritmética de las desviaciones puesto que la suma es cero. se procede a calcular la desviación media que es el promedio de la suma de los valores absolutos de las desviaciones.

En el ejemplo de las alturas mencionadas, la desviación media se obtiene de la siguiente manera:

Recordamos que el valor absoluto de un número entero es el valor natural de dicho número.

Comparando con otras tablas de alturas, podría ocurrir que les corresponda el mismo promedio o media aritmética, en cuyo caso, si deseamos una información más completa recurrimos a la desviación media para comprobar en qué caso es mayor la dispersión.

 

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