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Geometría : Triángulos semejantes

 

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6. Primer caso.- Teorema. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo comprendido igual.

7. Segundo caso.- Teorema. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales.

8. Tercer caso. Teorema. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados respectivamente proporcionales.

9. Cuarto caso.- Teorema. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos iguales.

10. Propiedades de las alturas homólogas de dos triángulos semejantes.- TEOREMAS.- Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados correspondientes.

11. Corolario. - Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes son proporcionales.

Aplicaciones: I .- Si dos triángulos  isósceles tienen igual el ángulo opuesto a sus bases, o uno de los adyacentes a la misma son semejantes ¿Por qué?

 II-   Si se toman como vértices de un triángulo los puntos medios de los lados de otro ¿como es el triángulo que se obtiene con respecto al dado?;  ¿qué valor tiene la razón, entre el perímetro del primer triángulo y el del segundo?

 III. - Probar que en todo triángulo las alturas son inversamente proporcionales a los lados correspondientes.

IV. - Probar que si dos triángulos· son semejantes: a) las medianas homólogas son proporcionales; b) las bisectrices homólogas son proporcionales;

V. - Calcular a qué distancia de la base mayor de un trapecio se cortan los lados no paralelos del mismo conociendo las bases y la altura h de ese trapecio. (Aplíquese la propiedad de las alturas homólogas de dos triángulos semejantes). Ejemplo: b=  60 cm, b' = 40 cm, h = 30 cm.          R= 60 cm

VI. - Calcular la altura x  de un poste que proyecta una sombra de  8,50 m. en el instante en que un jalón de 2,70 m de longitud, plantado verticalmente, proyecta una sombra de 1,80 m. Justificar la solución.          R.: x = 12,75 m.

VII. - Calcular la longitud del lado de un triángulo equilátero sabiendo que su altura  es la mitad de la de otro triángulo equilátero cuyo perímetro es de 60 cm

VIII. - Para hallar la altura x de un poste un observador se colocó primero con el ojo en O, e hizo mover un jalón vertical hasta la posición CD, donde comprobó que la visual pasaba por el extremo del jalón y el del poste. Midió la distancia AB = 18 m, AC =1,50 m y las alturas de los jalones OA= 1,20 m y CD = 1,80 m. Calcular con esos datos la altura x.   R.: x = 8,40 m.

IX – Calcular con los datos del croquis la profundidad x del pozo.   R: x = 4m

X. - Dado un triángulo ABC construir otro semejante a él, y tal que el lado homólogo a AC sea igual a un segmento dado.

XI. -Construir un triángulo conociendo dos ángulos y: a) una de sus alturas;  b) una de sus medianas; e) una de sus bisectrices.-a) Constrúyase un triángulo cualquiera que tenga dos ángulos iguales a los dados, trácese la altura de ese triángulo homóloga de la dada y luego el triángulo semejante al obtenido que tenga esa altura. Procédase  análogamente en los casos b) y c).

XII. - Inscribir en una circunferencia dada un triángulo semejante a otro dado.

XIII. - Circunscribir a una circunferencia dada un triángulo semejante a otro dado.

XIV. - COMPÁS DE REDUCCIÓN. - Es un instrumento formado, como indica el croquis, por dos barras acanaladas, de igual longitud cuyas extremidades terminan en puntas bien agudas como las de un compás. Dichas barras pueden girar alrededor de un eje que las mantiene unidas y que puede hacerse variar de posición de manera que la distancia de ese punto O a una de las extremidades sea igual a una fracción conocida de la longitud de las barras. Si el punto O es tal que

¿por qué ?

XV. - PANTÓGRAFO. - Es un aparato formado por cuatro varillas articuladas  en B y en E, en la forma que indica la figura. Dos de ellas, la AB y BC conservan su longitud, y las otras dos pueden ajustarse a ellas haciendo coincidir los agujeros que hay en ambas y colocando en ellos un clavo que sirve de pivote.

Se disponen de tal manera que la figura BDEF sea un paralelogramo cuyos lados EF y DE dividen a AB y BC, en forma tal que la razón:

tenga un valor dado. Para facilitar esta operación los orificios de las reglas están numerados y esos números nos indican los que debemos hacer coincidir para obtener la razón deseada.

En E hay un estilete con el que se puede seguir el contorno del dibujo que se desea ampliar, y en C se coloca el lápiz, tiralíneas, etc., que traza dicha ampliación.

Si se desea reducir un dibujo se coloca  el estilete en C y el lápiz en E. Puede demostrarse que la figura obtenida con el pant6grafo es semejante a la dada.

 

 

 


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