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Geometría : Polígonos semejantes.

 


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Definición. Dos polígonos iguales son semejantes. Enunciado de los caracteres de la semejanza de polígonos. Forma. Convención referente a la ordenación de los vértices, lados y diagonales de un polígono. Teorema fundamental. Si por dos vértices homólogos de dos polígonos semejantes se trazan en cada uno de éstos todas las diagonales posibles, etc. Rezón de los perímetros de dos polígonos semejantes. Razón de las áreas de dos triángulos semejantes. Razón de las áreas de dos polígonos semejantes. Problemas relativos a la construcción de polígonos semejantes. Confección de planos. Escalas.

  1. Definición de polígonos semejantes. Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando los ángulos del primero son respectivamente iguales a los ángulos del segundo y cuando los lados del primero proporcionales a sus homólogos del segundo.

2. Enunciados de los caracteres de la semejanza de polígonos. Siendo la definición de polígonos semejantes a otro la misma que la de triángulo semejante a otro, los caracteres de la semejanza de triángulos seguirán siendo válidos para la semejanza de los primeros. Es decir tendríamos :

3. Forma.- Como la semejanza de polígonos es una relación que cumple los caracteres idéntico, recíproco y transitivo, resulta que los polígonos semejantes tienen algo igual que es lo que llamaremos forma de esos polígonos y que definiremos así :

Definición: Se llama forma de un polígonos a lo que tiene igual dicho polígonos con todos los que le son semejantes.

4. Ordenación de los vértices, lados y diagonales de un polígono. Convención.

Ordenados los vértices consecutivos de un polígonos a partir de una de ellos, convendremos en llamar primer lado al que une los vértices I° y II°, segundo lado al que une los vértices I° y III°, segunda diagonal a la que une los vértices I° y IV°, etc.

5. Teorema fundamental de la semejanza de polígonos. Si se ordenan los vértices consecutivos de un polígono a partir de unos de ellos y por un punto del primer lado se traza la paralela al segundo hasta cortar a la primera diagonal, por este punto la paralela al tercer lado hasta cortar a la segunda diagonal y así sucesivamente hasta cortar el último lado, el polígono que así se forma es semejante al dado.

7. Razón de los perímetros.- Teorema. La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de dos lados homólogos cualesquiera.

8. Razón de las superficies. Teorema I. La razón de las superficies de dos triángulos semejantes, expresadas con respecto a la misma unidad, es igual al cuadrado de la razón de dos lados homólogos cualesquiera.

9. Teorema II.- La razón de las superficies de dos polígonos semejantes, expresadas con respecto a la misma unidad, es igual al cuadrado de la razón de dos lados homólogos cualesquiera.

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