www.sapiensman.com

.

Curso de Matemáticas

10. Problemas relativos a la construcción de polígonos semejantes. Problemas I) Dado un polígono y un segmento correspondiente a uno de sus lados, construir sobre éste segmento como lado un polígono semejante al primero.

11. Confección de planos.- Escalas. Dada una figura material plana de forma poligonal, un lote de terreno, por ejemplo; si se construye sobre un papel una figura que tenga la misma forma qua la primera, se obtiene lo que se llama el plano de ese terreno.

Como para que dos polígonos tengan la misma forma, deben ser semejantes y como además dado uno de ellos se puede construir el otro conociendo la razón de semejanza (problema anterior), resulta que construir un plano significa dibujar un polígono semejante al otro dado, y cuya razón de semejanza sea igual a un número también dado.

La razón de semejanza recibe, en este caso, el nombre de escala del plano y es igual a la razón entre una longitud cualquiera del dibujo y la longitud homóloga del objeto que representa.

Las escalas por ser razones entre cantidades homogéneas, son números que suelen expresarse por fracciones cuyo numerados es el número 1 y el denominador el número de unidades del terreno u objeto, que representan una unidad de longitud en el dibujo.

Así, por ejemplo, si un plano de un terreno está hecho en la escala 1/1000, significa que una unidad del dibujo representa 1000 unidades del terreno.

Por ejemplo:

• 1 m del dibujo representa 1000 m del terreno
• 1 cm del dibujo representa 1000 cm del terreno, etc.

La llamamos L a una longitud del terreno y l a la longitud correspondientes del dibujo tendríamos:

La primera expresión nos indica que:

Se obtienen las longitudes del dibujo correspondientes a las longitudes del terreno dividiéndolas por el denominador de la escala.

La segunda expresión nos indica que :

Se obtienen las longitudes reales de un objeto representado en cierta escala, multiplicando las longitudes obtenidas en el dibujo por el denominador de la escala.

Ejemplo. Una longitud de 15 cm de un dibujo hecho en la escala 1/1000, representan 15 cm X 1000 = 15000 cm = 150 m del objeto que representa ese dibujo.

Problema. Construir en escala conveniente el plano de un terreno en forma cuadrangular sabiendo que tres de sus lados consecutivos tienen 8,66 m;  27,5m y 10 m respectivamente, y que el ángulo comprendido entre los dos primeros es de 90° y entre los dos últimos de 101°. Encontrar los valores del otro lado, de los otros dos ángulos y de las dos diagonales de ese terreno.

Y como los ángulos no varían con la escala, pues la figura real y su plano son semejantes, tendríamos que el plano es el de la figura.

En la práctica se miden en el terreno todos los elementos del polígono que se quiere representar, a los efectos de poder verificar la precisión de las mediciones.

Aplicaciones: I - Probar que si dos lados consecutivos de un rectángulo son triplos de los de otro, dichos rectángulos son semejantes.

II  - Dado un polígono ABC...M construir otro semejante a él tal que la razón de   semejanza entre el dado y el obtenido sea igual a 2 ; 3 ; 4; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ...

III. - Probar que si se une un punto interior a un polígono con los vértices del mismo, el polígono que tiene por vértices los puntos medios de los segmentos obtenidos es semejante al total y su área  es la cuarta parte de la del primero. (Recuérdese que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero e igual a su mitad, y 1a definición de polígonos semejantes).

IV. - Dado un cuadrilátero ABCD construir otro semejante a él, y tal que la diagonal homóloga a AC sea igual a un segmento dado.

V. -- Inscribir en un triángulo: a) un cuadrado; b) un rectángulo semejante a otro dado. Si ABC es el triángulo dado constrúyase, para el caso a), el cuadrado de lado BC exterior al triángulo y procédase como indica la figura; para resolver el caso b) constrúyase sobre BC un rectángulo semejante al BDEF dado y procédase como en el caso a) justificar  las  construcciones.

VI. - Calcular el área del triángulo A'B'C' sabiendo que es semejante al ABC que A'B' = 12m, AB = 30 m y que la superficie de ABC es de 1800 m².

R.: Superficie del triángulo A'B'C' = 288 m²

VII. - Las superficies de dos triángulos semejantes son de 30 m² y 120 m², respectivamente. Si la base del primero es de 6 m, ¿cuánto mide la del segundo?

R: h = 12m

VIII. - La razón de semejanza de dos polígonos semejantes es 4/3. La superficie del mayor es de 1 m². ¿Cuántos centímetros cuadrados de superficie tiene el menor?

R.: S = 5625 cm²

IX. - La razón de semejanza de dos polígonos semejantes es 5/9 y la suma de sus superficies es 212 m². Hallar la superficie de cada uno de ellos.

R.: S = 50 m² y S' = 162 m²

X. - En un plano construido en la escala 1/25000 se han medido las longitudes siguientes: 3 cm; 1 dm; 25 mm; 8 cm; 12,5 cm; 25 cm. ¿Qué longitud del terreno representan?

R.: 750 m; 2500 m; 625 m; 2000 m; 3125 m; 6250 m

XI. - ¿Qué longitud tendría que tener en ese plano un segmento que representara a un alambrado de 500 m de largo? ¿Cómo se representaría un camino de 1 km de largo y 25 m de ancho?

R.: 2 cm; 4 cm de largo por 1 mm de ancho.

XII. - Se ha construido el plano de un terreno en la escala 1/1000 y en él la superficie del mismo es de 50 cm². ¿Cuál es la superficie real del terreno ?.

R.: Superfície = 5000 m²

XIII. - ¿Qué escalas serían convenientes para representar en una hoja de cuaderno:

1º) Un lote de una manzana.

2º) Un edificio de 15 m de frente, 12 de altura y 28 m de fondo.

3°) Un armario de 1,80 m de alto, 1,20 m de ancho y 0,54 m de profundidad.

4°) Para representar un objeto de tamaño natural; doble; mitad, etc.