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Relaciones métricas entre los lados y ángulos del triángulo rectángulo


 

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RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LOS LADOS Y ANGULOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Proyección de un punto sobre su eje. Proyección de un segmento sobre un eje. Relaciones que se verifican en un triángulo rectángulo cuando se traza la altura correspondiente a la hipotenusa. Demostración del Teorema de Pitágoras basada en esas relaciones. Corolario del Teorema de Pitágoras. Construcción del segmento medio proporcional entre dos segmentos dados.

    Proyección de un punto sobre un eje. Definición. Se llama proyección de un punto sobre una recta, llamada eje de proyección, al pie de la perpendicular trazada por el punto a la recta.

Observación. En los ejemplos anteriores puede verse que la proyección de un segmento sobre un eje es menor que dicho segmento, cuando éste es oblicuo al eje, es nula cuando es perpendicular y es igual cuando es paralelo al mismo eje.

3. Relaciones que se verifican en un triángulo rectángulo cuando se traza la altura correspondiente a la hipotenusa. Teorema. Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa se verifica que : I) Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. II) La altura media es proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa. III) La altura es cuarta proporcional a la hipotenusa y los catetos.

I) Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. ( hipótesis, tesis, demostración)

II) La altura media es proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa, ( hipótesis, tesis, demostración).

III) La altura es cuarta proporcional a la hipotenusa y los catetos , ( hipótesis, tesis, demostración).

4. Teorema de Pitágoras. El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Vemos la demostración a continuación:

5. Raíz cuadrada. Definición. Se llama raíz cuadrada de una cantidad, a otra cantidad que elevada al cuadrado sea igual a la dada.

De la definición anterior se deduce el siguiente corolario:

Corolario: Una cantidad no altera, si se la eleva el cuadrado y al resultado se le extrae la raíz cuadrada, o si se le extrae la raíz cuadrada y se la eleva al cuadrado.

En símbolos :

De la misma forma que se ve en Aritmética al estudiar la radicación de números, se puede demostrar que la extracción de raíces cuadradas de cantidades goza de las siguientes propiedades.

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