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Polígonos regulares


 

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Definición. Si una circunferencia en tres o mas arcos iguales y se trazan las cuerdas determinadas por los pares de puntos de división consecutivos, el polígono que se obtiene es regular. Si una circunferencia se divide en tres o mas arcos iguales y por los puntos de división se trazan tangentes a ella, se obtiene un polígono regular. Inscripción del triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular y, en general, de cualquier polígono regular empleando el transportador (compás). Cálculo de los lados y de la apotemas de los polígonos regulares de 4, 6, y 3 lados, en función del radio. Su inscripción con regla y compás. Superficie de un polígono regular.

  1. Definición de polígono regular. Se dice que un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

Ejemplos. El triángulo equilátero y el cuadrado son polígonos regulares. Daremos luego el procedimiento que permite obtener polígonos regulares de cualquier número de lados. Este procedimiento se funda en el siguiente:

  1. Teorema. Si una circunferencia se divide en tres o más arcos iguales y se trazan las cuerdas determinadas por los pares de puntos de división consecutivos, el polígono que se obtiene es regular. Vemos a continuación hipótesis, tesis y demostración.

3. Teorema. Si una circunferencia se divide en tres o más arcos iguales y por los puntos de división se trazan las tangentes a ella, se obtiene un polígono regular.

Polígonos regulares inscriptos y circunscriptos. Se dice que un polígono está inscripto o circunscripto a una circunferencia, según que todos sus vértices pertenezcan a ella, o todos sus lados tangentes a la misma, respectivamente.

Definición. Se llama centro de un polígono regular, al centro de la circunferencia inscripta o circunscripta al mismo.

Ambas circunferencias tienen el mismo centro, que se encuentra como punto de intersección de las mediatrices de dos lados consecutivos, es decir, en la forma que se indica en las figuras.

II- Se llama radio de un polígono regular la distancia del centro a uno de sus vértices, y apotema a la del centro al punto medio de uno cualquiera de sus lados.

5. Inscripción del triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular y en general de cualquier polígono regular, empleando el transportador. De acuerdo con un teorema anterior resulta que para inscribir en una circunferencia un polígono regular de n lados, basta dividir a dicha circunferencia en n partes iguales y unir los puntos de división consecutivos.

Pero si dicha circunferencia se divide en n arcos iguales, los ángulos centrales correspondientes a dichos arcos también son iguales, por lo tanto el valor de cada uno de ellos es igual a

Teniendo en cuenta estas observaciones resulta la siguiente

REGLA. Para inscribir en una circunferencia un polígono regular de n lados, se construyen, empleando el transportador, n ángulos centrales consecutivos iguales a 360°/n, y se unen los puntos consecutivos determinados por las intersecciones de los lados de dichos ángulos con la circunferencia.

Problema I. Inscribir en una circunferencia un triángulo equilátero empleando el transportador.

6. Inscripción del cuadrado. Problema II. Inscribir en una circunferencia un cadrado empleando un transportador.

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