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Semejanza de polígonos regulares de igual número de lados. Razón de sus perímetros. Consideraciones geométricas para la obtención de un  segmento que haga las veces de circunferencia rectificada. En número π. Circunferencia rectificada. Fórmula de la longitud de un arco rectificado. Ejercicios. Círculo. Definición de superficie del círculo. Fórmula, ejercicios. Superficie de la corona circular. Superficie del sector, del segmento y del trapecio circular. Fórmula; ejercicios.

1. Teorema: Los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes.

2. Teorema. La razón de los perímetros de dos polígonos regulares de igual número de lados es igual a la de los radios o apotemas respectivos.

3. Corolario. La razón del perímetro de un polígono regular al diámetro de la circunferencia inscripta o circunscripta, es constante para todos los polígonos regulares de igual número de lados.

y como los términos de esta proporción son todas cantidades homogéneas, podemos permutar los medios y se tiene

4. Imposibilidad de medir una circunferencia con un segmento unidad. – Propongámonos hallar la longitud de una circunferencia, por ejemplo la C(o), tomando como unidad el segmento rectilíneo u. Para ello transportamos este segmento sobre la circunferencia, a partir de uno de sus puntos, en forma tal que sus extremos pertenezcan a la misma, tantas veces como sean necesarias para volver al punto de partida.

Puede observarse que con este procedimiento no será posible encontrar la longitud de la circunferencia, pues por pequeño que se tome el segmento unidad, no puede coincidir con el arco que tiene los mismos extremos.

OBTENCIÓN POR MEDIOS FÍSICOS DE UN SEGMENTO QUE PUEDA ADOPTARSE COMO LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA.

 Recurramos a otros medios: apliquemos, por ejemplo, sobre la circunferencia un hilo flexible de acero de manera que la recubra totalmente. Extendiendo luego este hilo, se obtiene un segmento de recta cuya longitud puede adoptarse como definición, física, de la longitud de la circunferencia considerada.

5. Consideraciones geométricas para la obtención de un segmento que haga las veces de la circunferencia rectificada. La razón entre el perímetro de un polígono regular y el diámetro de la circunferencia circunscripta o inscripta depende únicamente del número de lados de ese polígono. Por ejemplo, si se trata de un hexágono regular inscripto, su perímetro es 6 r, y por lo tanto la razón entre él y el diámetro 2 r es el número 3.

Inscribamos en una circunferencia un hexágono regular y circunscribamos en la misma un cuadrado. Dupliquemos sucesivamente el número de lados de cada uno y hallemos las razones entre sus perímetros y el diámetro de dicha circunferencia.

VALOR DE LA RAZÓN DEL PERÍMETRO DE UN HEXÁGONO REGULAR INSCRIPTO Y DE UN CUADRADO CIRCUNSCRIPTO A UNA CIRCUNFERENCIA, AL DIÁMETRO DE LA MISMA.

Llamando P_n al perímetro de un polígono regular inscripto de n lados, y teniendo en cuenta que el lado de un hexágono regular inscripto en una circunferencia es igual al radio de la misma, resulta

6. Variaciones que sufren [1] y [2] cuando se duplica indefinidamente el número de lados. - En forma análoga calculando el valor del lado, en función del radio, de los polígonos regulares inscriptos que resultan de duplicar sucesivamente el número de lados del hexágono, es decir, l₁₂, l₂₄, l₄₈... , y luego las razones entre los perímetros de esos polígonos y el diámetro de la circunferencia y haciendo lo mismo para los polígonos regulares circunscriptos que resultan de duplicar sucesivamente el número de lados

Del cuadrado, los matemáticos obtuvieron los siguientes resultados: