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Medición de figuras circulares. El número π


 

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EL NÚMERO π, - Puede observarse que el valor de la razón del perímetro de cualquier polígono regular inscripto en la circunferencia, al diámetro de la misma, es menor que el de cualquiera de las razones entre los perímetros de los polígonos regulares circunscripto a dicha circunferencia y su diámetro, y que la diferencia entre dos razones correspondientes en el cuadro anterior, es menor a medida que aumenta el número de lados de los polígonos considerados.

Los matemáticos estudiando las sucesiones de valores

demostraron que: La razón del perímetro de un polígono regular inscripto o circunscripto en una circunferencia, al diámetro de la misma, cuando aumenta indefinidamente el número de lados, tiene como límite al número 3,14159 ... que se representa por la letra  π.

NOTA. - El número  π es irracional, por lo tanto su valor exacto estaría representado por un número de infinitas cifras decimales no periódicas.

Damos a continuación las treinta primeras cifras decimales de ese número:

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 ...

En las aplicaciones prácticas se toma generalmente como valor de π , el valor aproximado por exceso con menor error que un diezmilésimo 3,1416.

Suelen emplearse, también, los valores aproximados por defecto y por exceso con menor error que un centésimo:

7. Límite hacia el cual tienden los perímetros de los polígonos inscriptos y circunscriptos.  

CIRCUNFERENCIA RECTIFICADA.

 Así como las razones de los perímetros de los polígonos regulares inscriptos y circunscriptos a una circunferencia al diámetro de la misma, tienen como limite al número π, los perímetros de dichos polígonos, o sea los segmentos

tiende al límite 2r.π que es otro segmento.

Por otra parte puede observarse que a medida que aumenta el número de lados de los polígonos antes mencionados, sus lados tienden a identificarse con los arcos que los subtienden, vale decir, su contorno tiende a confundirse con la circunferencia.

Esta observación nos conduce a dar la siguiente:

DEFINICION. - Dada una circunferencia se llama circunferencia rectificada, al producto del duplo de su radio por el número  π, y longitud de la misma a la longitud de la circunferencia rectificada.

FÓRMULA. - Luego la fórmula que da la longitud L de una circunferencia de radio r es

8. Arco rectificado. - La misma dificultad que se presentaba cuando se quería medir una circunferencia, directamente, tomando como unidad un segmento, se presenta al tratar de hacer lo mismo con un arco de circunferencia, por eso es necesario buscar un segmento cuya longitud pueda tomarse como la de dicho arco.

Teniendo en cuenta que dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias iguales son proporcionales a los ángulos centrales correspondientes, parece natural dar la siguiente:

DEFINICION. - Dado un arco, se llama arco rectificado al segmento cuya razón a la circunferencia rectificada sea igual a la razón de su ángulo central correspondiente, a 360°, y longitud del arco a la longitud del arco rectificado.

Círculo. Imposibilidad de la medición directa de su superficie con un cuadrado unidad.

 Propongámonos medir directamente, la superficie de un círculo, por ejemplo el C(O)' tomando como unidad la superficie del cuadrado (u). Para ello tratemos du de cubrir el círculo dado con cuadrados iguales a cuadrado (u) dispuestos en la forma que indica la figura.

Puede observarse que con este procedimiento no será posible encontrar la medida de la superficie del círculo, pues no se podrán cubrir los sobrantes de la superficie cubierta por los cuadrados, desde que ellos tienen un lado curvo y en cambio los lados del cuadrado unidad son rectos.

Recurramos a otros medios: dividamos el círculo en seis sectores iguales, empleando el transportador por ejemplo. Disponiéndolos en la forma que indica la figura, resulta la ABCD cuya superficie es igual a la del círculo.

Duplicando sucesivamente el número de sectores y disponiéndolos en forma análoga a los de la primera división, se obtienen las figuras A'B'C'D' y A"B"C"D" que tienen dos lados A'D', B'C', A"D" y B"C" rectos e iguales al radio y los otros lados A'B', D'C', A"B" Y D"C" formados por arcos de circunferencia, cuya suma es igual a una semicircunferencia.

Puede observarse que a medida que se duplica el número de divisiones del círculo, estos últimos lados tienden a identificarse con dos segmentos de rectas paralelas, y que los lados rectilíneos tienden a ser perpendiculares a estas paralelas.

Los matemáticos demuestran que lo observado es cierto, vale decir, que el límite hacia el cual tienden esas figuras, es un rectángulo que tiene por base a la semicircunferencia rectificada y por altura al radio de la misma.

Como las figuras ABCD, A'B'C'D' y A"B"C"D" tienen la misma superficie que el círculo, parece natural que el límite de dichas figuras, que es el rectángulo antes mencionado, tenga también esa superficie.

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