CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA) |
ESPACIO Y VOLUMEN |
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ESPACIO Y VOLUMEN Concepto de volumen y capacidad Recordemos que espacio geométrico es el conjunto de todos los puntos del universo. En la gráfica observamos un diagrama de una mesa circular con patas de forma cónica. La forma de elipse nos sugiere la idea de posición de la mesa en el espacio geométrico. Los puntos P y Q se encuentran situados encima y debajo de la superficie de la mesa. El plano que contiene esta superficie divide al espacio geométrico en dos semiespacios. En general todo plano divide al espacio en dos semiespacios. Muchas figuras geométricas no tienen todos sus puntos en un mismo plano. Por ejemplo las patas de forma cónica de la mesa tienen su base en el plano inferior de la superficie de la mesa y su vértice en el plano que contiene la superficie del piso. Estos dos planos son paralelos. Las figuras geométricas que no tienen todos sus puntos en un mismo plano son llamadas tridimensionales, poliedros, sólidos o cuerpos geométricos. Los ejemplos más importantes de estas figuras son: el prisma, el cilindro, la pirámide,el cono y la esfera. Para medir la cantidad de espacio ocupado por figuras tridimensionales, se usan las medidas de volumen y capacidad. Volumen y capacidad son términos generalmente intercambiables cuando de medidas se trata, aunque conviene diferenciar:
Las unidades de volumen, convenientemente, se han elegido de forma cúbica. En general una unidad de volumen es un cubo cuya arista tiene una unidad de longitud. Recordemos que el volumen se establece como una función en la cual a cada figura tridimensional, se le hace corresponder un número real positivo. En esta forma el volumen de un sólido es el número real que corresponde al número de veces que unidad de volumen cabe en el sólido. En el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) la unidad de volumen es el metro cúbico que se nota m3 y que es un cubo cuya arista mide un metro. Para medir el volumen de un sólido, se compara con la unidad de volumen o con alguno de sus múltiplos o submúltiplos. Recordemos con el siguiente cuadro las medidas de volumen del SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES:
La unidad de capacidad es el litro; se nota l y es el espacio equivalente al de un recipiente de forma cúbica con 1 dm de arista. Es decir 1 dm3 es equivalente a un litro, el cual no pertenece al SI.
El cuadro siguiente nos permite recordar las medidas de capacidad y sus volúmenes equivalentes.
A. Volumen del prisma La figura siguiente muestra un prisma recto de dimensiones: 4 unidades de largo (4u), 3 unidades de ancho (3u) y 5 unidades de alto (5u). Cada cubo pequeño es una unidad de volumen por cuanto su arista mide una unidad. Notamos estas unidades de volumen: u3 En la base del prisma caben 4u3 a lo largo y 3u3 a lo ancho. En toda la base caben (4 X 3) u3 . Además pueden colocarse 5 capas de estas en todo el prisma. Entonces el volumen del prisma es 60 u3. Pero 60u3 = 4u X 3u X 5u que es el producto de las tres dimensiones.
Como ambos prismas son rectos y tienen 3u de altura, el volumen correspondiente es 15u3 para el prisma triangular y 45u3 para el prisma cuya base es un trapecio. Al sumar estos volúmenes obtenemos 60u3 que es el volumen del prisma recto que resulta de superponer los dos prismas dibujados.
Cuando dos prismas tienen volúmenes iguales se les llama equivalentes. De la propiedad anterior se deduce además la fórmula para hallar el volumen de cualquier prisma: Si llamamos Vp el volumen de un prisma, A el área de su base y h su altUra entonces: Vp =A X h B. Volumen del cilindro
C. Volumen de la pirámide
El prisma recto ABCDEF es regular. Es decir que los triángulos ABC y DEF son equiláteros.
Las pirámides A-DEF y D-ABE y D-ABC tienen sumados un volumen equivalente al del prisma como se observa en el diagrama anterior. Con la hipótesis de que el volumen de una pirámide depende del área de su base y de su altura podemos demostrar que las tres pirámides mencionadas son equivalentes. Demostración: 1) Δ DEF ≈ Δ ABC por ser bases del mismo prisma, entonces las áreas de los triángulos Δ DEF y Δ ABC son iguales. Además: AF ≈ DC por ser aristas del prisma, entonces AF = DC (segmentos de igual longitud). De lo anterior se concluye que las pirámides: A-DEF y D-ABC tienen bases iguales y alturas iguales. Es decir que son equivalentes. 2) Δ BCD ≈ Δ BDE por ser triángulos rectángulos de catetos congruentes (BE ≈ CD y ED ≈ BC), entonces las áreas de los triángulos son iguales. Además las pirámides A-BCD y A-BDE tienen la misma altura porque su vértice es el mismo punto A y sus bases son coplanares (pertenecen al plano determinado por la cara del prisma BCDE). Concluimos entonces que las pirámides A-BCD y A-BDE son equivalentes. Las conclusiones de 1º y 2º nos demuestran la equivalencia de las tres pirámides. Como consecuencia de lo demostrado se obtiene la propiedad.
Si llamamos Vpe, el volumen de la pirámide, A su área y h su altura, entonces: D. Volumen del cono
El círculo O-ABC es llamado círculo máximo por ser el de mayor área que se puede inscribir en la esfera. (Su diámetro es igual al de la esfera). La superficie de la esfera no se puede desdoblar como la de los otros sólidos, por lo cual no podemos deducir su área con facilidad. Sin embargo algunos experimentos, no exactos sugieren comparar el área de la esfera con el área de 4 círculos máximos.
Si Ae, es el área de la esfera y Ac el área del círculo máximo, entonces: Ae = 4Ac Si r es el radio de la esfera, entonces: Ae = 4 π r2
El volumen del cono es: como en este caso h = r y A = π r2, entonces: Si el volumen de la esfera es 4 veces mayor, entonces es: Si Ve es el volumen de la esfera y r es el radio, entonces:
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