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ESPACIO Y VOLUMEN

 


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ESPACIO Y VOLUMEN

Concepto de volumen y capacidad

Recordemos que espacio geométrico es el conjunto de todos los puntos del universo.

En la gráfica observamos un diagrama de una mesa circular con patas de forma cónica. La forma de elipse nos sugiere la idea de posición de la mesa en el espacio geométrico.

Los puntos P y Q se encuentran situados encima y debajo de la superficie de la mesa. El plano que contiene esta superficie divide al espacio geométrico en dos semiespacios. En general todo plano divide al espacio en dos semiespacios. Muchas figuras geométricas no tienen todos sus puntos en un mismo plano. Por ejemplo las patas de forma cónica de la mesa tienen su base en el plano inferior de la superficie de la mesa y su vértice en el plano que contiene la superficie del piso. Estos dos planos son paralelos.

Las figuras geométricas que no tienen todos sus puntos en un mismo plano son llamadas tridimensionales, poliedros, sólidos o cuerpos geométricos.

Los ejemplos más importantes de estas figuras son: el prisma, el cilindro, la pirámide,el cono y la esfera.

Para medir la cantidad de espacio ocupado por figuras tridimensionales, se usan las medidas de volumen y capacidad.

Volumen y capacidad son términos generalmente intercambiables cuando de medidas se trata, aunque conviene diferenciar:

Volumen es la cantidad de espacio ocupado por una figura tridimensional.
Capacidad es la extensión o espacio libre de un recipiente, determinado por la cantidad de líquido que en él cabe.

Las unidades de volumen, convenientemente, se han elegido de forma cúbica.

En general una unidad de volumen es un cubo cuya arista tiene una unidad de longitud.

Recordemos que el volumen se establece como una función en la cual a cada figura tridimensional, se le hace corresponder un número real positivo. En esta forma el volumen de un sólido es el número real que corresponde al número de veces que unidad de volumen cabe en el sólido.

En el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) la unidad de volumen es el metro cúbico que se nota m3 y que es un cubo cuya arista mide un metro.

Para medir el volumen de un sólido, se compara con la unidad de volumen o con alguno de sus múltiplos o submúltiplos.

Recordemos con el siguiente cuadro las medidas de volumen del SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES:

  Nombre Notación Equivalencia con la unidad
  Kilómetro cúbico km3 1 km3 = 109 m3
Múltiplos Hectómetro cúbico hm3 1 hm3 = 106 m3
  Decámetro cúbico dam3 1 dam3= 103 m3
Unidad Metro cúbico m3  
  Decímetro cúbico dm3 1 dm3 =10-3 m3
Submúltiplos Centímetro cúbico cm3 1 cm3 = 10-6 m3
  Milímetro cúbico mm3 1 mm3 = 10-9 m3

La unidad de capacidad es el litro; se nota l y es el espacio equivalente al de un recipiente de forma cúbica con 1 dm de arista. Es decir 1 dm3 es equivalente a un litro, el cual no pertenece al SI.

Para medir líquidos son empleados recipientes de diversas formas que están marcados con la unidad o con múltiplos y submúltiplos.

Cuando preguntamos por la capacidad de un tanque, nos referimos indirectamente al volumen de líquido que puede contener.

El cuadro siguiente nos permite recordar las medidas de capacidad y sus volúmenes equivalentes.

  Nombre Notación Equivalencia con la unidad Volumen equivalente
  Kilolitro kl 1 kl = 1.000 l 1 kl = 1 m3
Múltiplos Hectolitro hl 1 hl = 100 l 1 hl = 100dm3
  Decalitro dal 1 dal = 10 l 1 dal = 10 dm3
Unidad Litro l   1 l = 1 dm3
  Decilitro dl 1 dl = 0, 1 l 1 dl = 100 cm3
Submúltiplos Centilitro cl 1 cl = 0,01 l 1 cl = 10 cm3
  Mililitro ml 1 ml = 0,001 l 1 ml = 1 m3

A. Volumen del prisma

La figura siguiente muestra un prisma recto de dimensiones: 4 unidades de largo (4u), 3 unidades de ancho (3u) y 5 unidades de alto (5u). Cada cubo pequeño es una unidad de volumen por cuanto su arista mide una unidad. Notamos estas unidades de volumen: u3

En la base del prisma caben 4u3 a lo largo y 3u3 a lo ancho. En toda la base caben (4 X 3) u3 .

Además pueden colocarse 5 capas de estas en todo el prisma. Entonces el volumen del prisma es 60 u3.

Pero 60u3 = 4u X 3u X 5u que es el producto de las tres dimensiones.

 

Al considerar un prisma de igual base y de doble altura la capa de la base permanece constante, pero se puede observar que su volumen se duplica.

El volumen de este nuevo prisma es:

120u3 = 4u X 3u X 10u

El volumen de los prismas considerados, puede hallarse también en la forma siguiente:

En ambos prismas el área de la base es (4 X 3)u2 = 12u2

Al multiplicar el área de la base por la longitud de la altura se obtiene:

Volumen del primer prisma: 12u2 X 5u = (12 X 5) X u2 X u= 60u3

Volumen del segundo prisma: 12u2 X 10u = ( 12 X 10)u2 X u= 120u3

El volumen de un prisma recto es igual al producto de sus tres dimensiones: (largo, ancho y alto). Y también se puede hallar multiplicando el área de su base por la longitud de su altura.

Ejemplo 1: un prisma recto de dimensiones 4u, 3u, y 5u, se ha partido en dos prismas como lo muestra la figura. La base del prisma más pequeño es un triángulo rectángulo y la del otro es un trapecio.

Las áreas correspondientes a estas bases son:

Como ambos prismas son rectos y tienen 3u de altura, el volumen correspondiente es 15u3 para el prisma triangular y 45u3 para el prisma cuya base es un trapecio.

Al sumar estos volúmenes obtenemos 60u3 que es el volumen del prisma recto que resulta de superponer los dos prismas dibujados.

Ejemplo 2:

En esta gráfica se muestra la superposición de los prismas anteriores, pero en orden inverso, juntando las caras laterales verticales. La figura resultante es un prisma oblicuo que tiene las mismas dimensiones del prisma recto del ejemplo anterior.

Es claro que el volumen de este nuevo prisma es 60u3 porque resulta de la suma de los volúmenes de los prismas dibujados en el ejercicio No. 1.

Los ejemplos anteriores nos permiten establecer la siguiente propiedad:

Los prismas de bases iguales y alturas iguales tienen volúmenes iguales.

 

Cuando dos prismas tienen volúmenes iguales se les llama equivalentes.

De la propiedad anterior se deduce además la fórmula para hallar el volumen de cualquier prisma:

Si llamamos Vp el volumen de un prisma, A el área de su base y h su altUra entonces:

Vp =A X h

B. Volumen del cilindro

La primera figura de la gráfica muestra un cilindro recto formado por la superposición de cartulinas cilíndricas, perforadas en su centro. Con la ayuda de una varilla colocada en las perforaciones de las cartulinas es posible dar al cilindro la forma que presenta la figura de la derecha y que representa un cilindro oblicuo. Desde luego ambos cilindros tienen igual volumen (por cuanto el volumen de cartulina no ha variado). Además estos cilindros conservan constante el área de su base y su altura.

Podemos establecer entonces la siguiente propiedad:

Los cilindros de bases iguales y alturas iguales tienen volúmenes iguales.

Dos cilindros de igual volumen se dicen equivalentes:

Si en un cilindro recto, la altura h se reduce a su mitad, se obtienen dos cilindros equivalentes; es decir, sus volúmenes se reducen a la midad.

Entonces el volumen de un cilindro depende del área de su base y de su altura.

Si llamamos Vc el volumen del cilindro, A el área de su base y h su altura, entonces: Vc = A X h.

Si se considera r el radio de la base del cilindro, entonces: Vc = π . r2 . h

 

C. Volumen de la pirámide

La pirámides de bases iguales y alturas iguales tienen volúmenes iguales.

Si como se procedió con el cilindro recto formado por cartulinas circulares, procedemos con una pirámide cuadrada regular, obtenemos una nueva pirámide no regular, pero que conserva constante el área de su base y su altura. Además es claro que el volumen río ha cambiado. Esto nos sugiere la siguiente propiedad:

La pirámides de bases iguales y alturas iguales tienen volúmenes iguales.

Las pirámides de igual volumen se dicen equivalentes.

En general dos sólidos de igual volumen se llaman sólidos equivalentes.

El prisma recto ABCDEF es regular. Es decir que los triángulos ABC y DEF son equiláteros.

 

Las pirámides A-DEF y D-ABE y D-ABC tienen sumados un volumen equivalente al del prisma como se observa en el diagrama anterior.

Con la hipótesis de que el volumen de una pirámide depende del área de su base y de su altura podemos demostrar que las tres pirámides mencionadas son equivalentes.

Demostración:

1) Δ DEF ≈ Δ ABC por ser bases del mismo prisma, entonces las áreas de los triángulos Δ DEF y Δ ABC son iguales. Además: AFDC por ser aristas del prisma, entonces AF = DC (segmentos de igual longitud).

De lo anterior se concluye que las pirámides:

A-DEF y D-ABC tienen bases iguales y alturas iguales. Es decir que son equivalentes.

2) Δ BCD ≈ Δ BDE por ser triángulos rectángulos de catetos congruentes (BE ≈ CD y ED ≈ BC), entonces las áreas de los triángulos son iguales.

Además las pirámides A-BCD y A-BDE tienen la misma altura porque su vértice es el mismo punto A y sus bases son coplanares (pertenecen al plano determinado por la cara del prisma BCDE).

Concluimos entonces que las pirámides A-BCD y A-BDE son equivalentes.

Las conclusiones de 1º y 2º nos demuestran la equivalencia de las tres pirámides.

Como consecuencia de lo demostrado se obtiene la propiedad.

El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del volumen del prisma de igual base y altura.

Si llamamos Vpe, el volumen de la pirámide, A su área y h su altura, entonces:

D. Volumen del cono

Los conos de la figura tienen bases iguales y alturas iguales. Fueron formados por superposición de cartulinas circulares.

Mediante el mismo procedimiento seguido en el cilindro y la pirámide, la forma del cono de la derecha puede obtenerse del cono de la izquierda.

Como son cuerpos equivalentes, se establece la propiedad:

Conos con bases iguales y alturas iguales, tienen volúmenes iguales.

Observamos en la gráfica un cono inscrito en un cilindro. Coinciden sus bases y sus alturas. Un recipiente de esta forma permite comparar los volúmenes de líquido contenidos en el cilindro y en el cono. La realización de este experimento permite verificar que el volumen del cono es 1/3 del volumen del cilindro de igual base y altura.

La equivalencia que presenta esta razón con la razón del volumen de la pirámide y el prisma permite considerar al cono como una pirámide, cuya báse es un polígono regular de infinito número de lados.

Si llamamos Vco el volumen del cono, A el área de su base y h su altura, entonces:

Si r es el radio de la base del cono, entonces:

E. Area lateral y volumen de la esfera

La esfera es una figura tridimensional, de superficie curva determinada por todos los puntos del espacio que equidistan de otro punto llamado centro.

El diagrama representa una esfera de centro O y radio OB.

Todos los puntos de la esfera se encuentran a una distancia OB del centro O.

El círculo O-ABC es llamado círculo máximo por ser el de mayor área que se puede inscribir en la esfera. (Su diámetro es igual al de la esfera).

La superficie de la esfera no se puede desdoblar como la de los otros sólidos, por lo cual no podemos deducir su área con facilidad. Sin embargo algunos experimentos, no exactos sugieren comparar el área de la esfera con el área de 4 círculos máximos.

Por ejemplo: comparando la cantidad de cordel contenido en la superficie de un círculo máximo y la cantidad contenida en una semiesfera, la razon es 1/2 aproximadamente.

El cordel se enrona sujetando uno de sus extremos en el centro del círculo y en la cúspide de la semiesfera respectivamente.

Podemos establecer la propiedad:

El área de la esfera es 4 veces el área de un círculo máximo.

Si Ae, es el área de la esfera y Ac el área del círculo máximo, entonces:

Ae = 4Ac

Si r es el radio de la esfera, entonces:

Ae = 4 π r2

El diagrama muestra un cono inscrito en una semiesfera. de tal manera que la base del cono y el círculo máximo de la semiesfera coinciden.

Puede observarse además que la altura del cono es igual al radio de la semiesfera.

Un recipiente con la forma del diagrama permite comparar el volumen de líquido que cabe en el cono con el volumen del líquido que cabe en la semiesfera. La razón es 1/2 es decir que el volumen de la semiesfera es 2 veces el volumen del cono inscrito y cuya base es un círculo máximo.

Para toda la esfera, el volumen es entonces 4 veces el volumen del cono descrito.

El volumen del cono es:

como en este caso h = r y A = π r2,

entonces:

Si el volumen de la esfera es 4 veces mayor, entonces es:

Si Ve es el volumen de la esfera y r es el radio, entonces:

Ejemplo:

La esfera de la figura tiene un radio igual al radio del cilindro. Si la altura del cilindro y el diámetro de la esfera son iguales, ¿cuál es la razón de los volúmenes de la esfera y el cilindro?

 

 


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