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Cicloide. Epicicloide. Hipocicloide y Envolvente. Definiciones. Generatriz. Género cicloidal. Envolvente. Evoluta. Generatriz o ruleta. Cúspides de la curva. Cicloide tautóctona. Cicloide braquistócrona.  Cicloide alargada. Cicloide ordinaria.


 

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Cicloide. Epicicloide. Hipocicloide y Envolvente.

De estas curvas. de las cuales hemos dado en pocas palabras el concepto general, estudiaremos como casos particulares aquellas especialmente aplicables a las artes y a la mecánica.

Pueden distinguirse tres casos:

1ª Si la curva base es una recta, la curva descripta por el punto P de contacto inicial es del género cicloidal. En particular si la generatriz es una circunferencia, la curva descripta se distingue con el nombre de cicloide.

 

 

2ª Si la generatriz y la base son ambas curvas cerradas, y en especial modo dos circunferencias, las curvas descriptas son llamadas epicicloides e hipocicloides.

3' Si la curva generatriz es una recta, la curva descripta se llama evolvente; la base, evoluta.

89. CICLOIDE

1. La cicloide es una curva de singular importancia en mecánica. Se define como el lugar geométrico de las distintas posiciones de un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta fija (*).

(*) Cicloide deriva del griego ciclos, círculo. El descubrimiento de esta curva se atribuye al cardenal DI CUSA y a CARLOS BOVELLE; según otros, su observación fue hecha primeramente por el padre MERSENNE, en 1615, considerando un clavo de una rueda de un coche que transitaba por una calle de Nevers ; pero éste conoció solamente su generación. GALILEO fue el primero en distinguirla como curva especial, en 1615. DESCARTES y FERMAT condujeron tangentes a esta curva. PASCAL, HUYGENS, LEIBINITZ. y JUAN BERNOULLI descubrieron otras propiedades.

Que puede coincidir mediante translaciones paralelas al eje x, de amplitud 2πr. En efecto, aumentando θ en  2π las coordenadas del punto genérico P de la curva se hacen (x + 2πr, y ).

La forma de la curva, mediante un cuadro de valores, puede ser obtenida, entonces haciendo variar θ de cero a 2π.

5. Se demuestra que la normal a la cicloide en uno de sus puntos, P, es la recta que une P con el punto de contacto I de la ruleta con la base (fig. 352).

La tangente será, entonces, la recta PT.

6. La cicloide tiene propiedades mecánicas notables. Supongamos un arco completo de cicloide con la concavidad hacia arriba. Supongamos además que, por efecto de la gravedad, una partícula desciende a los largo de la curva.

Se demuestra que en el vacío, cualquiera que sea el punto de partida, el tiempo empleado por la partícula para llegar al vértice de la curva es el mismo.

Dícese por esto que la cicloide es tautóctona.

Es también branquistócrona porque, considerados dos de sus puntos, el tiempo empleado por una partícula que desciende a lo largo de la cicloide para ir de uno a otro punto es menor que el tiempo empleado por la misma partícula para ir de uno a otro punto descendiendo a lo largo de cualquier otra trayectoria.

7. La cicloide se aplica en el trazado de dientes de ruedas dentadas.

Se aplica también, a veces, como curva directriz del intradós de las bóvedas.

Se aplica, asimismo, en perfiles de obras hidráulicas.

8. Es interesante considerar la curva descripta por un punto cualquiera que, sin pertenecer a la circunferencia que rueda, pertenezca a su plano y se halle unido rígidamente a ella. Trátese, por ejemplo, del punto M o del punto N (fig. 353), uno externo y otro interno a la circunferencia. Si k es, en valor absoluto, la distancia las ecuaciones paramétricas, que se obtienen fácilmente, son  

Para k > r resulta la llamada cicloide alargada; para k < r, la cicloide acortada; para k = r resulta, en cambio, la cicloide ordinara estudiada en páginas anteriores.

90 EPICICLOIDE

  1. Consideremos ahora la epicicloide (*), es decir, la curva engendrada por un punto cualquiera de una circunferencia que rueda, exteriormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija.

La circunferencia fija es la base y la móvil es la generatriz, llamada también, como en el caso de la cicloide, ruleta.

El trazado por puntos es análogo el de la cicloide. Se divide la ruleta en cierto número de partes iguales, ocho, por ejemplo. Por


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