CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Coordenadas polares. Nociones generales. Ejercicios de aplicación. Cisoide de Diocles. Ecuación cartesiana. Asíntota de la cisoide. Generatriz de la curva. Directrices. Curva de Watt o lemniscata de Watt. Paralelogramo de Watt. Lemniscata de Bernoulli.


 

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Su análisis muestra:

1º Que la curva es simétrica con respecto al eje x.

2º Que sólo para O ≤ x < a se obtienen valores reales de y.

3º Cuando x tiende al valor a la ordenada y tiende a volverse tan grande como se quiera. La distancia entre dos puntos, D y E, de igual ordenada, uno de la cisoide y otro de la recta x = a. tiende, entonces, a volverse tan pequeña como se quiera cuando la abscisa x del punto D se acerca tanto como se quiere al  valor a. En forma análoga a lo establecido para l hipérbola,  la recta x = a constituye la asíntota de la cisoide.

3. Supongamos dos líneas cualesquiera, l1 y l2 (fig. 395), situadas en un mismo plano. Si se imagina el segmento de una recta r, mayor que la mínima distancia existente entre l1 y l2 animado de un movimiento oscilatorio continuo tal que el extremo M se mueva a lo largo de l1 mientras que el otro extremo, N, lo hace a lo largo de l2, un punto cualquiera, P, del segmento, o uno P’, de su prolongación, describirá una curva, PQRSTU o  P’Q’R’S’T’U’, cerrada, irregular en general, pero parecida a la cifra 8.

El punto S ( o S’) en que la curva se cruza a sí misma es un punto doble.

El segmento MN constituye la generatriz de la curva descripta; las líneas l1 y l2 son las directrices.  

Se comprende que la forma de la curva depende, en general, de la naturaleza de  las directrices, de su posición recíproca, de la longitud de la generatriz y de la posición que sobre ella ocupa el punto generador P. Existe, pues, un número finito de curvas distintas engendradas en la forma establecida. Para darles alguna aplicación práctica es necesario reducirlas a condiciones de regularidad. Así, por ejemplo, si las dos directrices son divididas ambas en dos partes simétricas por un mismo eje e (fig. 396) existirán siempre dos posiciones, MN y M’N’, de la generatriz, también simétricas con respecto al eje e, y en el punto generador marcará dos posiciones, P y P’, igualmente distantes de e, y el punto doble será su un punto de e.

Un caso interesante es el que resulta, cuando las directrices son arcos de circunferencias. La curva descripta en el punto P suele ser llamada curva de Watt o lemniscata de Watt, vinculándola con su empleo en el paralelogramo de Watt.

La determinación de su ecuación, que en verdad carece de verdadero interés práctico, conduce a una expresión de sexto grado en x e y.

Como caso particular, cuando los radios de las dos circunferencias son iguales y el segmento  es igual a la distancia  entre ambos centros y P es el punto medio de  , se tiene, con respecto al sistema cartesiano cuyo eje x es la recta y cuyo eje y es la normal a x por el punto medio O del segmento  (fig. 397), la ecuación

Pero los dos primeros términos del radicando no son sino el primer miembro de [4]. Resulta, entonces,

d1d2 = c2,

En la lemniscata de Bernoulli el producto de las distancias de un punto genérico de la curva a los dos puntos fijos, O1 y  O2, es, pues, constante e igual al cuadrado de la semidistancia  .

Los puntos O1 y O2 son llamados, como en las cónicas, focos de la lemniscata y se indican mediante los símbolos F1 y  F2 .

La propiedad d1d2 = c2 hace que la lemniscata de BERNOULLI sea definida comúnmente como el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a dos puntos fijos tienen1un producto constante igual al cuadrado de la semidistancia entre los dos puntos fijos.

 

 


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