CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Coordenadas polares. Nociones generales. Ejercicios de aplicación. Lemniscata de Bernoulli. Aplicaciones. Excéntricas. Espiral de Arquímedes.


 

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La lemniscata de BERNOULLI goza de algunas propiedades interesantes. Por ejemplo, se demuestra en mecánica que si un cuerpo cae sin velocidad inicial desde un punto O, a lo largo de una curva situada en un plano vertical (figura 400), de modo que el tiempo empleado en bajar a lo largo de un arco cualquiera, OM, de la curva, sea igual al empleado a lo largo de la cuerda correspondiente, la curva es una lemniscata de Bernoulli.

§101. APLICACIONES

1. Las excéntricas son mecanismos a contacto directo que transforman un movimiento rotatorio uniforma en uno rectilínea alternado de ley dada :  

  1. e = f(t)

Constan de una chapa de contorno determinado que rueda con movimiento uniforme alrededor de un eje, O (fig.401), y de un vástago cuyo eje es coplanar con la chapa. Mantenido el vástago con su extremo A en contacto continuo con el contorno de la chapa adquiere, cuando ésta gira, un movimiento a lo largo de la recta AB.

Los problemas que. Naturalmente, deben resolverse, son dos:

1' Encontrar la ley del movimiento producido por una chapa dada.

2° Dada la ley del movimiento rectilíneo alternado construir el perfil de la chapa excéntrica que lo produzca. Para dar una idea del primer problema determinemos la ley del movimiento producido por la chapa de la figura 401.

Construyamos el diagrama de los espacios y de los tiempos del punto A.

Tracemos la circunferencia de centro O que pasa por el punto del perfil de la chapa más próximo al eje de rotación. Sea a su radio.

Tomemos como unidad de tiempo el correspondiente a una rotación del eje O y representémosla convencionalmente por medio del desarrollo de la circunferencia de radio a antes trazada. Dividámosla en cierto número de partes iguales (fig. 402).

El punto A se encuentra en la figura en su posición más baja.

Hagámoslo corresponder al origen O del sistema cartesiano de los

tiempos y los espacios. Llevemos luego sobre las divisiones 1, 2, 3, ... , del eje t, los recorridos correspondientes, 11', 22', 33', ... , del vástago. Unidos los puntos O, 1’, 2'. 3'..... mediante un trazo continuo, se obtiene el diagrama de los espacios del movimiento del extremo A del vástago.

Es fácil deducir después el de la velocidad y también el de la aceleración, supuesta constante la velocidad angular de la chapa.

Como ejemplo del segundo problema propongámonos construir una chapa excéntrica que produzca un movimiento rectilíneo uniforme de ida y vuelta. Sea a la mínima distancia entre el borde de la chapa y el eje de rotación. Sea, además, c la carrera del vástago.

Considerados dos ejes cartesianos ortogonales (fig. 403), marquemos sobre el eje de los tiempos el segmento OM igual al desarrollo de la circunferencia de radio a. Considerando OM como el tiempo correspondiente a una rotación de la chapa, dividámoslo en cierto número de partes iguales, 12, por ejemplo.

 

Considerados dos ejes cartesianos ortogonales (fig. 403), marquemos sobre el eje de los tiempos el segmento   igual al desarrollo de la circunferencia de radio a. Considerando  como el tiempo correspondiente a una rotación de la chapa, dividámoslo en cierto número de partes iguales, 12 por ejemplo.

El punto extrema de la carrera es alcanzado, evidentemente, en la mitas del diafragma, pues la ida y la vuelta deben ser recorridas con movimiento uniforma y a igual velocidad. Trazado, entonces el segmento 66’ igual a la carrera, se une 6’ con O y 12. La quebrada O6’12 limita hacia arriba el diagrama de los espacios.

Construido, así el diagrama del movimiento del vástago. se describe (fig. 404), con centro en O', la circunferencia de radio a y se la divide en 12 partes iguales. Llevados sobre los distintos radios los segmentos 11', 22', 33'...  recabados de la figura 403, se obtiene sin dificultad el contorno de la chapa. Llamase excéntrica a corazón, y si se recuerda lo establecido en 2 de § 95, se notará que el perfil 1', 2', 3’, ... , 6', no es sino un arco de espiral de  Arquímedes. La otra mitad de la chapa es simétrica con respecto a la recta AB.

2. La espiral de Arquímedes es utilizada en arquitectura en forma de volutas. Tales como las que adornan el capitel de los órdenes, jónico, corintio y compuesto.

3. La lemniscata circular regular, es decir, aquélla cuyas directrices son arcos circulares iguales, dispuestos simétricamente con respecto a ejes normales entre sí, y cuyo punto generador es el punto medio de la generatriz, tiene una característica interesante, y es que si traza por el punto doble, la tangente a una de las ramas de la curva, ella se confunde sensiblemente con la rama misma en una longitud relativamente grande. Esta propiedad ha sido aplicada con frecuencia en las máquinas para la transformación del movimiento circular en rectilíneo y viceversa (lemniscata de  WATT).

Imaginemos (fig. 405) que los ejes O y O' estén animados de rotaciones alternativas. En este movimiento el punto medio P de la biela MNdescribe una lemniscata simétrica con respecto a la recta OO'. La parte sensiblemente recta RQ, vertical mediante una acertada elección de los puntos O y O'; es latrayectoria del movimiento rectilíneo alternativo.

 

4. La lemniscata tiene su aplicación también en luminotécnica. Cuando la fuente de luz es una sola lámpara que ilumina una cúpula o un artefacto, constituidos por una superficie de revolución, se emplea como curva generatriz de la superficie un arco de lemniscata dispuesta de modo que el filamento de la lámpara quede en el origen de la curva. Suele utilizarse también como generatriz dos o más arcos de lemniscata (fig.406).

 

 


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