CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Superficies y líneas. Ecuación de una superficie. Ejemplos y casos particulares. Superficies algebraicas y trascendentes. Helicoide recto. Simetría de una superficie.


 

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SUPERFICIES Y LINEAS

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE

1. En la geometría analítica del plano hemos visto que, considerando un par de ejes coordenados, se puede hacer corresponder a cada ecuación a dos variables.

F (x, y) = 0                                      [1]

o, como caso particular, a

y = f (x).                                          [2]

una línea plana que constituye la imagen geométrica, o sea la gráfica, de aquella ecuación. Hemos visto también que, recíprocamente, considerada una línea plana capaz de ser definida geométricamente, mecánicamente, etc. se puede encontrar una ecuación [1] o [2] verificada solamente por la coordenadas de todos los puntos de la línea.

En forma análoga, en el espacio, dada una ecuación a tres variables,

F (x, y, z) = 0                                 [3]

o, corno caso particular,

z = f (x, y)                                      [4]

el lugar geométrico de todos los puntos, y solamente esos puntos, cuyas coordenadas satisfacen la [3] o la [4],  constituye una superficie que es una gráfica de la ecuación dada.

En efecto, si se atribuyen a x e y dos valores particulares, x1 e y1, elegidos dentro de un intervalo conveniente, la ecuación  [4] nos da el valor z1 que corresponde a la variable z. Los tres números x1, y1 ,z1, determinan un punto P situado sobre la paralela al eje x por el punto Q1 (x1,y1), que pertenece, evidentemente , al lugar definido por [4].

Considerados otros valores, x2 e y2, de las variables x e y , es decir considerado otro punto Q2 (x2, y2) del plano xy, se obtendrá en la misma forma otro punto P2 (x2,y2,z2) del lugar. Y así sucesivamente.

El conjunto de puntos P determina una superficie, que es la gráfica de la función [4].

En general, una ecuación a dos variables representa una superficie cilíndrica cuya directriz es la curva que en el plano de aquellas variables corresponde a la ecuación dada y cuya generatriz es paralela al eje de la variable que no aparece en dicha ecuación, y recíprocamente.

Como caso particular, si F(x, y) = 0 es de primer grado, o sea, si la directriz es una recta: la ecuación dada representa un plano paralelo al eje z (fig. 428).

3. La ecuación de una superficie puede carecer de dos variables. Se tiene, entonces, por ejemplo,

F (x) = 0.

Si sus raíces (reales) son x1, x2, x3 , ... , pertenecen a la superficie representada todos y solamente los puntos que distan x1, o bien x2, o bien x3, …. del plano zy.

Como se sabe, el toro es la superficie descripta por una circunferencia que gira alrededor de una recta de su plano (que no sea diametral). La ecuación dada corresponde  al caso de set el eje z la recta alrededor de la cual se efectúa la rotación. Además, el centro de la circunferencia está en el eje x, a una distancia a del origen (fig. 431). La constante k vale α2-r2, siendo r el radio de la circunferencia.

El toro tiene su aplicación en arquitectura.

Mas adelante vamos a indicar cómo se obtiene la ecuación dada.

2. Una superficie algebraica es de orden enésimo cuando n es el grado de su ecuación.

La superficie del toro es de cuarto orden.

El orden de una superficie algebraica tiene también un significado geométrico, una superficie algebraica de orden n es encontrada por una recta geométrica del espacio de n puntos, incluidos los eventuales puntos imaginarios  y los coindicentes.   

La recta s que aparece en la figuta 431 corta el toro en cuatro puntos reales.

3. Toda superficie   cuya ecuación no es algebraica se llama trascendente.

Por ejemplo, la superficie del helicoide recto, utilizado en la construcción de filetes cuadrados, tiene como ecuación :

La superficie del helicoide recto es engendrada por una recta generatriz que ser mueve apoyándose constantemente en una hélice cilíndrica circular y en  su eje, formando con éste un ángulo contaste π/2.

SIMETRÍA DE UNA SUPERFICIE

  1. Se sabe, por geometría elemental, que dos puntos son simétricos con respecto a un plano cuando es segmento determinado por ellos es perpendicular al plano y es dividido por éste en dos partes iguales.

Se sabe, también, que una superficie es simétrica con respecto a un plano cuando todo punto de la superficie tiene su simétrico con respecto a ese plano en la misma superficie.

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