CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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Superficies y líneas. Ecuación de una superficie. Plano de simetría. Eje de simetría. Generación de superficies. Superficies regladas desarrollables y no desarrollables. Superficies cónicas y cilíndricas. Helicoides, conoide, cuerno de vaca. Línea de intersercción de dos superficies.


 

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El plano considerado llámase plano de simetría de los dos puntos o de la superficie.

Resulta, entonces, que si dos puntos, P y Q, son simétricos con respecto a uno de los planos coordenados, al yz, por ejemplo, sus coordenadas x son de igual valor absoluto y signo distinto (fig. 432).

Las otras coordenadas son, en cambio, las mismas.

Si los puntos P y Q son puntos de una superficie simétrica con respecto al plano yz, sus coordenadas (x, y, z) y (- x, y, z), respectivamente, verificarán la ecuación de la superficie. Justifícase, entonces, que si la ecuación de una superficie no cambia cuando se varía el signo de una de las variables, la superficie es simétrica con respecto al plano determinado por los ejes de las otras dos variables.

Así, por ejemplo, la superficie dada por la ecuación

llamada paraboloide elíptico, cuya gráfica la da la figura 433, es simétrica con respecto al plano xz, pues cambiando el signo de la variable y la ecuación no varía. Lo es, también, con respecto al plano yz. No lo es, en cambio, con respecto al plano xy.

2. La geometría elemental enseña, también, que dos puntos son simétricos con respecto a una recta cuando el segmento que los une es perpendicular a la recta y es dividido por ésta en dos partes iguales.

Y que una superficie es simétrica con respecto a una recta cuando todo punto de  la superficie tiene su simétrico con respecto a esa recta en la misma superficie.

son, respectivamente, iguales y de signos contrarios a las coordenadas  del otro. Si P y Q son puntos simétricos cualesquiera de una  superficie simétrica con respecto al origen, las coordenadas (x, y, z), por ejemplo, del primero, y las coordenada, (-x, -y. - z) del segundo verificarán la ecuación de la superficie. De aquí que si la ecuación de una superficie no varia cuando se cambia el signo a sus tres variables, la superficie es simétrica con respecto al origen .

La superficie  x2+ y2 + z2 = 1 , por ejemplo, que represente una superficie esférica con centro en el origen, es simétrica con respecto a este punto.

§ 113. GENERACION DE SUPERFICIES

  1. Hemos visto que cuando una superficie puede ser definida geométricamente, es decir, cuando es posible enunciar leyes que determinan sus propiedades,  puede hallarse una  expresión analítica cumplida únicamente por las coordenadas de todos los puntos de la superficie.
  2. En general. llamaremos superficie geométrica el lugar de todas las posiciones que ocupa sucesivamente en el espacio una línea móvil que cambia de posición, o también de forma, según una ley determinada y continua.

En el caso del toro (1 de § 111) la línea móvil es la circunferencia que gira. Se la llama generatriz. La ley es que la circunferencia debe efectuar una rotación completa alrededor de una recta no diametral de su plano. Esta recta es la directriz.

  1. De la definición dada resulta que las superficies geométricas pueden ser clasificadas según dos criterios distintos: o según la naturaleza de la generatriz, o según la ley que rige el movimiento de la generatriz.  Atendiendo al primer criterio, las superficies se distinguen en regladas y curvas  (o no regladas).

Las primeras son engendradas por una recta móvil y las segundas por una curva, cualquiera sea en ambos casos de la ley del movimiento.

Superficies regladas son, por ejemplo, las superficies cónica, cilíndrica, helicoidal. etc.

Superficies no regladas son, por ejemplo, la esférica, la del paraboloide elíptico. etc.

Atendiendo al segundo criterio, es decir, a la ley del movimiento de la generatriz, las superficies se distinguen en superficies de revolución (o de rotación) y superficies que no son de revolución. Las primeras son engendradas por una línea generatriz que gira alrededor de una recta fija. Llamada eje de rotación. Cada punto de la generatriz describe  una circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje y cuyo radio es la distancia del  punto al eje.

Las segundas son las engendradas en forma distinta a la indicada.

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