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FORMA GENERAL DE LA ECUACION DEL PLANO

1. Consideremos un plano cualquiera, π, representado en la figura 438 mediante sus intersecciones (trazas) con los planos coordenados.

 (*) Con una acepción más amplia que la establecida en geometría elemental, diremos que una recta es perpendicular a un plano cuando es ortogonal a toda recta del plano.

Esta relación, satisfecha por las coordenadas de todos los puntos del plano y solamente por las de ellos, constituye la ecuación del plano que pasa por el punto P₁ (x₁, y₁, z₁)  y es perpendicular a la recta que tiene como números directores A, B Y C.

Efectuadas las operaciones indicadas la [1] puede escribirse así:

Ax + By + Cz - (Ax₁ + By₁ + Cz₁ ) = 0,

Expresión en la cual Ax₁ + By₁ + Cz₁ es constante, de modo que haciendo Ax₁ + By₁ + Cz₁ = - D se obtiene

Ax+ By+ Cz+ D = 0,

ecuación de primer grado.

Por ejemplo, la ecuación del plano que pasa por P₁(1, 5, 2) y es perpendicular a la recta que tiene como números directores 4, 8, 10, es

4 (x - 1) + 8 (y - 5) + 10 (z - 2) = 0,

o sea, después de efectuadas las operaciones.

4 x + 8 y + 10 z - 64 = 0

o, lo que es lo mismo.

2 x + 4y + 5 z - 32 = 0.

2. Se comprende que a cada cuaterna de números, A, B, C, D, corresponderá, en general, un plano distinto.

La expresión

constituye, pues, la ecuación de un plano cualquiera; con más precisión, es la forma general de la ecuación del plano.

En consecuencia, en coordenadas cartesianas la expresión analítica de un plano es una ecuación de primer grado en x, y, z, consideradas como coordenadas corrientes, es decir, como coordenadas de un punto variable del plano.

Recíprocamente, toda ecuación de primer grado en x, y, z. consideradas como coordenadas de un punto variable, con coeficientes A, B, C, D, constantes, de los cuales A, B, C, no sean simultáneamente nulos, representa un plano.

3. Así, por ejemplo, cada una de las expresiones siguientes es la ecuación de un plano distinto:

4. Para hacer la representación de un plano cuya ecuación general es dada se pueden construir las intersecciones, o sea, las trazas determinadas sobre los planos coordenados.

Consideremos, por ejemplo, el plano de ecuación

2 x + 3 y + 4 z - 12 = 0,

dado en el número anterior.

Para obtener la traza sobre el plano xy basta hacer z = 0 en la ecuación del plano. Resulta la recta

2 x + 3 y - 12 = 0.

En forma análoga se obtienen las otras dos trazas:

2x + 4z -12 = 0,  3y + 4z – 12 = 0,

Dibujada cada traza (bastan dos) en su respectivo plano coordenado, se obtiene (fig.439) la imagen del plano.

Si se quiere, puede dibujarse una de sus normales. Unido un punto cualquiera, P, de la traza ST,  con otro cualquiera  Q, de la RT, la recta PQ yace en el plano dado. Entonces, un punto arbitrario, M, de PQ, es un punto del plano. Dibujaremos la normal por ese punto M.

Procediendo en forma análoga a la indicada en 6 de § 107, y teniendo presente que los cosenos directores de la normal buscada son proporcionales a los números  2, 3, 4,  marquemos a partir de M dos unidades en la dirección del eje x; luego a continuación del segmento obtenido, tres unidades en la dirección del eje y;  después a continuación, cuatro unidades en la dirección del eje z. Unido el punto M con el extremo N del último segmento marcado, la recta MN es la normal pedida.

§ 116. POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO. FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACIÓN DEL PLANO

1. Consideremos la ecuación general de primer grado en x, y, z,

Ax + By + Cz + D = 0                                    [1 ]

Si ninguno de los coeficientes A, B, C, es nulo, ella representa el plano cuya normal tiene como números directores A, B, C.

Puede ocurrir que sean nulos uno o varios de esos coeficientes.

Queremos establecer la posición particular que en cada caso corresponde al plano representado.

2. Si es nulo solamente el coeficiente de una de las variables, C, por ejemplo, la [1] se vuelve

Ax + By + D = 0.

Por ser nulo el número director C de la normal n al plano, también será nulo el correspondiente coseno director. Se tiene entonces,

El plano resulta, así, paralelo al eje z. Es lo que ocurre, por ejemplo, con el plano 4 x + 3 y - 12 = 0, dado en la figura 440.

En general, si en la ecuación del plano es nulo el coeficiente de una de las variables, el plano es paralelo al eje coordenado correspondiente a la variable cuyo coeficiente es nulo, y recíprocamente.

3. Si son nulos dos de los coeficientes de las variables. B y C, por ejemplo, la [1] se vuelve

Ax + D = 0.

Por ser nulos B y C, nulos son también los cosenos directores cos β y cos γ de la normal al plano. Se tiene, entonces,

El plano resulta, así, paralelo al plano coordenado zy. Es lo que ocurre, por ejemplo, con el plano x - 3 = 0, o sea x = 3, dado en la figura 441.

En general, si en la ecuación del plano son nulos dos de los coeficientes de las variables, el plano es paralelo a los ejes coordenados correspondientes a las variables cuyos coeficientes son nulos, y recíprocamente.

4. Si es nulo el término independiente D, la [1] se vuelve

Ax + By + Cz = 0.

El plano correspondiente pasa por el origen, pues la ecuación es verificada por las coordenadas del origen, y recíprocamente.

5. Si son nulos el término independiente y el coeficiente de una de las variables, el C, por ejemplo: la ecuación se vuelve

Ax + By= 0.

Ocurre, entonces,  que por ser C= 0. el plano es paralelo al eje z, y por ser D = 0, pasa por el origen. Forzoso es, así, que el plano con tenga el eje z (fig. 442).

En general, si en la ecuación del plano son nulos el coeficiente de una de las incógnitas el término independiente, el plano pasa por el eje coordenado cuya variable tiene coeficiente nulo, y recíprocamente.

6. Si son nulos los coeficientes de dos de las variables, así como el término independiente, la ecuación [1] se vuelve, por ejemplo,

Ax = 0,

es decir,

x = 0.