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Geometría Analítica. El Plano.


 

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Por cuanto se ha establecido resulta evidente que el plano representado es el yz. Las ecuaciones x = 0 , y = 0, z = 0 representan, pues, respectivamente, los planos coordenados yz, xz y xy, y recíprocamente.

7. De cuanto precede resulta que si  en la

Ax + By + Cz + D = 0

Ninguno de los coeficientes A, B, C, D es nulo el plano no es paralelo a ninguno de los planos coordenados no pasa por el origen. Encontrará, entonces, los ejes en tres puntos destinos, P, Q, R, por ejemplo (fig. 443).

Si ponemos las coordenadas de P son (a, 0, 0); las de Q (0, b, 0); las de R, (0, 0, c).

Para determinar a, tengamos en cuenta que si P pertenece al plano considerado, sus coordenadas deban satisfacer la ecuación [1]. Entonces, reemplazando las variables x, y, x de la ecuación Ax + By + Cz + D = 0, por a a, 0 y 0 , respectivamente, se obtiene Aa + D = 0, de donde

Análogamente, para determina la coordenadas b de Q se tiene Bb + D = 0, de donde

Sean π1 y π2 los dos planos y la recta r su intersección (fig. 444). Si desde un punto cualquiera. R. de r, se conducen a ésta las perpendiculares n1 y n2 situadas en los planos π1 y π2, respectivamente, los ángulos suplementarios θ y π - θ (secciones normales de los diedros) constituyen los ángulos que forman los planos π1 y π2. Por conocida propiedad de geometría elemental esos dos ángulos son iguales a los que determinan las respectivas  a π1 y π2 desde un punto exterior, P, arbitrario.

El problema de hallar los ángulos que forman dos planos que se cortan se reduce, así, a encontrar los ángulos que forman sus normales.

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