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La recta. Ecuación general de la recta. Planos proyectantes y forma reducida de la ecuación de la recta.


 

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LA RECTA

ellas representarán el conjunto de puntos comunes a los dos planos, o sea  su recta de intersección (1 de § 114).

En el espacio, pues, una recta esta representada por un sistema de dos ecuaciones  lineales que, consideradas aisladamente, representan des planos distintos no paralelos que pasan por aquella recta.

Pero notemos que, si bien el sistema [1] individualiza una recta única del espacio, ésta puede ser represen lada por un número infinito de sistemas tales como el [1]. Basta considerar dos planos cualesquiera distintos y no paralelos que pasan por la recta.

El sistema [1] constituye la forma general de la ecuación de la recta.

2. Dada una recta mediante el sistema [1], puede hacerse su construcción determinando dos cualesquiera de sus puntos.

Fijado un valor arbitrario, pero conveniente  de z1 de z se reemplaza en [1], y resolviendo el sistema en x e y resultante se hallan sus raíces x1 e y1. El punto (x1, y1, z1) es un punto de la recta, pues sus coordenadas satisfacen el sistema [1], Fijado otro valor, z2, de z, se hallan en la misma forma los correspondientes valores x2 e y2. El punto (x2, y2, z2) es otro punto de la recta. Se hace luego su trazado.

Trátese, por ejemplo, de la recta

La recta P1P2, (fig. 454) es, entonces, la recta que corresponde al sistema dado.

En vez de los puntos arbitrarios P1 y P2, pueden determinarse, generalmente con  ventaja, las trazas de la recta sobre dos planos coordenados.

La traza T1 sobre el plano xy tiene z = 0. Reemplazando en el sistema dado y procediendo como en el caso de P1 y P2 se determinan fácilmente la x y la y de T1.  Resulta T1 (8, 4. 0).

La traza T2 sobre el plano yz tiene x = 0, valor que permite encontrar la z y la y de T2. Resulta T2 (0. 2. 6).

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