CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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LA SUPERFICIE ESFÉRICA. ECUACIONES. Plano tangente a una superficie esférica.Regla del desdoblamiento. Tangentes. Intersección de dos superficies esféricas. Coordenadas de los puntos de intersección. Plano radical de dos superficies. Plano radical secante, tangente o externo a dos superficies. Centro radical de las superficies esféricas.


 

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La figura 465 da la gráfica correspondiente (Para ilustrar mejor la figura se ha supuesto transparente  el plano tangente).

5. La ecuación del plano tangente a la superficie esférica ha sido hallada aprovechando la perpendicularidad entre ese plano y el radio que pasa por el punto de tangencia. Tratándose de otras superficies de segundo grado el razonamiento es distinto. Geométricamente, se demuestra en geometría descriptiva que, considerado un punto arbitrario, P, de una superficie, las tangentes por P a las líneas que trazadas en la superficie pasan por P pertenecen a un mismo plano, que se define como plano tangente a la superficie por el punto P.

Y entonces el sistema [1], [2], es equivalente al que se obtiene sustituyendo una cualquiera de las [1], [2] por su diferencia [3].

Esta última es la ecuación de un plano, de modo que el problema queda reducido a la determinación de los puntos comunes a una superficie esférica y a un plano. El plano [3] que pasa por los puntos de intersección de las dos superficies esféricas dadas es el plano radical de las mismas.

Es fácil verificar que es perpendicular a la recta que une los centros.

El plano radical puede resultar secante, tangente o externo a las dos superficies, obteniéndose como intersección una  circunferencia real, un solo punto real o ningún  punto real, respectivamente.

Cuando el plano radical es tangente a las dos superficies se dice que estas son tangentes.

2. El concepto de potencia de un punto con respecto a una circunferencia se extiende en el espacio a la superficie esférica. Y, así, se dice que dada una superficie esférica y un punto, si desde el punto se conducen transversales a la superficie, el producto de las distancias del punto a las intersecciones de la superficie con cada transversal es constante y se llama potencia del punto con respecto a la superficie esférica.

3. Se demuestra fácilmente, en forma análoga a lo que se hizo en el plano con la circunferencia, que la potencia de un punto con respecto a una superficie esférica ser obtenida reemplazando las coordenadas corrientes  de la ecuación normal de la superficie esférica por las coordenadas del  punto.

4. Dadas dos superficies esféricas cuyas ecuaciones generales indicaremos, para simplificar, mediante las escritures

S1= 0 y S2= 0,

respectivamente, la combinación lineal

S1 + KS2 = 0

da la ecuación del haz de superficies esféricas que pasan por los puntos comunes a las dos primeras.

Las infinitas superficies del haz se obtienen al dar a k valores distintos. Para k = - 1 se obtiene el plano radical de las dos superficies esféricas consideradas.

5. Si

S1 = 0, S2= 0, S3= 0,

son las ecuaciones generales de tres superficies esféricas no pertenecientes a un mismo haz, puede demostrarse, en forma análoga a lo que se ha hecho al determinar el centro radical de tres circunferencias,  que los tres planos radicales se cortan según una misma recta. Esta recta es el eje radical de las tres superficies esféricas.

Y puede demostrarse, también, que los seis planos radicales de cuatro superficies esféricas, tomadas de dos en dos, se cortan en un punto común , llamado centro radical de las superficies esféricas.

Cuando los centros de las cuatro superficies son coplanares  el centro radical es un punto en el infinito de las rectas perpendiculares a aquel plano.

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