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LOGARITMOS.


 

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LOGARITMOS

Gráfica de la función exponencial. Se llama función exponencial a la función de la forma

y = ax

donde a es una constante positiva distinta de 1 y x la variable independiente.

Las características de la función dependen de que la base a sea mayor o menor que 1. Se estudia a continuación cada uno de estos casos por separado.

PRIMER CASO: a > 1. Para fijar ideas se da a a un valor determinado.

Sea por ejemplo a = 2; la función considerada es entonces:

y=2x

Si se asignan valores a x, y se calculan los correspondientes de y, se obtiene el cuadro de valores que figura a continuación, de acuerdo con el cual se construye la gráfica.

Se observa, en este caso, que la curva representativa de la función exponencial crece rápidamente para los valores positivos de x, y decrece para los valores negativos, tendiendo a hacerse tangente al semieje negativo de las abscisas.

La curva conserva la misma forma y características en todos los casos en que la base a es mayor que 1.

SEGUNDO CASO. a < 1. También en este caso, para fijar ideas se da a a un valor particular. Sea por ejemplo a =  1/3.  La función considerada es:

La tabla de valores y la gráfica correspondiente figuran a continuación

Se observa en este caso que la curva representativa de la función exponencial decrece hacia los valores positivos de x, tendiendo a hacerse tangente al semieje positivo de las abscisas.

La curva conserva la misma forma y características en todos los casos en que la base a es menor que 1.

Obsérvese que la función exponencial  tanto para base mayor que 1 como para base menor que 1 es siempre positiva y nunca se anula.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Representar gráficamente las siguientes funciones exponenciales.

Se pasa ahora a estudiar la función logarítmica que es la función inversa de la función exponencial. Para ello es preciso definir logaritmo,

DEFINICIÓN. Se llama logaritmo de un número real, positivo, n en base a otro número b también real,  positivo y distinto de 1, al número x que es el exponente a que hay que elevar la base b, para obtener el número n.

El logaritmo del número n, en base b, se expresa mediante la notación

(que se lee: logaritmo de n en base b, es igual a x).

Ejemplos :

OBSERVACIÓN 1º -Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números reales.

En efecto, es así, pues, como por definición, la base de los logaritmos es positiva, ninguna potencia de esa base puede dar resultado negativo en el conjunto de los números reales. Así, por ejemplo, no existe el logaritmo de -9 en base 3, pues ninguna potencia de 3 es igual a - 9.

OBSERVACIÓN 2º - Cuando la base de los logaritmos es mayor que 1, los números positivos menores que la unidad tienen logaritmo negativo. Así:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. La función logarítmica es de la forma:

y = logb X

Las características de la función dependen de que la base b sea mayor o menor que 1. Se estudian a continuación cada uno de estos casos por separado.

PRIMER CASO: Cuando la base b es positiva, mayor que 1. Para fijar ideas, sea por ejemplo la base del logaritmo igual a 2, es decir:

y = log2 X

Dando ahora valores a x, y calculando los correspondientes de y, se tiene:

Con los resultados obtenidos se construye el cuadro de valores y en base a él, la gráfica correspondiente que figura a continuación.

Se observa que a medida que crecen los valores de x crece la función logarítmica y se observa también que para los valores de x menores que 1 la función toma valores negativos y la curva representativa tiende a hacerse tangente al semieje negativo de las ordenadas.

Estas consideraciones de la función logarítmica son válidas para todos Jos casos en que la base de los logaritmos es mayor que la unidad.

SEGUNDO CASO: Cuando la base b es positiva pero menor que 1.

Para concretar ideas, sea dicha base igual a 1/3. La función es entonces:

Dando ahora valores a x y calculando los correspondientes de y, se tiene el siguiente cuadro de valores y la gráfica de la función:

En la figura de página a continuación se representa en un mismo sistema de ejes cartesianos la función exponencial y la logarítmica de igual base mayor que 1, por ejemplo, 2:

Se observa que las dos curvas son simétricas con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Ésta es una característica de las funciones inversas, es decir que la gráfica de una función y la gráfica de su inversa resultan siempre simétricas con respecto a la bisectriz del ler. cuadrante.

Si se dibujan, referidas a un mismo par de ejes,

se observa la misma simetría.

LOGARITMOS. DATOS HISTÓRICOS. La teoría logarítmica fue creada para resolver en forma más simple o más rápida el cálculo de los intereses compuestos.

La obtención del monto a interés compuesto implica el cálculo de una potencia, que con los procedimientos ordinarios, es muy laborioso. Por esta razón las instituciones bancarias solicitaron a los matemáticos que buscaran una operación que permitiera el cálculo de esa potencia en forma más rápida, y fueron Neper y Briggs los que solucionaron el problema.

Ahora bien, cabe decir que ya en el siglo XVI el matemático alemán Miguel Stifel se había dado cuenta clara de la importancia de estas notables relaciones numéricas, publicando en 1544, en Nüremherg, su Arithmetica Integra, que podría llamarse el primer rudimento de tablas de logaritmos, pues destaca en él que los exponentes a que hay que elevar el número 2 para obtener los números  1/8;1/ 4; . .. 64, son los números enteros desde - 3 hasta 6.

Pero en verdad, los logaritmos toman cuerpo de teoría con los trabajos de Juan Neper (1550-1617) quien publica en 1614 su obra: Mirifici logarithmorum canonis descriptio, donde aparece la primera tabla de logaritmos de las funciones trigonométricas. Independientemente de Neper, Joost Bürgi (1552-1632) calculó una tabla publicada en Praga en 1620.

Neper utilizó como base de sus logaritmos un número muy próximo al número irracional 2,71828... Los logaritmos en base  e se llaman logaritmos naturales.

Los trabajos de Neper condujeron a Briggs a estudiar los logaritmos, quien publica en 1617, la primera Tabla de los logaritmos decimales, es decir, en base 10. En esta tabla figuran los logaritmos decimales de los números naturales comprendidos entre 1 y 1 000; Briggs continúa sus cálculos de logaritmos y en 1624 publica su Arithmetica Logarithmica, donde expone su método para el cálculo de los logaritmos y donde figuran los logaritmos de 1 a 20 000 y desde 90 000 a 100 000. El cálculo de los logaritmos de los números comprendidos entre 20 000 y 90 000 fue completado por Vlacq.

La primera tabla de logaritmos en base e fue publicada en 1619 por Speidell en su New Logarithmes.

Propiedades de los logaritmos. La logaritmación no es distributiva con respecto a la suma, a la resta, a la multiplicación, ni a la división, como se comprueba respectivamente en los siguientes ejemplos:

puede verse, que el logaritmo de la suma, que es 4, no es igual a la suma 1 + 2 + 3 + 1 = 7 de los logaritmos de los sumandos.

puede verse que el logaritmo de la diferencia, que es 5, no es igual a la diferencia, 6 - 5 = 1, de los logaritmos del minuendo y sustraendo.

De acuerdo con lo observado en estos ejemplos resulta que: para calcular el logaritmo de una suma algebraica es necesario primero efectuar la suma y luego calcular el logaritmo del resultado.

puede verse que el logaritmo del producto, que es 3, no es igual al producto 2 X 1 = 2 de los logaritmos de los factores.

puede verse que el logaritmo del cociente, que es 2, no es igual al cociente 3 : 1 = 3 de los logaritmos 3 y 1 del dividendo y divisor.

LOGARITMO DE UN PRODUCTO. En el ejemplo 3º del párrafo arriba se ha visto que;

Se observa que el logaritmo del producto, que es 3, es igual, a la suma 2 +1 de los logaritmos 2 y 1 de los factores, es decir:

Esta observación es general, y se enuncia:

El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores, en esa misma base.

Simbólicamente:

Luego, (x + y + z) es el exponente al que es necesario elevar la base b para obtener el número (m n p); por consiguiente, según la definición de logaritmo es el logaritmo de dicho número, en base b

se observa que el logaritmo del cociente, que es 3, es igual a la diferencia 7 - 4 de los logaritmos 7 y 4 del dividendo y del divisor, es decir:

En general, se enuncia:

El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

Simbólicamente:

LOGARITMO DE UNA POTENCIA. Sea, por ejemplo, calcular:

Teniendo en cuenta que el logaritmo de 8 en base 2, es 3, o sea:

se observa que 12, que es el logaritmo de la potencia, es igual al producto del exponente 4 por el logaritmo 3 de la base de la potencia.

Es decir:

Esta observación es general y se enuncia:

El logaritmo de toda potencia de base positiva es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

Simbólicamente:

LOGARITMO DE UNA RAíZ

Siendo :

es decir que:

El logaritmo de una raíz de radicando positivo es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice.

EJEMPLO:

OBSERVACIONES. 1º El logaritmo del número elegido como base de los logaritmos es 1.

En efecto, el exponente al cual hay que elevar la base, para obtener esa misma base, es 1.

2º El logaritmo del número 1, en cualquier base, es igual él cero. En efecto, la potencia cero de cualquier número (distinto de cero) es igual a 1; luego el exponente al que hay que elevar la base para obtener 1 es cero.

3º De acuerdo con las propiedades que se acaban de estudiar, la logatitmación simplifica el cálculo transformando la multiplicación en suma; la división en resta, la potenciación en multiplicación y la radicación en división.

 

 

 

 


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