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Logaritmos decimales. Tablas de Logaritmos.


 

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Logaritmos decimales.

En la práctica se utilizan comúnmente los logaritmos de base 10, llamados por esta razón logaritmos decimales.

En adelante, consideraremos únicamente estos logaritmos, salvo indicación especial; por consiguiente, no escrbiremos la base 10 en la notación de logaritmos decimales. Así:

 

Característica y mantisa. Todo número que es potencia entera de 10 tiene como logaritmo decimal un número entero. Por ejemplo:

En cambio, un número que no es potencia entera de 10 tiene como logaritmo decimal un número que no es entero. Por ejemplo, el número 83, que está comprendido entre 10 y 100, tiene un logaritmo que es mayor que el de 10 y menor que el de 100 pues según se ha visto, en los logaritmos de base mayor que 1 a mayor número corresponde mayor logaritmo.

En general, el logaritmo decimal de un número está expresado por una parte entera y una parte decimal.

Simbólicamente:

La parte entera x se llama característica del logaritmo, y la parte decimal, a b c d e , mantisa del logaritmo.

REGLAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LA CARACTERÍSTICA.

a) CARACTERÍSTICA CORRESPONDIENTE A NÚMEROS MAYORES QUE 1.

Siendo: log 1 = 0

y   log 10 = 1

se deduce que los números de una cifra entera, es decir, comprendidos entre 1 y 10, por ejemplo: 5; 9; 3,82 ; 6,045; etc., tienen un logaritmo mayor que 0 y menor que 1, o sea de la forma 0, a b c d e

Luego, los logaritmos de los números de una cifra entera tienen característica cero. Obsérvese que 0 es igual al número de cifras enteras, 1, menos 1.

Siendo: log 10 =1

y      log 100 =2

se deduce que todo número de 2 cifras enteras, es decir, mayor que 10 y menor que 100, como por ejemplo: 36; 11,75; 98; 40,912; etc., tienen un logaritmo mayor que 1 y menor que 2, o sea de la forma 1, a b c d e. Luego, los logaritmos de los números de dos cifras enteras tienen por característica 1. Obsérvese que 1 es igual al número de cifras enteras, 2, menos 1.

Siendo: log 100 =2

y      log 1000 =3

se deduce razonando como en los casos anteriores, que: los números

de tres cifras enteras tienen un logaritmo de característica 2. Obsérvese que 2 = 3-1.

Del mismo modo llegaríamos a establecer que: los números de cuatro cifras enteras tienen un logaritmo de característica 3. Obsérvese que 3 = 4 -1, etc. y así siguiendo, se llega a establecer que:

y así siguiendo, se llega a establecer que:

Generalizando todas estas observaciones, se enuncia la siguiente:

REGLA. 1º La característica del logaritmo de un número mayor que 1 es igual al número de cifras enteras del mismo, menos 1.

EJEMPLOS:

1º Característica del log 7,5 = 0, pues hay una sola cifra entera, que es siete, y restándole 1, resulta 0.

2º Característica del log 5 938 = 3, pues hay cuatro cifras enteras, y 4-1=3.

3º Característica del log 60 100 = 4, pues hay cinco cifras enteras, y 5-1=4.

49 Característica del log 43,015 1, pues hay dos cifras enteras, y 2 -1=1.

b) CARACTERÍSTICA CORRESPONDIENTE A NÚMEROS MENORES QUE 1.

Siendo: log 1 = 0

y     log 0,1 =1 pues 0,1 = 10-1

se deduce que todos los números comprendidos entre 0,1 y 1, por ejemplo 0,9; 0,315; 0,8046; etc., es decir, que tienen un solo cero delante de la primera cifra significativa, tienen un logaritmo mayor que -1 y menor que 0,es decir, igual a -1 más una fracción positiva, 0, a b c d e, de tal modo que la suma resulta menor que 0. La suma -1 + 0, a b c d e se indica mediante la notación:

_
1,
a b c d e

donde la característica es -1, y la mantisa, a b c d e, es positiva; el signo menos (o la barra) se traza sobre la característica para indicar que afecta únicamente a ella. Obsérvese que hay un solo cero delante de la primera cifra significativa del número y la característica tiene valor absoluto 1.

Siendo: log 0,1 =1

y log 0,01 = -2 pues 0,01 = 10-2

se deduce que todos los números mayores que 0,01 y menores que 0,1, por ejemplo: 0,087; 0,04; 0,0593; etc., es decir, que tienen dos ceros delante de la primera cifra significativa, tienen un logaritmo mayor que -2 y menor que -1, o sea que está formado por la característica -2 y una mantisa positiva; un logaritmo de esa forma se indica así:

_
2,
a b c d e

Obsérvese que hay dos ceros delante de la primera cifra significativa y que la característica tiene valor absoluto 2.

Se deduce, razonando como en los casos anteriores, que los números que tienen tres ceros delante de la primera cifra significativa tienen un logaritmo de la forma:

_
3,
a b c d e

Del mismo modo, se llega a establecer que los números que tienen cuatro ceros delante de la primera cifra significativa tienen una característica -4, etc.

Así siguiendo, se llega a establecer que:

La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.

Generalizando todas estas observaciones, se enuncia la siguiente:

REGLA 2º Los logaritmos de los números positivos menores que 1 tienen característica negativa, cuyo valor absoluto es igual al número de ceros que preceden a la primera cifra significativa.

EJEMPLO:

1º Característica del  log 0,0027 = 3 , pues hay tres ceros delante de la primera cifra significativa.

2º Característica del log 0,3004 = 1 , pues hay un solo cero.

Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C, mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica una línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar. 

Según las reglas anteriores, se determina inmediatamente la característica del logaritmo de cualquier número positivo.

Sea, por ejemplo, tener que calcular el logaritmo de 3; el de 30 y el de 300. Calculando las características según la regla, resultan ser, respectivamente 0; 1 y 2, y determinando las mantisas mediante la tabla, resulta para los tres números la misma mantisa 47712; luego:

es decir, que las mantisas de todos estos logaritmos son iguales, e igual también será la mantisa del logaritmo de 3000, la del logaritmo de 0,3, etc., es decir, la mantisa de los logaritmos de los números que se obtienen multiplicando o dividiendo 3 por la unidad seguida de ceros.

Esta observación es general y se enuncia diciendo:

La mantisa del logaritmo de un número no altera, si se multiplica o divide el número por la unidad seguida de ceros.

Esta propiedad indica que cuando se tiene que buscar la mantisa del logaritmo de un número, por ejemplo la de 0,428 es lo mismo buscar en la tabla la mantisa del logaritmo de 428, de 4280, etc.

Manejo de las tablas de logaritmos.

Antes de la década de 1970, las calculadoras electrónicas manuales no estaban disponibles y las calculadoras mecánicas capaces realizar una multiplicación eran voluminosas, costosas y no estaban ampliamente disponibles. En lugar de ello, se utilizaron tablas de logaritmos de base 10 en la ciencia, la ingeniería y la navegación cuando los cálculos requerían una mayor precisión de lo que podría conseguirse con una regla de cálculo. El uso de logaritmos evitaba tener que hacer laboriosas multiplicaciones y divisiones con lápiz y papel propensos a errores. Debido a esto que los logaritmos eran tan útiles, las tablas de logaritmos de base 10 estaban impresas en los apéndices de muchos libros de texto. Aunque hayan caido en desuso, ya que se recurre fácilmente a una calculadora para hallar los logaritmos, veamos su uso el líneas generales.

En la logaritmación se presentan dos problemas:

1º Dado un número, hallar su logaritmo.

2º Dado el logaritmo de un número, calcular dicho número. Este número se llama antilogaritmo del logaritmo dado.

Para resolver estos dos problemas se utilizan las tablas de logaritmos mencionadas anteriormente. Estas tablas pueden ser de simple o de doble entrada. Se pasa a estudiar el manejo de cada una de ellas.

Tablas de simple entrada. En dichas tablas figuran en columna los números, en general de 1 hasta 10000. Frente a ellos, en una segunda columna, las primeras cifras decimales correspondientes a sus logaritmos, es decir, las primeras cifras de la mantisa; en las tablas que se usan comúnmente figuran las cinco primeras cifras decimales. En una tercera columna figuran las diferencias entre cada dos mantisas consecutivas.

A continuación se reproduce una parte de una tabla de logaritmos:

En esta tabla, en la columna encabezada por Log figura nada más que la mantisa; en otras tablas, en cambio, están consignadas también las características, pero conviene calcular independientemente la característica y luego leer en la tabla solamente la mantisa.

Observando la tabla reproducida, se ve que al número 1203 corresponde un logaritmo cuya mantisa es 08027; al número 1325, una mantisa igual al 12222, etc. Observamos también que la diferencia entre dos mantisas consecutivas, por ejemplo, las mantisas correspondientes a 1261 y 1262, que es (10106 -10072 = 34) , figura ya calculada entre los renglones de esas dos mantisas, en la tercera columna que corresponde a las diferencias.

Para resolver los problemas que se presentan se consideran tablas de logaritmos en que figuran los números hasta 10000, es decir, números que no tienen más de cuatro cifras.

Temas relacionados : Resolución de problemas de ejemplo.

 

 

 

 

 


 


 

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