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Manejo de las tablas de logaritmos. Problemas de ejemplo.

 


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Manejo de las tablas de logaritmos. Problemas de ejemplo.

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PRIMER PROBLEMA

Dado un número calcular su logaritmo. En este problema hay que destacar dos casos:

1er. CASO: que el número considerado prescindiendo de la coma decimal, si es que la hay, figure en la tabla, en cuyo caso dicha tabla nos da directamente su mantisa; para la tabla de referencia, el número entero que resulta al suprimir la coma, no debe tener más de cuatro cifras.

2º CASO: que el número dado, prescindiendo de la coma decimal, si es que la hay, sea. mayor que el último número que figura en la tabla, en cuyo caso es necesario un cálculo auxiliar para determinar la mantisa.

PRIMER CASO.

EJEMPLO 1º

Calcular: log 498 .

La característica, según la regla dada, es igual al número de cifras enteras menos 1, o sea: 3 -1 = 2.

Para calcular la mantisa se busca en la tabla, en la columna de los números el número 498, y frente a él figura la mantisa correspondiente, que es 69723.

Luego:

log 498 = 2,69723

Obsérvese que como la mantisa del logaritmo de un número no varía si se multiplica dicho número por la unidad seguida de ceros, al mismo resultado se llega si en la tabla se busca la mantisa correspondiente a 4980.

EJEMPLO 2°:

Calcular: log 35,61.

La característica es igual al número de cifras enteras menos 1. o sea 2-1 = 1.

Calcular la mantisa correspondiente a 35,61 es equivalente él buscar la que corresponde a 356,1 ; a 3,561; a 3561, etc, y como 3561 figura en la tabla, se lee la mantisa correspondiente a él, que es 55145.

Luego:

log 35,61 = 1,55145

EJEMPLO 3º :

Calcular: log 0,08319 .

En este caso, según se ha visto, la característica es-2 pues hay dos ceros delante de la primera cifra significativa. Razonando como en los ejemplos anteriores resulta que:

mantisa del log 0,08319 = mantisa del log 8319

y como, según las tablas, la mantisa correspondiente a 8319 es 92007, resulta

log 0,08319 = 2,92007.

SEGUNDO CASO.

EJEMPLO:

Calcular: log 23715 . Según la regla, la característíca es 5 -1 = 4.

Para el cálculo de la mantisa se debe tener en cuenta que en la tabla considerada figuran solamente los números de cuatro cifras, pero por la propiedad que ya se ha recordado:

mantisa del log 23715 = mantisa del log 2371,5

Como el número 2371,5 es mayor que 2371 y menor que 2372 las mantisas correspondientes guardan la misma relación, es decir:

mantisa del log 2371 < mantisa del log 2371,5 < mantisa del log 2372.

Se consulta la tabla y se ve que:

Por lo tanto, la mantisa correspondiente a 2371,5 está comprendida entre 37493 y 37511 ; es decir, que dicha mantisa es igual a 37493 más un cierto número, que se designa con d, y que no alcanza a 18, o sea:

mantisa del log 2371,5 = 37493 +d                              [1]

donde d < 18.

Se calcula ahora el valor de d, razonando así:

mantisa del log 2371,5 = 37493 +9 = 37502 .

Luego:

log 23715 = 4,37502.

OBSERVACIONES: 1º Llamando D a la diferencia tabular, se observa que siguiendo el razonamiento del ejemplo anterior, la diferencía d, que se debe agregar a la mantisa que se lee en la tabla, es igual a la diferencia tabular D por la diferencia entre el número de cuatro cifras enteras cuya mantisa se busca y el inmediato inferior que figura en la tabla.

2º En la mayoría de las tablas ya figura calculada aproximadamente la diferencia d, en un cuadro de valores llamado de partes proporcionales.

Así, para el ejemplo dado, en la misma página en que se halla la mantisa del log 2371, figura a un costado el cuadro de valores, encabezado por 18, que es la diferencia tabular D que interesa. En la columna de la izquierda, se busca , que es la cifra de los décimos de la diferencia 2371,5 -2371; en la columna de la derecha y a la misma altura se lee 9, que es la diferencia d buscada.

EJEMPLO:

Calcular log 0,0032678

La característica es: 3.

El número de cuatro cifras a partir de la primera significativa es 3267: que es, de los números que figuran en la tabla, el inmediato inferior a 3267,8 cuya mantisa se debe buscar.

En consecuencia:

mantisa del log 3267,8 = 51415 + 10 = 51425.

Luego:

log 0,0032678 = 3,51425.

SEGUNDO PROBLEMA

Dado el logaritmo de un número, calcular dicho número.

Como ya se ha dicho, este problema puede enunciarse: dado un logarítmo calcular el antilogaritmo.

En este problema también se presentan dos casos:

1º ; que la mantisa del logaritmo dado figure en la tabla y 2º, que la mantisa no figure en la tabla.

PRIMER CASO. La mantisa figura en la tabla.

EJEMPLO 1º; Calcular el antilogaritmo de 2,51904. Este problema puede indicarse:

log x = 2,51904

donde x es el número o antilogaritmo que hay que calcular. ( El antilogaritmo de base a de y es el número x tal que : loga(x) = y )

Se busca la mantisa dada en la columna de las mantisas de la tabla, y efectivamente, ella figura en este caso particular. En la tabla se lee:

3304  |  51904

Es decir, que el número que corresponde a la mantisa dada es 3304.

Ahora bien, la característica del log x es 2; luego, según la regla para la determinación de la característica, ese número x tiene tres cifras enteras. Por consiguiente:

x = 330,4

EJEMPLO 2º;

Siendo log x = 2,87685, calcular x.

Se busca en la tabla la mantisa 87685 y se ve que:

7 531  |  87685

Es decir, el número correspondiente es 7531.

Pero como la característica del log x es 2 , el antilogaritmo debe tener dos ceros delante de la primera cifra significativa. Luego:

x = 0,07531

EJEMPLO 3º:

Hallar el antilogaritmo de 4,74966:

Se busca en la tabla y se encuentra:

5619  | 74966

Como en nuestro caso la característica es 4, el número buscado x debe tener cinco cifras enteras. Se completan las cinco cifras agregando un cero a 5619.

Luego:

x= 56190

SEGUNDO CASO. La mantisa no figura en la tabla.

EJEMPLO:

Sea calcular el antilogaritmo de 3,45685.

Es decir:

log x = 3,45685

Se busca en la tabla en la columna correspondiente a las mantisas y se ve que en este caso la mantisa 45685 no figura. Se lee:

Como la mantisa buscada está comprendida entre 45682 y 45697, el número que corresponde a dicha mantisa debe estar comprendido entre los números correspondientes a esas mantisas, que son 2 863 y 2 864. Es decir

2 863 < x < 2 864

Por lo tanto, x será igual a 2 863 más una parte decimal que se designa con δ, es decir, x será de la forma:

x = 2863 + δ

donde δ es menor que 1, pues el número buscado debe ser menor que 2 864. Para calcular δ se razona así:

Reemplazando en [1]:

x = 2 863 + 0,2 = 2 863,2

y como la característica de log x es 3, el antilogaritmo debe tener cuatro cifras enteras.

Luego:

x= 2863.2

OBSERVACIONES. 1º δ es igual a la diferencia que se obtiene al restar de la mantisa dada la inmediata inferior que figura en la tabla, dividida por la diferencia tabular, D.

2º Para el cálculo de δ, también pueden utilizarse las tablitas de partes proporcionales. Así, para el ejemplo dado, en la tablita encabezada por 15, que es la diferencia tabular que interesa, se busca a la derecha la diferencia entre la mantisa dada y la inmediata inferior, que es 3, y a la misma altura, en la columna de la izquierda, figura la cifra de los décimos de δ, que en este caso es 2.

3º En general conviene buscar las mantisas en las tablas comunes, entre las que corresponden a los números de cuatro cifras.

3º En general conviene buscar las mantisas en las tablas comunes, entre las que corresponden a los números de cuatro cifras.

EJEMPLO:

Siendo log x = 1,67942, calcular el antilogaritrno x.

Se busca en la tabla, en la columna de las mantisas y se ve que 67942 no figura; la mantisa inmediata inferior que se encuentra es 67934. Se lee:

Como:

Luego, el número que corresponde a la mantisa dada es:

Como la característica es  1, el antilogaritmo x debe tener un cero delante de la primera cifra significativa. Por lo tanto:

x= 0,47798

Al calcular δ, que en este· caso resultó 0,88..., podría haberse redondeado a 0,9, obteniéndose así el resultado:

x = 0,47799 igualmente válido.

Tablas de doble entrada. En estas tablas, en la primera columna no figura el número completo sino solamente las primeras cifras del mismo, hasta la de las decenas inclusive; la cifra de las unidades debe buscarse en el primer renglón que encabeza la página, renglón donde figuran todos los números dígitos, es decir desde 0 hasta 9. Luego, para leer un número es necesario completar la lectura de la primera columna con la del primer renglón y en la intersección de la fila y columna correspondiente figura la mantisa del logaritmo de dicho número. En la tabla no figuran repetidas las primeras cifras de la mantisa ni las primeras cifras del número. Así, por ejemplo, en la parte de la página de una tabla de doble entrada, que figura a continuación, el número 1800 se lee: 180 en la primera fila de la primera· columna y la cifra 0 de las unidades en el primer recuadro del renglón que encabeza la tabla; la mantisa correspondiente a su logaritmo figura entonces en la intersección de la primera fila y de la columna encabezada por 0, y es 25527; el número 1835 se lee: las 18 centenas en la primera fila de la primera columna; la cifra 3 de las decenas en la cuarta fila de la primera columna y la cifra 5 de las unidades en el sexto recuadro del renglón que encabeza la tabla. En la intersección de la cuarta fila y dicha columna encabezada por 5 figura la mantisa que es 26364.

Cuando cambian las cifras de los millares en la mantisa y no hay espacio en la tabla para hacer figurar este cambio, se indica con un asterisco que se coloca delante de las últimas cifras de la mantisa que figuran en la tabla.

Así, por ejemplo, la mantisa correspondiente al logaritmo de 1863 es 27021. En estas tablas no figuran calculadas las diferencias entre dos mantisas consecutivas, de modo que, cuando es preciso interpolar,  se deben calcular previamente dichas diferencias restando de la mantisa mayor, la inmediata inferior.

 

 

 

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