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Cálculo de productos y cocientes, mediante logaritmos.

 


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Cálculo de productos y cocientes, mediante logaritmos.

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Mediante el cálculo logarítmico, es posible calcular el valor de expresiones en que figuran productos, cocientes, potencias y raíces, o bien una sola de esas operaciones, pues se calcula el logaritmo de esas expresiones mediante las reglas de logaritmación ya estudiadas, y una vez obtenido el logaritmo se halla el antilogaritmo, que es el valor de dicha expresión.

Se considera primero un ejemplo en que sólo intervienen productos. y cocientes. Así:

EJEMPLO:

Calcular mediante logaritmos:

Cálculo del logaritmo. La expresión general es un cociente, luego su logaritmo es igual al logaritmo del dividendo 1856 X 278 menos el logaritmo del divisor 0,981 , es decir:

Pero log (1856 X 278) es el logaritmo de un producto; por consiguiente es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores; luego:

Según las reglas para obtener las características, y mediante las tablas, se calcula cada uno de estos logaritmos, que resultan ser:

Según [1], se suman los dos primeros logaritmos:

y de este resultado se resta el log de 0,981, es decir:

Obsérvese que al restar las características, el 5 se transformó en 4, por la unidad que cedió a la de orden inmediato inferior para poder efectuar la resta; y restar de 4 la característica -1 equivale a sumarle 1, pues:

4 - ( - 1) = 4 + 1 = 5

Luego:

.

Por lo tanto, para obtener el valor de la expresión

se debe buscar el antilogaritmo de 5,72095.

Cálculo del antilogaritmo. Se busca el número que corresponde a la mantisa, 72095.; ésta no figura en nuestras tablas. Se busca entonces la inmediata inferior y se lee:

y como la característica del logaritmo es 5, el número buscado tiene seis cifras enteras, es decir:

antilog 5,72095 = 525955,5

Luego:

y así se ha resuelto el problema propuesto, de calcular mediante logaritmos el valor de la expresión dada.

Cálculo de potencias y raíces, mediante logaritmos.

EJEMPLO 1º:

Calcular mediante logaritmos 2,6155

Según se ha visto, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base; luego:

log 2,6155 = 5 log 2,615 = 5 X 0,41747 = 2,08735.

La potencia buscada es el antilogaritmo de 2,08735. Se busca el número que corresponde a la mantisa 08735, y, según las tablas, se tiene:

Como la característica del logaritmo es 2, el número buscado tiene tres cifras enteras, es decir:

antilog 2,08735 = 122,277

o sea :

2,6155 = 122,277

EJEMPLO 2º :

Calcular 0,4193

log 0,4193 = 3 log 0,419 = 3 X 1,62221 = 2,86663.

Obsérvese que al multiplicar las cifras de la mantisa por 3, después de escribir el 8, se lleva una unidad positiva, y entonces, para la característica se tiene: 3 por (-1) =- 3 ; más 1 que se llevaba, igual a -2.

El valor de la potencia buscada es igual al antilogaritmo de 2,86663.

Obsérvese que al multiplicar las cifras de la mantisa por 3, después de escribir el 8, se lleva una unidad positiva, y entonces, para la característica se tiene: 3 por (-1) = - 3 ; más 1 que se llevaba, iguala -2.

El valor de la potencia buscada es igual al antilogaritmo de 2,86663.

En la tabla se lee:

y como la característica es 2 , el valor buscado debe tener dos ceros antes de la primera cifra significativa, es decir:

antilog 2,86663 = 0,073558

o sea:

0,4193= 0,073558 .

EJEMPLO 3º :

Se considera ahora un ejemplo en que el exponente de la potencia es negativo.

Así, sea calcular:

12,5-2

Recordando la definición de potencia de exponente negativo, es:

Aplicando logaritmos, se tiene:

pero: log 1 = 0

y   log 12,52 = 2 log 12,5 = 2 X 1,09691 = 2,19382

Reemplazando en [1]

log 12,5-2 = 0 - 2,19382 = 3,80618,

Por lo tanto:

12,5-2 = antilog 3,80618

Luego, según la tabla y teniendo en cuenta que la característica es 3;

antilog 3,80618 =0,0064

es decir:

12,5-2 = 0,0064

EJEMPLO 4º:

Sea calcular:

Cálculo del logaritmo. Como el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice, se tiene:

Como

log 9814 = 3,99185

resulta:

OBSERVACIÓN. Cuando al efectuar la división, el cociente no resulta exacto, se redondea la quinta cifra de la mantisa.

Cálculo del antilogaritmo. En la tabla figura la mantisa 79837, que corresponde al número 6286. Como la característica es 0 , debe tener una sola cifra entera, es decir: 6,286.

Luego:

En la logaritmación de raíces, cuando el radicando es mayor que 1 como ocurre en el ejercicio anterior, su logaritmo tiene característica positiva o nula y no ofrece ninguna dificultad al dividir por el índice. Pero cuando el radicando es menor que 1, es necesario efectuar la:

División de un logaritmo de característica negativa por un número natural.

EJEMPLO 1º :

Calcular

Como:

log 0,000 66 = - 3,18046 = -4 + 0,81954 = 4,819 54

es:

En este caso particular la división es inmediata, pues la característica negativa 4 es múltiplo del divisor 2, y, en consecuencia, la característica del resultado es: (-4) : 2 =-2. La mantisa positiva del cociente resulta de dividir la mantisa dada por 2. Luego:

EJEMPLO 2º :

Calcular

Se sabe que

Como:

log 0,2847 = -0,54561= -1 + 0,45439 =1,45439

es :

En este caso, no es posible hallar directamente la característica del resultado, pues no existe cociente exacto entre (-1) y 3. El inconveniente desaparece si la característica se transforma en múltiplo del divisor; en este ejemplo, basta agregar (-2) á (-1) para que resulte (-3), que es múltiplo de 3. Luego, la característica del resultado será:

(- 3) : 3= -1

Pero, para que el dividendo no altere, al haber agregado (-2), se debe agregar también (+ 2), y estas dos unidades, con la primera cifra 4 de la mantisa, forman el número 24 décimos que, dividido por 3, da 8; y luego se continúa la división 5: 3 = 1, etc., para abtener las otras cifras de la mantisa del cociente. Resulta así:

En general:

Para dividir un logaritmo de característica negativa por un número natural, cuando la característica no es múltiplo del divisor, se agregan a la característica el menor número de unidades negativas que sea necesario para transformarla en múltiplo del divisor, y, al mismo tiempo, igual número de unidades positivas que se consideran con la mantisa, al efectuar la división.

EJEMPLO:

Calcular

Se sabe que:

A la característica (-3) basta agregarle ( -1), para que se transforme en: (-4), que es múltiplo de 2; luego, la característica (-4): 2 =-2.

La unidad positiva (+ 1) que se agrega para compensar el (-1), forma con la primera cifra 3 de la mantisa, el número 13; luego 13: 2 = 6, etc.

Es decir:

= -1,30989= -2 + 0,69010 = 2,69010

NOTA: Conviene destacar que como se indica en el procedimiento general, el número de unidades negativas que se agregan, es el menor número necesario para transformar la característica en múltiplo del divisor.

Así en el ejemplo:

agregando unidades negativas a la característica 2 se puede transformar en distintos múltiplos del divisor 5, tales como 5; 10; 15; 20, etc. De todos ellos se elige el de menor valor absoluto, que es 5.

Luego a la característica 2, se le agrega 3.

Ejercicios de aplicación :

1º Calcular el antilogaritmo de:

2º Calcular x en las siguientes expresiones:

(Puede ocurrir que los resultados difieran de los que figuran en el texto, en la última cifra significativa por seguir un criterio diferente al redondear las cifras decimales.)

3º Calcular el logaritmo de las siguientes expresiones:

 

 

 

 

 

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