MATEMÁTICAS : Sistemas Numéricos y Grupos

Las matemáticas son una herramienta básica. Algunos usos de las matemáticas se encuentran en todas las tareas navales, desde la simple tarea de contar con propósitos de inventariación hasta las complicadas ecuaciones que aparecen en computación y trabajos de ingeniería. Los pañoleros necesitan del cálculo matemático en su teneduría de libros. Los que hacen control de daños recurren a las matemáticas para computar esfuerzos, centros de gravedad, máximo balanceo permisible. Los principios de la electrónica se hallan establecidos a menudo por medio de fórmulas matemáticas. La navegación y la ingeniería usan también de las matemáticas en gran extensión. A medida que la guerra marítima se torna más y más compleja las matemáticas adquieren mayor importancia en cuanto herramienta esencial.
Desde el punto de vista individual hay muchos incentivos para aprender la materia. Las matemáticas lo equiparán mejor para realizar su trabajo actual. Lo ayudarán a lograr ascensos y los correspondientes aumentos de sueldo. Se ha determinado estadísticamente que uno de los mejores indicadores potenciales del éxito de una persona como oficial naval es su comprensión de las matemáticas.
Este curso de adiestramiento comienza con los hechos básicos de la aritmética y continúa a través de las primeras etapas, del álgebra. En todo momento se intenta hacer comprender por
qué las reglas de las matemáticas son ciertas. Se procede así porque se siente que las reglas resultan más fáciles de aprender y de recordar si se comprenden las ideas que sustentan su desarrollo.
La mayoría de nosotros tenemos zonas de nuestros conocimientos matemáticos que son oscuras, mal comprendidas o equivocadas. Entonces, si bien de primera intención podría parecer que se rebaja su dignidad al leer capítulos de aritmética fundamental, estos conceptos básicos podrían ser justamente los puntos donde residen sus dificultades. Estos capítulos intentan tratar el tema a un nivel adulto que pueda ser interesante e informativo.

CONTAR

La idea de número surge como resultado de comparar una cantidad con otra, es decir, como consecuencia de medir una cantidad, puesto que medir una cantidad es compararla con otra a la que llamamos unidad. Agregando unidades formamos cantidades que representamos por números.

Contar es un proceso tan básico y natural que raramente nos detenemos a pensar en él. El proceso se basa en la idea de la CORRESPONDENCIA UNO A UNO, que se demuestra fácilmente usando los dedos. Cuando los niños cuentan con sus dedos colocan cada uno de ellos en correspondencia uno - a - uno con cada uno de los objetos que se están contando. Siendo pocos los dedos para contar, usamos los números.

NUMERALES

Los numerales son los símbolos de los números. Uno de los sistemas numerales más simples es el ROMANO, en el cual se emplean marcas para representar los objetos contados. Los numerales romanos parecen ser un refinamiento del método de marcas que aún se usa en la actualidad. En este método se hacen pequeñas marcas verticales hasta alcanzar un total de cuatro; cuando se cuenta la quinta marca se traza una marca en diagonal desde la primera hasta la cuarta. El agrupamiento en esta forma, por grupos de cinco, es una reminiscencia del sistema de numeración romano, en el cual los múltiplos de cinco son representados por símbolos especiales.
Un número puede tener muchos "nombres". Por ejemplo, el número 6 puede ser indicado por cualquiera de los siguientes símbolos: 9 - 3, 12/2, 5 + 1 ó 2 X 3. El hecho importante que se ha de recordar es que un número constituye una idea; los diversos símbolos usados para indicar un número son simplemente formas diferentes de expresar la misma idea.

NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

Los números que se emplean para contar en nuestro sistema de numeración se denominan a veces números naturales. Son números enteros positivos o, para usar el término matemático más preciso, ENTEROS. Los números Arábigos de 0 a 9 se llaman dígitos y un entero podrá tener cualquier número de dígitos. Por ejemplo, 5, 32 y 7.049 son todos enteros. El número de dígitos en un entero indica su rango, es decir, si está entre las "centenas", en los "millares", etcétera. La idea de dar un rango a los números en término de decenas, centenas, millares, etcétera, se basa en el concepto del VALOR DE LA POSICIÓN.

VALOR DE LA POSICIÓN

Si bien un sistema como el de numeración romana es adecuado para registrar los resultados de contar, resulta en cambio engorroso para propósitos de cálculo.
Antes que la aritmética se desarrollara tal cual la conocemos en la actualidad fueron necesarios los dos conceptos importantes que siguen, como agregados al proceso de contar:

1. La idea de cero como número.
2. La notación posicional (valor de la posición).

La notación posicional es una forma de código en la cual el valor de cada dígito de un número depende de su posición en relación a los otros dígitos del número. La convención utilizada en nuestro sistema de numeración es que cada digito tiene un valor más alto que aquellos dígitos que se encuentran a la derecha de él.
El valor de la posición que corresponde a determinada posición en un número está determinado por la BASE del sistema de numeración. La base que se usa más comúnmente es diez, y el sistema con diez como base se llama sistema decimal (decem es la palabra latina para diez). Todo número se supone que está en base diez siempre que no se indique otra base. Una excepción a esta regla ocurre cuando el tema de una explicación total es alguna base diferente de diez. Por ejemplo, en la explicación de los números binarios (base dos) de este capítulo todos los números se supone que son binarios siempre que no se indique otra cosa.

BASE DE UN SISTEMA: Es aquel número que indica la cantidad de unidades de un orden cualquiera que se requiere para formar una unidad de un orden inmediato superior. Así, nuestro sistema se llama DECIMAL porque con 10 UNIDADES de un orden cualquiera, se logra formar una unidad de un orden inmediato superior.

FORMACIÓN DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN. PRINCIPIO BÁSICO:  En un sistema de base N, toda cifra escrita un lugar a la izquierda de otra, representa unidades de orden N veces mayor al orden que representa la otra, escrita a la derecha.

Ejemplo:
Sea el número 468 en base N = 10, el 4 es de orden 10 veces mayor que cada unidad de 60 y cada unidad de 6 es de orden 10 veces mayor que cada unidad de 8.

MÉTODO PRÁCTICO PARA DESCOMPONER UN NÚMERO EN SU FORMA POLINÓMICA: "Se toma la primera cifra de la izquierda y se multiplica por la base del sistema elevado a un exponente igual al número de cifras que le siguen a la cifra tomada, a este resultado se le suma el producto de la segunda cifra multiplicada por la base del sistema elevada a un exponente igual al número de cifras que le siguen y así sucesivamente".

CONVENCIÓN: Cuando la base es superior a 10, y los números 10; 11; 12 y 13 sean cifras, se emplea la siguiente equivalencia:

α = 10 ; β = 11 ; γ = 12 ; & = 13

CIFRAS MÍNIMAS: Son todas las cifras menores o iguales a la mitad de la base del número dado.

Ejemplos de cifras mínimas:
De base 4: 0; 1; 2;
De base 7: 0; 1; 2; 3;
De base 10: 0; 1; 2; 3; 4, 5
De base 11: 0; 1; 2; 3, 4; 5
De base 12: 0; 1; 2; 3, 4; 5; 6

Ejemplo:

Escribir el número 67 654₍₈₎ en cifras mínimas. Las cifras mínimas de este número son: 0; 1; 2; 3; 4.

OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS NO DECIMALES

SUMA

Tal como en el sistema decimal, si la suma parcial supera el valor de la base, se escribe el valor numérico de lo que excede a la base y se lleva como unidades tantas veces como excede al valor de la base.

Ejemplo:

lo cual se desarrolló de la siguiente manera:
3 + 6 + 1 = 10
como 10 = 7 + 3; se pone 3 y se lleva 1.
1 + 2 + 6 + 2 = 11
como 11 = 7 + 4 ; se pone 4, se lleva 1.
1 + 4 + 5 + 5 = 15
como 15 = 14 + 1; 15 = 2 . 7 + 1; se pone 1, se lleva 2
2 + 2 = 4

RESTA

El método es similar a la resta en base 10. Cuando la base es otra, se añade como unidad el valor de la base.

Ejemplo:

Desarrollo:

5 - 7 no se puede restar, entonces, en la segunda columna tomamos prestada 1 unidad a 3, lo que nos permite añadir a 5 el valor de la base:

(5 + 8) - 7 = 6

Como a 3 se quitó 1 unidad, ahora es 2, pero 2 - 6 no se puede restar, entonces:
(2 + 8) - 6 = 4
Como a 7 se le había quitado 1 unidad, ahora es 6:
6 - 3 = 3
Ahora no se ha quitado nada.
Finalmente:
4 - 2 = 2

MULTIPLICACIÓN

El procedimiento es similar a la multiplicación en base 10; sólo que lo que se lleva es la unidad de la base de los factores.

Ejemplo:

Desarrollo:
5 . 6 = 30 = 4 . 7 + 2 pongo 2 van 4
5 . 2 + 4 = 14 = 2 . 7 + 0 pongo 0 van 2
5 . 3 + 2 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 2
Finalmente: pongo 2.
6 . 6 = 36 = 5 . 7 + 1 pongo 1 van 5
6 . 2 + 5 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 2
6 . 3 + 2 = 20 = 2 . 7 + 6 pongo 6 van 2
Finalmente: pongo 2
4 . 6 = 24 = 3 . 7 + 3 pongo 3 van 3
4 . 2 + 3 = 11 = 1 . 7 + 4 pongo 4 van 1
4 . 3 + 1 = 13 = 1 . 7 + 6 pongo 6 van 1
Finalmente: pongo 1

Luego, se suma los productos parciales, recordando cómo se suma cuando los sumandos no son de base 10.

DIVISIÓN

Para hacer la división es aconsejable formar una tabla con la base dada, con todos los productos posibles del divisor por el cociente.

Ejemplo:

4 350₍₆₎ ÷ 24₍₆₎

Las cifras del cociente, por ser de base 6, oscilan entre 0 y 5, lo cual se toma en cuenta para formar la tabla:

Tabla de base 6 0 . 24 = 0 1 . 24 = 24 2 . 24 = 52 3 . 24 = 120 4 . 24 = 144 5 . 24 = 212

CAMBIOS DE BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

1° UN NÚMERO DE CUALQUIER BASE PASAR A BASE 10

Regla: Se descompone polinómicamente el número dado. El número que resulta de sumar las unidades simples (u.s.) de este número es el número de base 10.

Ejemplo: Pasar 3 856₍₉₎ a base 10.

Se descompone polinómicamente y se suma:
3 . 9³ + 8 . 9² + 5 . 9 + 6 = 2 886 u. s.
3 856₍₉₎ = 2 886₍₁₀₎ = 2 886

Tenga en cuenta que : Que cuando el número es de base 10 no es necesario señalar la base.

2° UN NÚMERO DE BASE 10 PASAR A OTRO SISTEMA DE BASE "N"

Regla:

Se divide el número dado entre el valor "N" de la base deseada, lo cual arroja un cociente. Este cociente se divide nuevamente entre el valor "N", sucesivamente hasta obtener un último cociente cuyo valor sea menor a la base. Luego, tomando la cifra del último cociente y las cifras de los residuos en el orden del último al primero, queda formado el número de base "N".

Ejemplo:
Pasar 4 975 de base 10 a base 8.

3° DE UN NÚMERO NO DECIMAL A OTRO NO DECIMAL

Regla:
El primero se pasa a base 10 y luego, el nuevo número, a la base pedida.
Ejemplo:
Pasar el número 2 583₍₉₎ a base 5.
A base 10:
2 . 9³ + 5 . 9² + 8 . 9 + 3 = 1 938

SISTEMA DECIMAL

En el sistema decimal la posición de cada digito en un número tiene diez veces el valor de la posición adyacente a él, a la derecha. Por ejemplo, en el número 11, el 1 de la izquierda se dice que está en el lugar de las “decenas” y su valor es diez veces más grande que el 1 de la derecha. El 1 de la derecha se dice que está en el "lugar de las unidades", entendiéndose que el término "unidad" en nuestro sistema se refiere al número 1. Entonces, el número 11 es en realidad un símbolo codificado que significa diez más una unidad". Puesto que diez más uno es once, el símbolo 11 representa el número once.

La figura 1 - 1 muestra los nombres de las diversas posiciones de los dígitos en el sistema decimal. Si aplicamos esta nomenclatura a los dígitos del entero 235, entonces este número significa simbólicamente "dos centenas más tres decenas más cinco unidades y puede expresarse en símbolos matemáticos como sigue:

2 x 10 x 10 + 3 x 10 x 1 + 5 x 1

Observe que esto apoya nuestra primera suposición: cada posición del dígito tiene 10 veces el valor de la posición adyacente a él a la derecha.
El entero 4.372 constituye el símbolo de un número cuyo significado es: "cuatro millares más tres centenas más siete decenas más dos unidades". Expresado en símbolos matemáticos este numero es como sigue:

4 x 1000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 2 x 1

Esta representación puede desmenuzarse más aún para demostrar que cada posición del dígito tiene 10 veces el valor del lugar a su derecha, como se ve a continuación:

4 x 10 x 100 + 3 x 10 x 10 + 7 x 10 x 1 + 2 x 1

El punto que aparece en un símbolo numérico tal como 4.372 se usa para separar los dígitos en grupos de tres, comenzando desde el lado derecho. El primer grupo de tres dígitos sobre la derecha es el de las unidades; el segundo grupo es el de los millares; el tercer grupo es el de los millones, etcétera. Algunos de estos grupos se muestran en la tabla 1 - 1.

Tabla 1-1 - Valor de la posición y agrupamiento.

Refiriéndonos a la tabla 1-1 podemos verificar que 5.432.786 se lee como sigue: "cinco millones, cuatrocientos treinta y dos mil, setecientos ochenta y seis".
Observe que la preposición "y" no es necesaria cuando se leen números de este tipo.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Escribir el símbolo numérico para siete mil doscientos ochenta y uno.
2. Escribir el significado, en palabras, del símbolo 23.469.
3. Si un número está en los millones, ¿cuán tos dígitos debe tener, por lo menos-
4. Si un número posee diez dígitos, ¿a qué grupo numérico (millares, millones, etcétera) pertenece-
Respuestas,
1. 7.281.
2. Veintitrés mil cuatrocientos setenta y nueve,
3. 7.
4. Billones.

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