Las
matemáticas son una herramienta básica. Algunos
usos de las matemáticas se encuentran en todas las
tareas navales, desde la simple tarea de contar con propósitos
de inventariación hasta las complicadas ecuaciones
que aparecen en computación y trabajos de ingeniería.
Los pañoleros necesitan del cálculo matemático
en su teneduría de libros. Los que hacen control de
daños recurren a las matemáticas para computar
esfuerzos, centros de gravedad, máximo balanceo permisible.
Los principios de la electrónica se hallan establecidos
a menudo por medio de fórmulas matemáticas.
La navegación y la ingeniería usan también
de las matemáticas en gran extensión. A medida
que la guerra marítima se torna más y más
compleja las matemáticas adquieren mayor importancia
en cuanto herramienta esencial.
Desde el punto de vista individual hay muchos incentivos para
aprender la materia. Las matemáticas lo equiparán
mejor para realizar su trabajo actual. Lo ayudarán
a lograr ascensos y los correspondientes aumentos de sueldo.
Se ha determinado estadísticamente que uno de los mejores
indicadores potenciales del éxito de una persona como
oficial naval es su comprensión de las matemáticas.
Este curso de adiestramiento comienza con los hechos básicos
de la aritmética y continúa a través
de las primeras etapas, del álgebra. En todo momento
se intenta hacer comprender por
qué las reglas de las matemáticas son ciertas.
Se procede así porque se siente que las reglas resultan
más fáciles de aprender y de recordar si se
comprenden las ideas que sustentan su desarrollo.
La mayoría de nosotros tenemos zonas de nuestros conocimientos
matemáticos que son oscuras, mal comprendidas o equivocadas.
Entonces, si bien de primera intención podría
parecer que se rebaja su dignidad al leer capítulos
de aritmética fundamental, estos conceptos básicos
podrían ser justamente los puntos donde residen sus
dificultades. Estos capítulos intentan tratar el tema
a un nivel adulto que pueda ser interesante e informativo.
CONTAR
Contar
es un proceso tan básico y natural que raramente nos
detenemos a pensar en él. El proceso se basa en la
idea de la CORRESPONDENCIA UNO A UNO, que se demuestra fácilmente
usando los dedos. Cuando los niños cuentan con sus
dedos colocan cada uno de ellos en correspondencia uno - a
- uno con cada uno de los objetos que se están contando.
Siendo pocos los dedos para contar, usamos los números.
NUMERALES
Los numerales
son los símbolos de los números. Uno de los
sistemas numerales más simples es el ROMANO, en el
cual se emplean marcas para representar los objetos contados.
Los numerales romanos parecen ser un refinamiento del método
de marcas que aún se usa en la actualidad. En este
método se hacen pequeñas marcas verticales hasta
alcanzar un total de cuatro; cuando se cuenta la quinta marca
se traza una marca en diagonal desde la primera hasta la cuarta.
El agrupamiento en esta forma, por grupos de cinco, es una
reminiscencia del sistema de numeración romano, en
el cual los múltiplos de cinco son representados por
símbolos especiales.
Un número puede tener muchos "nombres". Por
ejemplo, el número 6 puede ser indicado por cualquiera
de los siguientes símbolos: 9 - 3, 12/2, 5 + 1 ó
2 X 3. El hecho importante que se ha de recordar es que un
número constituye una idea; los diversos símbolos
usados para indicar un número son simplemente formas
diferentes de expresar la misma idea.
NÚMEROS
ENTEROS POSITIVOS
Los números
que se emplean para contar en nuestro sistema de numeración
se denominan a veces números naturales. Son números
enteros positivos o, para usar el término matemático
más preciso, ENTEROS. Los números Arábigos
de 0 a 9 se llaman dígitos y un entero podrá
tener cualquier número de dígitos. Por ejemplo,
5, 32 y 7.049 son todos enteros. El número de dígitos
en un entero indica su rango, es decir, si está entre
las "centenas", en los "millares", etcétera.
La idea de dar un rango a los números en término
de decenas, centenas, millares, etcétera, se basa en
el concepto del VALOR DE LA POSICIÓN.
VALOR
DE LA POSICIÓN
Si bien
un sistema como el de numeración romana es adecuado
para registrar los resultados de contar, resulta en cambio
engorroso para propósitos de cálculo.
Antes que la aritmética se desarrollara tal cual la
conocemos en la actualidad fueron necesarios los dos conceptos
importantes que siguen, como agregados al proceso de contar:
1. La
idea de cero como número.
2. La notación posicional (valor de la posición).
La notación
posicional es una forma de código en la cual el valor
de cada dígito de un número depende de su posición
en relación a los otros dígitos del número.
La convención utilizada en nuestro sistema de numeración
es que cada digito tiene un valor más alto que aquellos
dígitos que se encuentran a la derecha de él.
El valor de la posición que corresponde a determinada
posición en un número está determinado
por la BASE del sistema de numeración. La base que
se usa más comúnmente es diez, y el sistema
con diez como base se llama sistema decimal (decem es la palabra
latina para diez). Todo número se supone que está
en base diez siempre que no se indique otra base. Una excepción
a esta regla ocurre cuando el tema de una explicación
total es alguna base diferente de diez. Por ejemplo, en la
explicación de los números binarios (base dos)
de este capítulo todos los números se supone
que son binarios siempre que no se indique otra cosa.
SISTEMA
DECIMAL
En el
sistema decimal la posición de cada digito en un número
tiene diez veces el valor de la posición adyacente
a él, a la derecha. Por ejemplo, en el número
11, el 1 de la izquierda se dice que está en el lugar
de las “decenas” y su valor es diez veces más
grande que el 1 de la derecha. El 1 de la derecha se dice
que está en el "lugar de las unidades", entendiéndose
que el término "unidad" en nuestro sistema
se refiere al número 1. Entonces, el número
11 es en realidad un símbolo codificado que significa
diez más una unidad". Puesto que diez más
uno es once, el símbolo 11 representa el número
once.
La figura
1 - 1 muestra los nombres de las diversas posiciones de los
dígitos en el sistema decimal. Si aplicamos esta nomenclatura
a los dígitos del entero 235, entonces este número
significa simbólicamente "dos centenas más
tres decenas más cinco unidades y puede expresarse
en símbolos matemáticos como sigue:
2 x 10
x 10 + 3 x 10 x 1 + 5 x 1
Observe
que esto apoya nuestra primera suposición: cada posición
del dígito tiene 10 veces el valor de la posición
adyacente a él a la derecha.
El entero 4.372 constituye el símbolo de un número
cuyo significado es: "cuatro millares más tres
centenas más siete decenas más dos unidades".
Expresado en símbolos matemáticos este numero
es como sigue:
4 x 1000
+ 3 x 100 + 7 x 10 + 2 x 1
Esta
representación puede desmenuzarse más aún
para demostrar que cada posición del dígito
tiene 10 veces el valor del lugar a su derecha, como se ve
a continuación:
4 x 10
x 100 + 3 x 10 x 10 + 7 x 10 x 1 + 2 x 1
El punto
que aparece en un símbolo numérico tal como
4.372 se usa para separar los dígitos en grupos de
tres, comenzando desde el lado derecho. El primer grupo de
tres dígitos sobre la derecha es el de las unidades;
el segundo grupo es el de los millares; el tercer grupo es
el de los millones, etcétera. Algunos de estos grupos
se muestran en la tabla 1 - 1.
Tabla
1-1 - Valor de la posición y agrupamiento.
Refiriéndonos
a la tabla 1-1 podemos verificar que 5.432.786 se lee como
sigue: "cinco millones, cuatrocientos treinta y dos mil,
setecientos ochenta y seis".
Observe que la preposición "y" no es necesaria
cuando se leen números de este tipo.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
1. Escribir el símbolo numérico para siete mil
doscientos ochenta y uno.
2. Escribir el significado, en palabras, del símbolo
23.469.
3. Si un número está en los millones, ¿cuán
tos dígitos debe tener, por lo menos-
4. Si un número posee diez dígitos, ¿a
qué grupo numérico (millares, millones, etcétera)
pertenece-
Respuestas,
1. 7.281.
2. Veintitrés mil cuatrocientos setenta y nueve,
3. 7.
4. Billones.
SISTEMA
BINARIO
El sistema de numeración binaria está construido
de la misma forma que el sistema decimal. Sin embargo, dado
que en este sistema la base es dos, sólo se necesita
el símbolo de dos dígitos para escribir los
números. Estos dígitos son 1 y 0. Para comprender
por qué solamente se necesitan los símbolos
de dos dígitos en el sistema binario haremos algunas
observaciones acerca del sistema decimal y luego generalizaremos
a partir de éste.
Una de las observaciones más sorprendentes respecto
de los sistemas de numeración que utilizan el concepto
del valor de la posición es que no hay un dígito
simple para simbolizar la base. Por ejemplo, en el sistema
decimal el símbolo para diez, la base, es 10. Este
símbolo está formado con los símbolos
de dos dígitos y su significado puede interpretarse
como "una base más ninguna unidad". Observe
las implicaciones de esto cuando están implicadas otras
bases: Todo sistema usa el mismo símbolo para la base
como en 10. Además, el símbolo 10 no se llama
"diez" excepto en el sistema decimal.
Supongamos que se formara un sistema numérico con cinco
como base. Entonces, los únicos símbolos de
los dígitos necesarios serían 0, 1, 2, 3 y 4.
No se necesita un símbolo particular para 5, puesto
que el símbolo 10 en el sistema de base 5 con valor
posicional significa "una vez cinco más ninguna
unidad". En general, en un sistema numérico que
emplee base N el número más grande para el cual
se necesita el símbolo de un dígito particular
es N - 1. Por tanto, cuando la base es dos los únicos
símbolos de dígitos necesarios son 1 y 0.
Un ejemplo de un número binario es el símbolo
101. Podemos descubrir el significado de este símbolo
relacionándolo con el sistema decimal. La figura 1
- 2 muestra que el valor posicional de la posición
de cada dígito en el sistema binario es dos veces el
valor posicional de la posición adyacente a él
a la derecha. Compare esto con la figura 1-1, en la cual la
base es 10 en vez de 2.
Figura
1-2-. Nombres de las posiciones de los dígitos en el
sistema binario.
Colocando
los dígitos del número 101 en los respectivos
lugares en la figura 1-2 encontramos que 101 significa "un
cuatro mas ningún dos más una unidad".
Entonces, 101 es el equivalente binario del decimal 5. Si
deseamos convertir un número decimal, tal como 7, a
su equivalente binario, debemos dividirlo en partes que sean
múltiplos de 2; puesto que 7 es igual a 4 más
2 más 1, decimos que él "contiene"
un 4, un 2 y una unidad. Por consiguiente, el símbolo
binario para el decimal 7 es 111.
El empleo más común del sistema de numeración
binaria es en las computadoras electrónicas digitales.
Todos los datos que alimentan a una típica computadora
digital se convierten a la forma binaria y la computadora
realiza sus cálculos utilizando la aritmética
binaria en vez de la aritmética decimal. Una de las
razones para esto es el hecho de que los equipos eléctricos
y electrónicos utilizan muchos circuitos conmutadores
en los cuales hay solamente dos condiciones operativas: el
circuito "conduce" o "no conduce", y el
sistema numérico de dos dígitos es ideal para
simbolizar tal situación.
PRACTICA DE PROBLEMAS:
1. Escriba los equivalentes decimales de los números
binarios 1101, 1010, 1001 y 1111.
2. Escriba los equivalentes binarios de los números
decimales 12, 7, 14 y 3.
Respuestas.
1. 13, 10, 9, y 15.
2. 1100, 111, 1110 y 11.
GRUPOS
Cualquier estudio serio de las matemáticas lleva al
estudiante a investigar más de un texto y más
de una forma de aproximarse a cada nuevo tópico. En
el momento de escribir este curso se está dando mucho
énfasis en las escuelas publicas a las llamadas matemáticas
modernas. En consecuencia, el estudiante que utilice este
curso es probable que encuentre considerable material, en
sus lecturas paralelas, que emplean las ideas y terminologías
de la "nueva" matemática.
En los párrafos que siguen se presenta una breve introducción
a una parte de la teoría de los grupos de la matemática
moderna. Si bien el resto del presente curso no está
basado en la teoría de los grupos esta breve introducción
ayudará a realizar la transición de los métodos
tradicionales a los más nuevos, experimentales.
DEFINICIONES
Y SIMBOLOS
La palabra "grupo" implica una conexión o
agrupamiento de objetos o símbolos similares. Los objetos
en un grupo tienen por lo menos una característica
en común, tal como la similitud de la apariencia o
de propósitos. Un grupo de herramientas podría
ser un ejemplo de un grupo de objetos no necesariamente similares
en aspecto pero similares en propósitos. Los objetos
o símbolos en un grupo se llaman miembros o ELEMENTOS
del grupo.
Los elementos de un grupo matemático son generalmente
símbolos tales como números, líneas o
puntos. Por ejemplo, los enteros positivos mayores que cero
y menores que 5 forman un grupo como sigue:
{ 1, 2, 3, 4 }
Observe
que las llaves se usan para indicar grupos. Esto frecuentemente
se hace donde los elementos del grupo no son tan numerosos.
Dado que los elementos del grupo {2, 4, 6) son los mismos
que los elementos (4, 2, 6), estos dos grupos se dice que
son iguales. En otras palabras, la igualdad entre grupos no
tiene nada que ver con el orden en el cual los elementos están
dispuestos. Además, no son necesarios los elementos
repetidos. Es decir, los elementos de{2, 2, 3, 4) son simplemente
2, 3 y 4. Por tanto, los grupos (2, 3, 4 } y { 2, 2, 3, 4)
son iguales.
PRÁCTICA,
DE PROBLEMAS:
1. Use los símbolos correctos para designar el grupo
de enteros positivos impares mayores que 0 y menores que 10.
2. Use los símbolos correctos para designar el grupo
de nombres de días de la semana que no contienen la
letra "m"
S. Escriba los elementos del grupo de números naturales
mayores que 15 y menores que 20.
4. Supongamos que tenemos grupos como los siguientes:
A = {1, 2, 3} C = {1, 2, 3, 4}
B = {1,
2, 2, 3} D = {1, 1, 2, 3}
¿Cuáles
de estos grupos son iguales?
Respuestas:
1. { 1, 3, 5, 7, 9}
2. Lunes, jueves, viernes, sábado.
3. 16, 17, 18, y 19
4. A = B = D
SUBGRUPOS.
Puesto que es un inconveniente enumerar los elementos de un
grupo cada vez que se lo menciona, a menudo los grupos se
designan con una letra. Por ejemplo, puede ser que S represente
el grupo de todos los enteros positivos mayores que 0 y menores
que 10. En símbolos, esta relación se establecería
como sigue:
S = {
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Ahora
supongamos que tenemos otro grupo, T, que comprende todos
los pares positivos menores que 10. A este grupo se lo define
como sigue:
T = {
2, 4, 6, 8 }
Observe
qué cada elemento de T es también un elemento
de S. Esto establece la relación del SUBGRUPO; T se
dice que es un subgrupo de S.
ENTEROS POSITIVOS
El grupo más fundamental de números es el de
los enteros positivos. Este grupo comprende los números
que contamos (números naturales) e incluye, como subgrupo,
todos los grupos de números que hemos examinado. El
grupo de números naturales tiene una característica
sobresaliente: es infinito. Esto significa que los elementos
sucesivos del grupo continúan creciendo ilimitadamente
en tamaño, siendo cada número una unidad mayor
que el número que lo precede. Por tanto, no hay un
número "rnayor"; cualquier número
que eligiéramos como el mayor de todos podría
ser aumentado a un número más grande agregándole
simplemente 1.
Una forma de representar simbólicamente el grupo de
los números naturales sería como sigue:
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Los tres
puntos, llamados ELIPSIS , indican que el modelo establecido
por los números continúa sin límites.
En otras palabras, el número siguiente en el grupo
se entiende que es 7, él siguiente es 8, etcétera.
PUNTOS
Y LINEAS
Además
de los muchos grupos que se pueden formar con símbolos
numéricos, frecuentemente encontramos necesario, en
matemáticas, trabajar con grupos compuestos por puntos
o líneas.
Un punto es una idea, más que un objeto tangible, como
lo es un número. La marca que se hace sobre un trozo
de papel constituye simplemente un símbolo que representa
el punto. En términos estrictamente matemáticos,
un punto no tiene dimensiones (tamaño físico)
en absoluto. Entonces, el punto de un lápiz es solamente
una burda imagen de un punto, útil para indicar la
posición de un punto pero que, evidentemente, no debe
confundirse con el ideal.
Supongamos ahora que se colocan un gran número de puntos
lado a lado para formar una "hilera". Representando
este ordenamiento por el dibujo de puntos sobre el papel nos
dará una "línea punteada". Si se colocaran
más entre los puntos anteriores en la hilera, aumentando
el número de éstos hasta que no se pudiera verlos,
tendríamos una burda imagen de una línea. De
nuevo es importante recalcar que la imagen constituye solamente
un símbolo que representa una línea ideal. La
línea ideal no tiene longitud ni ancho ni espesor.
La anterior exposición nos lleva a concluir que una
línea es en realidad un grupo de puntos. El número
de puntos en el grupo es infinito, dado que la línea
se extiende sin límites en ambas direcciones.
La idea de ordenar puntos entre sí para formar una
línea puede extenderse a la formación de planos
(superficies planas). Un plano matemático puede considerarse
como el resultado de colocar un número infinito de
líneas rectas lado a lado, sin espacio entre las líneas.
Entonces, el plano es un grupo de líneas. Otra forma
de definir un plano en términos de grupo es considerar
el plano como el resultado de colocar puntos lado a lado en
todas direcciones. En este caso, el plano es un grupo de puntos
y los puntos comprenden todas las líneas en el plano
formando un subgrupo.
SEGMENTOS
DE LÍNEAS Y RAYAS
Cuando
trazamos una "línea", señalamos sus
extremos A y B y la llamamos "línea AB",
realmente significamos SEGMENTOS DE LÍNEA AB. Un segmento
de línea es un subgrupo del grupo de puntos que comprende
una línea.
Cuando se considera una línea que tiene un punto de
comienzo pero no un punto final (es decir, que se extiende
sin límites en una dirección ) se llama RAYA.
Una raya no es un segmento de línea, porque no termina
en ambos extremos; podría ser apropiado referir la
raya como una "media línea”.
Como en el caso de un segmento de línea, una raya es
un subgrupo del grupo de los puntos que comprende una línea.
Las tres - líneas, segmentos de línea y rayas
- son subgrupos del grupo de puntos que comprenden un plano.
LA RECTA
NUMÉRICA
Entre los muchos sistemas usados para representar un grupo
de números, uno de los más útiles es
la recta numérica. Para ilustrar la construcción
de una recta numérica coloquemos los elementos del
grupo de los números naturales en correspondencia uno
- a - uno con los puntos de una línea. Puesto que los
números naturales están igualmente espaciados,
seleccionamos los puntos tales que las distancias entre ellos
sean iguales. El punto inicial se señala como 0, el
que sigue, 1, el siguiente, 2, etcétera, usando los
números naturales en el orden normal de contar. (Ver
fig. 1 - 3.) A tal disposición frecuentemente se la
denomina escala y un ejemplo familiar lo constituye la escala
del termómetro.
En nuestra exposición no hemos mencionado otros números
que los enteros. La recta numérica es un sistema ideal
para representar las relaciones entre enteros y otros números
tales como las fracciones y los decimales. Es evidente que
sobre la línea existen muchos puntos además
de aquellos que representan los enteros. Ejemplos de ello
son los puntos que representan los números 1/2 (localizado
entre 0 y 1) y 2,5 (localizado entre 2 y 3).
Figra 1-3 . La recta numérica.
Surge
una cuestión interesante relativa a los puntos "dentro"
de la recta numérica: ¿Cuántos puntos
(números) existen entre dos enteros cualesquiera? Para
responder a esta pregunta supongamos que primero localizamos
el punto intermedio entre 0 y 1, que corresponde al número
1/2. Luego localizamos el punto intermedio entre 0 y 1/2,
que corresponde al número 1/4. El resultado de la siguiente
operación de reducir a la mitad será 1/8; el
siguiente, 1/16, etcétera. Si necesitamos más
espacio para continuar con nuestras operaciones de reducir
a la mitad en la recta numérica podemos agrandar nuestra
"imagen" y luego continuar.
Pronto se pone de relieve que el proceso de dividir por la
mitad puede continuar indefinidamente: es decir, sin límites.
En otras palabras: el número de puntos entre 0 y 1
es infinito.
Lo mismo es cierto para cualquier otro intervalo de la recta
numérica. Entonces, entre dos enteros cualesquiera
hay un infinito grupo de números además de los
enteros. Si esto parecería físicamente imposible,
considerando que la punta más aguda del lápiz
tiene algún ancho, recordemos que estamos trabajando
con puntos ideales, que no poseen dimensiones físicas.
Si bien está fuera del propósito de este curso
analizar tópicos tales como los órdenes de infinitud,
es interesante notar que el grupo de los enteros contienen
muchos subgrupos que son asimismo infinitos. No solamente
hay muchos subgrupos de números además de los
enteros infinitos, sino además subgrupos tales como
el grupo de todos los enteros impares y el grupo de todos
los enteros pares. Por intuición vemos que estos dos
subgrupos son infinitos, como sigue: Si seleccionamos un entero
par o impar particular, que suponemos como el más grande
posible, se puede formar de inmediato uno mayor agregándole
simplemente 2.
Quizás el uso más práctico para la recta
numérica es la explicación del significado de
los números negativos. Los números negativos
son examinados en detalle mas adelante en este curso.
Ampliar temas :
- Suma de números naturales. Definiciones y notaciones. Propiedades de la suma. Propiedad uniforme. Propiedad conmutativa. Uso de paréntesis. Ley de monotonía.
- Resta de números naturales. Definición y notación. Transposición de términos en una igualdad. Propiedades de la resta. Minuendo, sustraendo, diferencia. Resta de números concretos, incomplejos y complejos. Ejercicios. Cálculo mental.
- Multiplicación y potenciación de números naturales >> 1
- División. Cociente exacto. Condición de posibilidad. Propiedades fundamentales. Ejemplos. Ejercicios. Cociente del producto por uno de sus factores. Fórmula fundamental entre divisor, dividendo y resto. División de un número concreto complejo por un número natural.
- Ejercicios. Porcentajes. Mitad de números pares e impares, cuarta parte, octava parte, etc. Multiplicación. División. Tanto por ciento de un número. Interés. Suma, resta, producto y cociente de ángulos expresados en grados, minutos y segundos. Reducción de tiempo, expresado en años y fracción decimal de años a meses y días. Problemas resueltos. Ejercicios matemáticos.
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