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Enteros positivos. Métodos de combinación de los enteros.


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ENTEROS POSITIVOS

El propósito del presente capítulo en éste sitio es revisar los métodos de combinación de los enteros. Ya hemos usado un proceso de combinación en nuestra explicación de lo que es contar. Extenderemos la idea de contar, que no es nada más que una adición simple, a fin de desarrollar un método sistemático para sumar números de cualquier magnitud. También aprenderemos el significado de la sustracción, multiplicación y división.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

En la siguiente explicación se supone que el lector conoce las tablas básicas de suma y resta, que representan hechos tales como los siguientes: 2 + 3 = 5, 9 + 8 = 17, 8 - 3 = 5, etcétera.

La operación de suma se indica por un signo más (+), como en 8 + 4 = 12. Los números 8 y 4 son SUMANDOS y la respuesta (12) es su SUMA. La operación de la sustracción se indica por un signo menos (-), como en 9 - 3 = 6. El número 9 es el MINUENDO, 3 es el SUSTRAENDO y la respuesta (6) es la DIFERENCIA.

Agrupamiento.

La suma puede realizarse con los sumandos ordenados en forma horizontal, si ellos son lo suficientemente pequeños y no son numerosos. Sin embargo, el método más común de agrupar los sumandos es colocarlos en columnas verticales. En esta disposición, los dígitos unidades de todos los sumandos se alinean verticalmente, como lo están los dígitos decenas, los dígitos centenas, etcétera. El ejemplo siguiente muestra tres sumandos agrupados correctamente para la adición:

Es costumbre trazar una línea debajo del último sumando y colocar la respuesta debajo de esta línea. Las operaciones de sustracción se ordenan en columnas, de la misma manera que la adición, con una línea al final y la respuesta debajo de esa línea.

TRANSPORTE Y TOMAR PRESTADO

Las operaciones que incluyen varios sumandos con dos o más dígitos cada una por lo general producen sumas en una o más de las columnas que son mayores que 9. Por ejemplo, supongamos que realizamos la siguiente adición:

La respuesta se ha hallado por un proceso que se denomina "transporte". En este proceso los dígitos adicionales que se producen cuando la suma de una columna excede de 9 se transportan a la columna siguiente, a la izquierda, y se los trata como a los sumandos de esta columna. El transporte puede explicarse agrupando los sumandos originales. Por ejemplo, 357 significa en realidad 3 centenas más 5 decenas más 7 unidades. Volviendo a escribir la operación con cada sumando agrupado en término de unidades, decenas, etcétera, tendríamos lo siguiente:

El dígito "extra" en la columna de las unidades de la respuesta representa 1 decena. Reagrupamos la columna de las respuestas de modo que la columna de las unidades no tenga dígitos que representen decenas, la columna de las decenas no posea dígitos que representen centenas, etcétera, como sigue:

Cuando transportamos 10 de la expresión 10 + 4 a la columna de las decenas y lo colocamos con 110 para hacer 120, el resultado es el mismo que si hubiéramos sumado 1 a los dígitos 5,4, y 2 en la columna de las decenas del problema original.

Por eso, el proceso mental de la adición es como sigue: la adición de 7, 5 y 2 en la columna de las unidades de una suma es 14. Escribimos el 4 de abajo, en la columna de las unidades de la respuesta, y transportamos el 1 a la columna de las decenas. Mentalmente sumamos el 1 con los otros dígitos de la columna de las decenas de la respuesta y transportamos el 1 a la columna de las centenas. Mentalmente sumamos el 1 junto con los otros dígitos en la columna de las centenas, obteniendo una suma de 12. Escribimos el 2 debajo en la columna de las centenas de la respuesta y transportamos el 1 a la columna de los millares. Si hubiera otros dígitos en la columna de los millares a los cuales se pudiera sumar 1, el proceso continuaría como antes. Puesto que en la columna de los millares del problema original no hay dígitos, este 1 final no se suma a ningún otro, sino que se escribe simplemente en el lugar de los millares de la respuesta.

El proceso de tomar prestado es el inverso del transporte y se lo emplea en la sustracción. Tomar prestado no es necesario en una operación como 46 - 5 y 58 - 53. En el primer problema el proceso mental sería "6 menos 5 es 1 y bajando el 4 obtenemos la diferencia, 4l". En el segundo problema el proceso mental es "8 menos 3 es 5 y "5 menos 5 es 0" y la respuesta es 5. Más explícitamente, el proceso de la sustracción en estos ejemplos es como sigue:

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Esto ejemplifica que hemos restado unidades de unidades y decenas de decenas.

Ahora consideremos el siguiente problema, donde está implícito el tomar prestado:

Si el estudiante emplea el método de tomar prestado pensará "13 menos 8 es 5 y bajando el 3 obtenemos la diferencia, 35". En este caso, lo que en realidad se ha hecho es lo siguiente:

Se tomó prestado 10 de la columna de las decenas y se lo ha combinado con el 3 en la columna de las unidades a fin de hacer un número suficientemente grande para restarlo de 8. Observe que pidiendo prestado para aumentar el valor del dígito en la columna de las unidades se reduce el valor del dígito, en la columna de las decenas, en 1.

A veces es necesario pedir prestado en más de una columna. Por ejemplo, supongamos que deseamos sustraer 2.345 de 5.234. Agrupando el minuendo y el sustraendo en unidades, decenas y centenas, etcétera, tenemos lo siguiente:

Tomando prestado 10 del 30 en la columna de las decenas reagrupamos como sigue:

La columna de las unidades está ahora lista para la sustracción. Tomando prestado de la columna de las centenas podemos reagrupar de modo que la sustracción sea posible en la columna de las decenas, como sigue:

En el reagrupamiento final pedimos prestado de la columna de los millares para hacer posible la sustracción en la columna de las centenas, con el siguiente resultado:

En la práctica, el pedir prestado y el reagrupamiento se hacen mentalmente. Los números se escriben en la forma normal, como sigue:

Se usa el siguiente proceso mental: tomando prestado de la columna de las decenas, el 4 se transforma en 14. Restando en la columna de las unidades, 14 menos 5 es 9. En la columna de las decenas tenemos ahora 2 en el minuendo, como resultado de la primera operación de tomar prestado. Algunos estudiantes encuentran útil tachar todos los dígitos que son reducidos como resultado de tomar prestado, anotando el dígito del valor inferior siguiente encima del dígito anulado.

Esto se ha hecho en el ejemplo siguiente:

Después de tachar el 3 procedemos a la sustracción, una columna por vez. Tomamos prestado de las columnas de las centenas para cambiar el 2 de las decenas en 12. Sustrayendo en la columna de las decenas, 12 menos cuatro es 8, Procediendo en la misma forma para la columna de las centenas, 11 menos 3 es 8. Por último, en la columna de los millares 4 menos 2 es 2.

 

 

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CÁLCULO MENTAL

Puede usarse el reagrupamiento mental para evitar la necesidad de escribir algunos de los pasos o de volverla escribir en columnas, cuando se suman o restan grupos de números de uno o dos dígitos.

Uno de los métodos más comunes para la suma rápida es el reconocimiento de dígitos cuya suma es 10. Por ejemplo, en el siguiente problema se han señalado con una llave dos "grupos" de 10.

Para sumar esta columna como está agrupada, se diría a sí mismo "7, 17, 22, 32". El pensamiento debe ser como los totales sucesivos que se muestran antes y no pasos engorrosos tales como "7 + 10, 17 + 5, 22, + 10, 32".

Cuando aparecen dígitos sucesivos en una columna y su suma es menor de 10, a menudo es conveniente pensar en ellos como una suma más que separadamente. Entonces, al sumar una columna en la cual la suma de dos dígitos sucesivos es 10 o menos, los agrupamos como sigue:

El proceso mental aquí, sería como se observa en el agrupamiento, "5, 14, 24".

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Sumar las siguientes columnas de arriba hacia abajo como en el ejemplo anterior:

Las respuestas muestran los sucesivos pasos mentales:
1. 2, 12, 22, 23. Respuesta final, 23.
2. 10, 17, 26, 34. Respuesta final, 34.
3. Columna de las unidades: 14, 23, 33, 40. Se escribe 0, se transporta 4.
Columna de las decenas: 12, 20, 30, 35. Respuesta final, 350.
4. Columna de las unidades: 9, 20, 29, 33. Se escribe 3, se transporta 3.
Columna de las decenas: 8, 17, 26, 37. Respuesta final, 373.

SUSTRACCIÓN

En un ejemplo tal como 73 - 46 el método convencional es colocar 46 debajo de 73, restar las unidades de las unidades y las decenas de las decenas y escribir solamente la diferencia sin los pasos intermedios. Para hacer esto, el mejor método es comenzar por la izquierda. Entonces, en el ejemplo 73 - 46 restamos 40 de 73 y luego restamos 6 del resultado. Sin embargo, esto se hace mentalmente y el pensamiento es "73, 33, 27” ó “33, 27”. En el ejemplo 84 - 21 el pensamiento es "64, 63", y en el ejemplo 64 - 39 el pensamiento es "34, 25”.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Sustraer mentalmente y escribir sólo la diferencia:

Respuestas, mostrando los sucesivos pasos mentales:
1. 27, 23. Respuesta final, 23.
2. 39, 31. Respuesta final, 31.
3. 37, 29. Respuesta final, 29.
4. 16, 13. Respuesta final, 13.
5. 42, 41. Respuesta final, 41.
6. 20, 18. Respuesta final, 18.

Efectuar las restas siguientes:

Suma y resta de enteros:

Calcula:

a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8
b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2
c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11
d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14

a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8 = (5 + 1 + 8) – (3 + 7) = 14 – 10 = 4
b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2 = (2 + 4 + 1 + 2) – (3 + 8) = 9 – 11 = –2
c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 = (1 + 5 + 9) – (3 + 7 + 11) = 15 – 21 = –6
d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 = (2 + 4 + 10 + 14) – (6 + 8 + 12) = 30 – 26 = 4

Quita paréntesis:

a) a + (b + c)
b) a – (b + c)
c) a + (b – c)
d) a – (b – c)

a) a + (b + c) = a + b + c
b) a – (b + c) = a – b – c
c) a + (b – c) = a + b – c
d) a – (b – c) = a – b + c

Quita paréntesis y después opera:
a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8)
b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1)
c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8)
d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9)

a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) = 1 – 7 + 2 + 10 – 3 + 8 = (1 + 2 + 10 + 8) – (3 + 7) =
= 21 – 10 = 11
b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1) = 8 – 4 – 3 – 5 + 8 + 1 = (8 + 8 + 1) – (4 + 3 + 5) =
= 17 – 12 = 5
c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) = 3 – 5 – 1 + 4 + 5 – 8 = (3 + 4 + 5) – (5 + 1 + 8) =
= 12 – 14 = –2
d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9) = 3 – 5 + 8 – 11 + 4 + 13 – 9 =
= (3 + 8 + 4 + 13) – (5 + 11 + 9) = 28 – 25 = 3

Calcula operando primero dentro de los paréntesis:

a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6)
b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4)
c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6)

a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) = (–7) + (1) – (– 8) = –7 + 1 + 8 = 2
b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) = (– 8) – (–1) + (15) = –8 + 1 + 15 = 8
c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) = 15 + (–1) – (3) + (– 8) =
= 15 – 1 – 3 – 8 = 3

Quita paréntesis y calcula:

a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)]
b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)])
c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)])

a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] = 3 – [(–3) – (–3)] = 3 – [–3 + 3] = 3
b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) = 1 – (3 – [4 – (–2)]) = 1 – (3 – 6) = 1 + 3 = 4
c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) = 9 – (5 – [6 – 6]) = 9 – 5 = 4

 

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