ENTEROS POSITIVOS
El propósito del presente capítulo en éste
sitio es revisar los métodos de combinación
de los enteros. Ya hemos usado un proceso de combinación
en nuestra explicación de lo que es contar. Extenderemos
la idea de contar, que no es nada más que una adición
simple, a fin de desarrollar un método sistemático
para sumar números de cualquier magnitud. También
aprenderemos el significado de la sustracción, multiplicación
y división.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
En la siguiente explicación se supone que el lector
conoce las tablas básicas de suma y resta, que representan
hechos tales como los siguientes: 2 + 3 = 5, 9 + 8 = 17, 8
- 3 = 5, etcétera.
La operación de suma se indica por un signo más
(+), como en 8 + 4 = 12. Los números 8 y 4 son SUMANDOS
y la respuesta (12) es su SUMA. La operación de la
sustracción se indica por un signo menos (-), como
en 9 - 3 = 6. El número 9 es el MINUENDO, 3 es el SUSTRAENDO
y la respuesta (6) es la DIFERENCIA.
Agrupamiento.
La suma puede realizarse con los sumandos ordenados en forma
horizontal, si ellos son lo suficientemente pequeños
y no son numerosos. Sin embargo, el método más
común de agrupar los sumandos es colocarlos en columnas
verticales. En esta disposición, los dígitos
unidades de todos los sumandos se alinean verticalmente, como
lo están los dígitos decenas, los dígitos
centenas, etcétera. El ejemplo siguiente muestra tres
sumandos agrupados correctamente para la adición:
Es costumbre trazar una línea debajo del último
sumando y colocar la respuesta debajo de esta línea.
Las operaciones de sustracción se ordenan en columnas,
de la misma manera que la adición, con una línea
al final y la respuesta debajo de esa línea.
TRANSPORTE Y TOMAR PRESTADO
Las operaciones que incluyen varios sumandos con dos o más
dígitos cada una por lo general producen sumas en una
o más de las columnas que son mayores que 9. Por ejemplo,
supongamos que realizamos la siguiente adición:
La respuesta se ha hallado por un proceso que se denomina
"transporte". En este proceso los dígitos
adicionales que se producen cuando la suma de una columna
excede de 9 se transportan a la columna siguiente, a la izquierda,
y se los trata como a los sumandos de esta columna. El transporte
puede explicarse agrupando los sumandos originales. Por ejemplo,
357 significa en realidad 3 centenas más 5 decenas
más 7 unidades. Volviendo a escribir la operación
con cada sumando agrupado en término de unidades, decenas,
etcétera, tendríamos lo siguiente:
El dígito "extra" en la columna de las unidades
de la respuesta representa 1 decena. Reagrupamos la columna
de las respuestas de modo que la columna de las unidades no
tenga dígitos que representen decenas, la columna de
las decenas no posea dígitos que representen centenas,
etcétera, como sigue:
Cuando transportamos 10 de la expresión
10 + 4 a la columna de las decenas y lo colocamos con 110
para hacer 120, el resultado es el mismo que si hubiéramos
sumado 1 a los dígitos 5,4, y 2 en la columna de las
decenas del problema original.
Por eso, el proceso mental de la adición
es como sigue: la adición de 7, 5 y 2 en la columna
de las unidades de una suma es 14. Escribimos el 4 de abajo,
en la columna de las unidades de la respuesta, y transportamos
el 1 a la columna de las decenas. Mentalmente sumamos el 1
con los otros dígitos de la columna de las decenas
de la respuesta y transportamos el 1 a la columna de las centenas.
Mentalmente sumamos el 1 junto con los otros dígitos
en la columna de las centenas, obteniendo una suma de 12.
Escribimos el 2 debajo en la columna de las centenas de la
respuesta y transportamos el 1 a la columna de los millares.
Si hubiera otros dígitos en la columna de los millares
a los cuales se pudiera sumar 1, el proceso continuaría
como antes. Puesto que en la columna de los millares del problema
original no hay dígitos, este 1 final no se suma a
ningún otro, sino que se escribe simplemente en el
lugar de los millares de la respuesta.
El proceso de tomar prestado es el inverso
del transporte y se lo emplea en la sustracción. Tomar
prestado no es necesario en una operación como 46 -
5 y 58 - 53. En el primer problema el proceso mental sería
"6 menos 5 es 1 y bajando el 4 obtenemos la diferencia,
4l". En el segundo problema el proceso mental es "8
menos 3 es 5 y "5 menos 5 es 0" y la respuesta es
5. Más explícitamente, el proceso de la sustracción
en estos ejemplos es como sigue:
Esto ejemplifica que hemos restado unidades
de unidades y decenas de decenas.
Ahora consideremos el siguiente problema, donde
está implícito el tomar prestado:
Si el estudiante emplea el método de
tomar prestado pensará "13 menos 8 es 5 y bajando
el 3 obtenemos la diferencia, 35". En este caso, lo que
en realidad se ha hecho es lo siguiente:
Se tomó prestado 10 de la columna de
las decenas y se lo ha combinado con el 3 en la columna de
las unidades a fin de hacer un número suficientemente
grande para restarlo de 8. Observe que pidiendo prestado para
aumentar el valor del dígito en la columna de las unidades
se reduce el valor del dígito, en la columna de las
decenas, en 1.
A veces es necesario pedir prestado en más
de una columna. Por ejemplo, supongamos que deseamos sustraer
2.345 de 5.234. Agrupando el minuendo y el sustraendo en unidades,
decenas y centenas, etcétera, tenemos lo siguiente:
Tomando prestado 10 del 30 en la columna de
las decenas reagrupamos como sigue:
La columna de las unidades está ahora
lista para la sustracción. Tomando prestado de la columna
de las centenas podemos reagrupar de modo que la sustracción
sea posible en la columna de las decenas, como sigue:
En el reagrupamiento final pedimos prestado
de la columna de los millares para hacer posible la sustracción
en la columna de las centenas, con el siguiente resultado:
En la práctica, el pedir prestado y el
reagrupamiento se hacen mentalmente. Los números se
escriben en la forma normal, como sigue:
Se usa el siguiente proceso mental: tomando
prestado de la columna de las decenas, el 4 se transforma
en 14. Restando en la columna de las unidades, 14 menos 5
es 9. En la columna de las decenas tenemos ahora 2 en el minuendo,
como resultado de la primera operación de tomar prestado.
Algunos estudiantes encuentran útil tachar todos los
dígitos que son reducidos como resultado de tomar prestado,
anotando el dígito del valor inferior siguiente encima
del dígito anulado.
Esto se ha hecho en el ejemplo siguiente:
Después de tachar el 3 procedemos a la
sustracción, una columna por vez. Tomamos prestado
de las columnas de las centenas para cambiar el 2 de las decenas
en 12. Sustrayendo en la columna de las decenas, 12 menos
cuatro es 8, Procediendo en la misma forma para la columna
de las centenas, 11 menos 3 es 8. Por último, en la
columna de los millares 4 menos 2 es 2.
NÚMEROS DENOMINADOS
Los números que tienen una unidad de medida asociados
con ellos, tales como el metro, kilowatt, kilogramo, litro,
etcétera, se llaman NÚMEROS DENOMINADOS. La
palabra "denominado" significa que a los números
se les ha dado un nombre; no son símbolos abstractos.
Para sumar números denominados se adicionan todas las
unidades del mismo tipo. De ser posible, se simplifica el
resultado. El siguiente ejemplo ilustra la suma de 6 m 80
cm y 4 m 50 cm:
Puesto que 130 cm es el equivalente de 1 m 30
cm, reagrupamos la respuesta como 11 m 30 cm.
Un problema similar sería sumar 20 grados
44 min 6 seg a 13 grados 22 min 5 seg. Esto se ilustra a continuación:
La respuesta se reagrupa como 34 grados 6 min
11 seg.
Para combinarse, los números deben estar
expresados en unidades de la misma naturaleza. Por ejemplo,
la suma de 6 kilowatts más 1 watt no es ni 7 kilowatts
ni 7 watts. La suma puede ser indicada (en vez de realizar
la operación) a no ser que se use algún método
para escribir estos, números en unidades del mismo
valor.
La sustracción de los números
denominados también incluye la idea de agrupamiento.
Si deseamos sustraer 16 grados 8 minutos 2 seg de 28 grados
4 min 3 seg, por ejemplo, debemos disponerlo de la siguiente
forma:
Para poder sustraer 8 min de 4 min reagruparemos
como sigue:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En los problemas 1 y 2, sumar. En los problemas
3 y 4, sustraer el número menor del mayor:
Respuestas:
CÁLCULO MENTAL
Puede usarse el reagrupamiento mental para evitar la necesidad
de escribir algunos de los pasos o de volverla escribir en
columnas, cuando se suman o restan grupos de números
de uno o dos dígitos.
Uno de los métodos más comunes para la suma
rápida es el reconocimiento de dígitos cuya
suma es 10. Por ejemplo, en el siguiente problema se han señalado
con una llave dos "grupos" de 10.
Para sumar esta columna como está agrupada,
se diría a sí mismo "7, 17, 22, 32".
El pensamiento debe ser como los totales sucesivos que se
muestran antes y no pasos engorrosos tales como "7 +
10, 17 + 5, 22, + 10, 32".
Cuando aparecen dígitos sucesivos en
una columna y su suma es menor de 10, a menudo es conveniente
pensar en ellos como una suma más que separadamente.
Entonces, al sumar una columna en la cual la suma de dos dígitos
sucesivos es 10 o menos, los agrupamos como sigue:
El proceso mental aquí, sería
como se observa en el agrupamiento, "5, 14, 24".
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sumar las siguientes columnas de arriba hacia abajo como
en el ejemplo anterior:
Las respuestas muestran los sucesivos pasos
mentales:
1. 2, 12, 22, 23. Respuesta final, 23.
2. 10, 17, 26, 34. Respuesta final, 34.
3. Columna de las unidades: 14, 23, 33, 40. Se escribe 0,
se transporta 4.
Columna de las decenas: 12, 20, 30, 35. Respuesta final, 350.
4. Columna de las unidades: 9, 20, 29, 33. Se escribe 3, se
transporta 3.
Columna de las decenas: 8, 17, 26, 37. Respuesta final, 373.
SUSTRACCIÓN
En un ejemplo tal como 73 - 46 el método convencional
es colocar 46 debajo de 73, restar las unidades de las unidades
y las decenas de las decenas y escribir solamente la diferencia
sin los pasos intermedios. Para hacer esto, el mejor método
es comenzar por la izquierda. Entonces, en el ejemplo 73 -
46 restamos 40 de 73 y luego restamos 6 del resultado. Sin
embargo, esto se hace mentalmente y el pensamiento es "73,
33, 27” ó “33, 27”. En el ejemplo
84 - 21 el pensamiento es "64, 63", y en el ejemplo
64 - 39 el pensamiento es "34, 25”.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Sustraer mentalmente y escribir sólo la diferencia:
Respuestas, mostrando los sucesivos pasos mentales:
1. 27, 23. Respuesta final, 23.
2. 39, 31. Respuesta final, 31.
3. 37, 29. Respuesta final, 29.
4. 16, 13. Respuesta final, 13.
5. 42, 41. Respuesta final, 41.
6. 20, 18. Respuesta final, 18.
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