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Operaciones con decimales.

 


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OPERACIONES CON DECIMALES

Ver: Adición de decimales. Sustracción. Práctica de problemas. Multiplicación de decimales. Multiplicación de dos decimales.

MULTIPLICACIÓN POR POTENCIAS DE 10

La multiplicación por una potencia de 10 (10, 100, 1.000, etcétera) se hace en forma mecánica, moviendo simplemente la coma decimal a la derecha tantos lugares como ceros haya en el multiplicador. Por ejemplo, 0,00687 se multiplica por 1.000 moviendo la coma decimal tres lugares a la derecha, como ligue:

1.000 x 0,00687 = 6,87

La multiplicación por un número como 0,1, 0,01, 0,001, etcétera, se hace de manera mecánica moviendo simplemente el punto decimal a la izquierda tantos lugares como lugares decimales haya en el multiplicador. Por ejemplo, 348,2 se multiplica por 0,001 moviendo la coma decimal tres lugares a la izquierda, como sigue:

348,2 x 0,001 = 0,3482

División

Cuando el dividendo es un número entero el problema de la división se efectúa como el de convertir una fracción común a un decimal. Así, en el ejemplo 5 : 8 el problema podrá escribirse:

Este mismo problema puede resolverse por el método siguiente, más directo:

Puesto que no todos los decimales producidos por una división terminan tan pronto como en el ejemplo anterior, cuando los hay debería determinarse previamente cuántos lugares decimales se desea transportar al cociente. Si se ha decidido terminar un cociente en el tercer lugar decimal la división deberá efectuarse hasta el cuarto lugar, de modo de poder redondear correctamente en el tercer lugar.

Cuando el dividendo contiene un decimal se aplica el mismo procedimiento que en el caso en que el dividendo es entero. Observe los siguientes ejemplos (redondeados al tercer lugar decimal):

Advierta en cada caso (incluyendo el caso en que el dividendo es entero) que el cociente contiene el mismo número de lugares decimales que el número usado en el dividendo. Note también que los valores de la posición son inamovibles; es decir, los décimos en el cociente son los décimos que aparecen en el dividendo, los centésimos sobre los centésimos, etcétera.

Calcula el cociente exacto:

a) 87 : 12
b) 38,5 : 1,4
c) 3,81 : 1,25
d) 4 : 0,64
e) 85,941 : 16,2
f) 14,5 : 0,464

85,941 : 16,2 = 5,305
14,5 : 0,464 = 31,25

Calcula los cocientes de estas divisiones con dos cifras decimales:

a) 146 : 85
b) 3,2 : 13
c) 71 : 5,17
d) 24,056 : 8,6

Calcula el cociente con un error menor que cinco milésimas:

Si aproximamos el cociente a las centésimas, cometeremos un error menor de cinco milésimas.

a) 18 : 13 ≈ 1,3846153 → 1,38
b) 83,4 : 15,9 ≈ 5,245283 → 5,25
c) 16,6 : 0,42 ≈ 39,523809 → 39,52
d) 4,672 : 0,24 ≈ 19,4666 → 19,47

Completa la tabla y observa:

Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por dos.
Dividir entre 0,25 es lo mismo que multiplicar por cuatro.

Reduce y calcula:

a) 1,6 + 3 · (5,6 – 4,8) = 1,6 + 3 · 0,8 = 1,6 + 2,4 = 4
b) 2,48 – 3,1 · 0,4 + 2,8 · 1,7 = 2,48 – 1,24 + 4,76 = 6
c) 4,3 – 0,2 · (0,7 + 1,2 – 0,4) = 4,3 – 0,2 · 1,5 = 4,3 – 0,3 = 4

Copia y completa:

a) Multiplicar por 0,1 es igual que dividir entre 10.
b) Multiplicar por 0,2 es igual que dividir entre 5.
c) Dividir entre 0,01 es igual que multiplicar por 100.
d) Dividir entre 0,02 es igual que multiplicar por 50.

PRACTICA DE PROBLEMAS:

En los siguientes problemas de división, redondear cada cociente a tres lugares decimales,

DIVISORES DECIMALES. FRACCIONES DECIMALES

Diremos que una fracción se llama fracción decimal, si su denominador se puede expresar como una potencia de 10.

Los siguientes son ejemplos de fracciones decimales:

Recordemos que estas fracciones, también se pueden escribir respectivamente así:

0,3; 0,07 ; 0,0057; 0,00004

Se llama número decimal o racional decimal, a todo número racional equivalente a una fracción decimal.

Los siguientes números racionales son ejemplos de números decimales.

En efecto:

Por otra parte, destaquemos que números racionales como:

no son números decimales, porque no podemos expresarlos como fracciones decimales.

Las fracciones decimales pueden ser:

 

Ver : Números Decimales: Estimación. Precisión. Exactitud. Porcentaje de error. Dígitos representativos. Adición y sustracción.

Notaciones de un número racional

a) Como fracción decimal

Hemos visto que todo número racional decimal se puede expresar como una fracción decimal, veamos otros ejemplos:

Por lo tanto expresar un número racional como fracción decimal, significa encontrar una fracción equivalente cuyó denominador sea una potencia de diez.

b) En notación decimal

Consideremos los siguientes ejemplos:

Una fracción se puede interpretar como una división indicada, siendo así podemos realizar la operación:

Realicemos la división:

Los puntos suspensivos significan que en el cociente se repite indefinidamente el número 32.

Por lo tanto expresar un número racional en notación decimal significa encontrar el cociente de la fracción dada.

Observaciones:

- En números decimales como 8,56, las cifras que están a la izquierda de la coma se les llama parte entera del número y las cifras que están a la derecha de la coma se les llama parte decimal.

- Cuando en una división el residuo es cero, el cociente, se llama número decimal exacto. Tal como los ejemplos 1 y 2.

-Cuando en una división el residuo es diferente de cero y en el cociente hay un cierto grupo de dígitos que se repite indefinidamente en el mismo orden, entonces el cociente se llama número decimal periódico y ese grupo de dígitos que se repite se llama período. En el ejemplo 3 el período es 32.

Las dos últimas observaciones nos.permiten afirmar que:

Todo número racional se puede escribir en notación decimal sea periódico o no periódico.

Otra clasificación :

a) Fracción decimal limitada.

Son las que presentan un número limitado de cifras. A su vez, éstas puede ser:

• Fracción decimal exacta (fde).

Ejemplos:
0,362
0,125
• Fracción decimal periodica pura (fdpp).

• Fracción decimal periódica mixta (fdpm).

b) Fracción decimal ilimitada.

Son las fracciones decimales que presentan un número indefinido de cifras y pueden ser:

• Números irracionales:

Ejemplo: √3 = 1,7320506 …

Números trascendentes :

Ejemplos:
π = 3, 14159265 …
e = 2,71828183 …

Mediante la división encontramos que:

Si el período empieza en las décimas, se dice que el período es simple; en caso contrario se dice que el período es mixto. En el ejemplo 4 el período es simple y en el ejemplo 5 el período es mixto.

Con los ejemplos anteriores, hemos descrito la manera de expresar un número racional en notación decimal; a continuación veremos el proceso contrario; es decir, dado un número en notación decimal, encontraremos la fracción que lo genera.

Cómo identificar si un número racional es número decimal

Observemos los siguientes números racionales:

amplificamos por 25 :

es decir

es un número decimal. Por otra parte notemos que:

40 = 23 X 5

amplificamos por 5:

es decir

es un número decimal.

También notemos que: 200 = 23 X 52

vemos que.

ahora si amplificamos la fracción

por 2 tenemos:

O sea que:

entonces

es un número decimal.

Una vez más notemos que: 50= 2 X 52

De igual manera, podríamos encontrar innumerables ejemplos como los anteriores, este hecho nos permite llegar a la siguiente conclusión:

Un número racional es número decimal si su representante irreducible (o fracción irreducible) tiene como denominador un número cuyos únicos divisores posibles sean 2 ó 5.

Teniendo en cuenta la conclusión anterior, el racional

no es un número decimal porque al descomponer en factores primos el denominador 700 encontramos:

700 = 22 X 52 X 7;

y 32 = 25 ;

y el factor 7 no se puede simplificar, puesto que 32 no es divisible por 7.

 

Ejemplos:

En los ejemplos anteriores en todos los casos el divisor era un entero. La división con divisores decimales puede realizarse transformando el divisor y el dividendo de modo tal que el divisor sea un número entero.

Teniendo en cuenta que toda expresión de división puede escribirse en forma fraccionaría, empleamos la regla fundamental de las fracciones como sigue: Volvemos a escribir el problema de división como una fracción. Multiplicamos el numerador (dividendo) y el denominador (divisor) por 10, 100 o alguna potencia mayor que 10; la potencia de 10 debe ser lo bastante grande para transformar el divisor en un número entero. Esta regla se ilustra como sigue:

Entonces, 2,568 dividido por 0,24 es lo mismo que 256,8 dividido por 24.

Desde el punto de vista mecánico la regla anterior tiene el efecto de mover la coma decimal a la derecha tantos lugares como sea necesario para transformar el dividendo en un entero. Por tanto, la regla se establece a veces como sigue: Cuando el divisor es un decimal, transformarlo en número entero moviendo la coma decimal a la derecha, Equilibrar el cambio en el divisor moviendo la coma decimal en el dividendo un número igual de lugares a la derecha.

El siguiente ejemplo ilustra esta versión de la regla:

La V invertida se emplea como una marca para indicar la nueva posición de la coma decimal. Observe que la coma decimal se coloca en el cociente inmediatamente por encima de la marca en el dividendo. El alineamiento del digito del primer cociente inmediatamente por encima del 1 en el dividendo y el segundo dígito del cociente encima del 9 asegura que estos dígitos están colocados en forma apropiada con respecto a la coma decimal.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

En los siguientes problemas de división, redondear cada cociente a tres lugares decimales:

División por potencias de 10.

La división de cualquier número por 10, 100, 1000, etcétera, es en realidad un ejercicio de correr la coma decimal de una fracción decimal. Así, 5.031 : 100 puede pensarse como la fracción decimal 5031/100; para eliminar el denominador simplemente contamos dos lugares a la derecha. Entonces,

Los tres ejemplos que siguen sirven para una mayor ilustración de este procedimiento:

Si el dividendo ya contiene una parte decimal se comienza contando por el primer número a la izquierda de la coma decimal. Así, 243,6 : 100 = 2,436. Cuando no se indica la coma decimal en un número siempre se considera que está a la derecha del dígito del extremo derecho.

Dividir por 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , etcétera, también puede realizarse por una sencilla regla mecánica. Simplemente comenzamos por la posición de la coma decimal del dividendo y descontamos tantos lugares a la derecha como lugares haya en el divisor. La coma decimal se coloca luego a la derecha del último dígito contado. Si no hay dígitos suficientes se deben agregar ceros.

La regla anterior se basa en que 0,1 es realmente 1/10, 0,01 es 1/100, 0,001 es 1/1000, etcétera. Por ejemplo,

Note que dividir por 0,1 es lo mismo que multiplicar por 10.

Asimismo,

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Opera con la calculadora y aproxima el resultado a las milésimas:

a) 237,4 – 42,28 × 4,769
b) 81,4629 : (51,486 – 42,831)
c) (6,36 × 2,85) : (2,85 × 0,967)
d) (52,09 + 8,156) : (7,921 + 3,28)
a) 237,4 – 42,28 × 4,769 = 237,4 – 201,65332 = 35,76668 → 35,767
b) 81,4629 : (51,486 – 42,831) = 81,4629 : 8,655 = 9,4122357 → 9,412
c) (6,36 × 2,85) : (2,85 × 0,967) = 6,36 : 0,967 = 6,5770423 → 6,577
d) (52,09 + 8,156) : (7,921 + 3,28) = 60,246 : 11,201 = 5,3786269 → 5,379

Dividir por reubicación de la coma decimal.

Estima mentalmente el resultado y, después, comprueba con la calculadora:

a) 5,9704 × 3,0197
b) (2,456 + 3,594) : 2,9705
c) (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79)

a) 5,9704 × 3,0197 ≈ 6 × 3 = 18 5,9704 × 3,0197 = 18,029
b) (2,456 + 3,594) : 2,9705 ≈ 6 : 3 = 2 (2,456 + 3,594) : 2,9705 = 2,037
c) (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79) ≈ (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79) = 5 × 2 = 10 = 10,401

Relación de orden entre racionales decimales

Hemos visto que la relación ≤ ordena totalmente el conjunto Q, de los números racionales, y siendo el conjunto de los números decimales un subconjunto del conjunto Q, entonces podemos comparar números decimales; es decir, si x y z son números decimales, se tiene que: x ≤ z ó z ≤ x.

Ejemplo 1. Comparar 3,48 y 3,507. Expresemos estos números como fracciones decimales:

Ejemplo 2. Comparar 123,4517 y 123,4509. Consideremos que:

 

Ejemplo 3. Comparar 238,56 y 246,85

 

Otra manera de comparar números decimales es:

a) Cuando la parte entera de cada número decimal es igual, basta con comparar sus partes decimales. Compruébese con el ejemplo 2.

b) Cuando las partes enteras son diferentes, basta con comparar dichas partes enteras. Compruébese con el ejemplo 3.

 

 


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