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Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas


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PROGRAMA. - Una ecuación de primer grado con dos incógnitas admite infinitas raíces. Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Método de sustitución. Ejercicios. Método de igualación. Ejercicios. Método de reducción por suma o resta. Ejercicios. Los determinantes de segundo orden: su significado. Aplicación de los determinantes a la resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Regla respectiva. Justificación de la regla de los determinantes. Aplicaciones. Sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. Su resolución.


1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. DEFINICIÓN, - Se dice que una ecuación con dos incógnitas es de primer grado, cuando éstas no figuran en un mismo término y su exponente es el número 1.

Ejemplo:

es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

2, Raíces de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. - DEFINICIÓN, - Se llama raíz de una ecuación de primer grado con dos incógnitas a todo par de valores que, asignados a las incógnitas, satisfacen a la ecuación.

Sea, por, ejemplo, la ecuación 2 x - y = 5

Tratemos de encontrar los pares de valores de x e y que la satisfacen. Para eso, demos valores arbitrarios a x y calculemos los correspondientes de y.

El par x = - 3, y = - 11 es raíz de la ecuación puesto que

2 ( -3 ) - ( -11) = 5

Dando valores arbitrarios a y y calculando en forma análoga a la anterior, los correspondientes de x se obtiene para  cada valor de y un valor de x, siendo esos pares de valores raíces de la ecuación

OBSERVACIÓN. - Dada una ecuación de primer grado con dos incógnitas, como cada una de dichas incógnitas puede tomar infinitos valores, y para cada uno de ellos corresponde un solo valor de la otra, resultando además el par de valores correspondientes raíz de la ecuación dada, se deduce que:
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas admite infinitas raíces.

NOTA.. - En la práctica se escriben las raíces de una ecuación de primer grado con dos incógnitas en la siguiente forma: En una columna los valores de x atribuidos arbitrariamente, en otra los valores correspondientes de y dados por la ecuación que resulta de sustituir x por el valor asignado, y cuidando que queden en la misma línea los valores de las incógnitas que constituyen cada raíz. La determinación del valor de y se hace mentalmente.

Para el ejemplo anterior tendríamos la siguiente tabla de raíces:

3. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. - Dadas dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, como cada una de ellas admite infinitas raíces, cabe preguntarse si entre las infinitas raíces de la primera y las infinitas raíces de la segunda existen algunas comunes. Hagamos la investigación en un caso particular, por ejemplo, en el siguiente par de ecuaciones:

Las tablas de raíces, nos muestran que las ecuaciones dadas tienen la raíz común x = 4, y = 3.
Las ecuaciones que como las dadas tienen raíces comunes, constituyen lo que se llama un sistema de ecuaciones que se define así.

DEFINICIÓN. - Se llama sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, a todo par de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que tengan raíces comunes.

EJEMPLO. - Las ecuaciones 2 x - 6 y = - 10; 4 x + 3 y = 25, del ejemplo anterior, forman un sistema, pues tienen la raíz común x = 4, y = 3.

NOTACIÓN.-   Se indica que dos  ecuaciones forman un sistema escribiéndolas una debajo de otra y poniendo a la izquierda de las mismas una llave.
Así para indicar que las ecuaciones del ejemplo anterior forma un sistema se escribe:

DEFINICIONES. - Si un sistema de ecuaciones con dos incógnitas sólo admite una raíz común, se llama determinado y si admite infinitas raíces comunes, se llama indeterminado.

es determinado, pues sólo admite la  raíz común x = 4, y = 3

es indeterminado, pues cada una de las infinitas raíces de la primera transforma a dicha ecuación en una identidad, la que multiplicada por 5 da otra identidad que será la misma que se obtendría sustituyendo la raíz considerada en la segunda,

Así, por ejemplo, el par  x = 1, y = 6 es raíz de la ecuación [1] puesto que

2 . 1 + 6 = 8

y es también raíz de la [2] puesto que

2 . 5 . 1 + 5 . 6 = 8 . 5

Análogamente se comprobaría que los pares de valores

son raíces del sistema.

OBSERVACIÓN. - Puede suceder, por último, que dos ecuaciones de primer grado con  dos incógnitas no tengan raíces comunes, en cuyo caso no se podría decir que forman un sistema. Sin embargo con el objeto de no hacer excepciones, diremos que tales pares de ecuaciones forman un sistema imposible.

Asi:

es un sistema imposible pues cada una de las infinitas raíces de la primera transforma a dicha ecuación en una identidad luego si multiplicamos al primer miembro de esa identidad por el número 4, y al segundo por otro número 5, no se obtiene otra identidad; que es lo que sucede si se sustituyen a x y a y por sus valores en la segunda ecuación.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Sistema de ecuaciones - Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas - Reglas para resolver sistemas de ecuaciones - Resolución de un sistema por sustitución - Resolución de un sistema por reducción


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