DEFINICIÓN DE SISTEMAS EQUIVALENTES. - Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas raíces.
EJEMPLO. - Formemos un sistema de ecuaciones cuya raíz sea x = 5, y = 2 escribiendo los primeros miembros arbitrariamente y los segundos de modo que tomen los valores que tengan aquellos primeros miembros para x = 5 e y = 2. Así, por ejemplo, tendríamos:
Formemos del mismo modo un nuevo sistema que tenga la misma
raíz x = 5, y = 2, por ejemplo el
Luego los sistemas así formados son equivalentes.
DEFINICIÓN. - Resolver un sistema significa hallar sus raíces comunes.
Por lo tanto para resolver un sistema se puede formar una tabla de raíces de cada una de las ecuaciones que lo forman, y ver cuáles, son las raíces comunes, como se hizo anteriormente. En la práctica no se emplea este procedimiento, pues podría resultar excesivamente largo e inseguro, y se prefiere reemplazar el sistema dado por otros equivalentes hasta llegar a uno que tenga una de las ecuaciones con una sola incógnita.
Hay distintos métodos de resolución de sistemas, entre los que figuran los que tratamos a continuación:
4. Método de sustitución. - Tratemos de resolver el sistema ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
Suponiendo conocido el valor de x en la ecuación [1] y resolviéndola con respecto a y se tiene:
Procediendo de la misma manera, podría calcularse el valor de la otra incógnita, pero en la práctica se procede así.
Se sustituye el valor hallado de la incógnita x en una de las ecuaciones, la [2] por ejemplo, y se tiene
Veamos si el par x = 4, y = 3 es raíz del sistema.
Sustituyendo en las ecuaciones [1] y [2] estos valores se tiene:
1er. ecuación: 2 . 4 - 6 . 3 = - 10 la ecuación [1] se satisface
2da. ecuación 4 . 4 + 3 . 3 = 25 la ecuación [2] se satisface
luego el par x = 4, y = 3 es raíz del sistema dado.
El procedimiento seguido, que es general, nos permite dar la siguiente:
REGLA, - Para hallar la raíz de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, por el MÉTODO DE SUSTITUCIÓN,
1°) Se halla el valor de una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones de dicho sistema, suponiendo conocido el de la otra incógnita.
2°) Se sustituye el valor hallado en la otra ecuación del sistema, obteniéndose así una ecuación de primer grado con una sola incógnita.
3°) Se resuelve la ecuación así obtenida, con lo que queda determinado el valor de la incógnita que se supuso conocer.
4°) Se sustituye el valor hallado en una de las ecuaciones del sistema, obteniéndose así una ecuación de primer grado con una incógnita,
Resolviéndola queda determinado el valor de la otra incógnita del sistema,
5°) Se verifica si el par de valores hallados es raíz del sistema dado.
(*) La práctica enseña en cada caso cual es la incognita que mas conviene despejar. En nuestro caso despejamos x en la segunda ecuación porque ella tiene el coeficiente igual a 1.
5. Método de igualación. - Tratemos de resolver el sistema :
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