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Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas


 

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Procediendo de la misma manera podría calcularse el valor de la otra incógnita, pero en la práctica se procede así:
Se sustituye este valor de x en una de las ecuaciones, la [2], por ejemplo, y se tiene:

Sustituyendo en las ecuaciones [1], y [2] los valores de x e y hallados, se tiene:

lo que nos dice que el par x = 4, y = 3 es raíz del sistema dado.
El procedimiento seguido, que es general, nos permite enunciar la siguiente:

REGLA. - Para hallar la raíz de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, por el MÉTODO DE IGUALACIÓN:

1°) Se halla el valor de una de las incógnitas en cada una de las ecuaciones del sistema, suponiendo conocido el valor de la otra incógnita.
2°) Se igualan los segundos miembros de las expresiones obtenidas con lo que resulta una ecuación de primer grado con una incógnita.
3°) Se resuelve la ecuación así obtenida, con lo que queda determinado el valor de la incógnita que se supuso conocida.
4°) Se sustituye el valor hallado en una de las ecuaciones del sistema, obteniéndose así una ecuación de primer grado con una incógnita. Resolviéndola queda determinado el valor de la otra incógnita del sistema.
5°) Se verifica si el par de valores hallados para las incógnitas es raíz del sistema.

6. Método de reducción por suma o resta - Sea, por ejemplo resolver el sistema:

Tratemos de igualar el valor absoluto de los coeficientes de los términos que contienen a la incógnita x. Para ello se multiplica

ecuación de primer grado con una sola incógnita. Resolviéndola resulta

lo que nos dice que el para x = 4 , y = 3 es raíz del sistema dado.

El procedimiento seguido, que es general, nos permite enunciar la siguiente:
REGLA. - Para hallar la raíz de un sistema de dos ecuaciones  de primer grado con dos incógnitas por el MÉTODO DE REDUCCIÓN:

1°) Se iguala el valor absoluto de los términos que contienen a una misma incógnita en las dos ecuaciones; para lo cual se multiplican ambas por factores convenientes.

2°) Se suman o restan miembro a miembro las ecuaciones así obtenidas, según que los coeficientes tengan distinto o igual signo, respectivamente, obteniéndose así una ecuación de primer grado con una sola incógnita.

3°) Se resuelve esta ecuación, con lo cual queda determinado el valor de una de las incógnitas

4°) Se sustituye el valor hallado en una de las ecuaciones de sistema, obteniéndose así una ecuación de primer grado con una incógnita Resolviéndola queda determinado el valor de la otra incógnita del sistema.

5°) Se verifica si el par de valores hallado para las incógnita es raíz del sistema.

OBSERVACIÓN I. - Cuando en un sistema son iguales los coeficientes de una de las incógnitas, se halla el valor de la otra incógnita sumando o restando, directamente, las ecuaciones dadas y resolviendo la que resulta de tal operación.

1°) Observando que los coeficientes de y son iguales en valor absoluto y de distintos signos, sumando las ecuaciones

y se procede luego como en el caso general.
OBSERVACIÓN II. - Cuando en un sistema el coeficiente de una de las incógnitas de una de las ecuaciones es múltiplo del coeficiente que tiene dicha incógnita en la otra, se igualan los coeficientes respecto de dicha incógnita multiplicando la segunda ecuación por el cociente de dividir el coeficiente múltiplo por el otro.

1°) Observando los coeficientes de x se tiene que, como 6 es múltiplo de 3, bastará, para igualar sus coeficientes, multiplicar a la 2ª ecuación por el cociente de dividir el coeficiente múltiplo por el otro, es decir 6 : 3 = 2.

y se procede luego como en el caso general.
OBSERVACIÓN III. - Cuando en un sistema, los coeficientes de una de sus incógnitas no son primos entre si, se igualan los coeficientes respecto de dicha incógnita, multiplicando dicha ecuación por el cociente de dividir el mínimo común múltiplo de dichos coeficientes por el coeficiente respectivo.

 


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