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Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas


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10. Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas.

DEFINICIÓN. - Se dice que una ecuación con tres incógnitas es de primer grado, cuando dos o más de éstas no figuran en un mismo término y su mayor exponente es la unidad.

es una ecuación de primer grado con tres incógnitas

DEFINICIÓN. - Se llama raíz de una ecuación de primer grado con tres incógnitas, a la terna de valores que asignados a las incógnitas satisfacen a la ecuación.

Sea, por ejemplo, la ecuación

OBSERVACIÓN. - Dada una ecuación de primer grado con tres incógnitas, como cada par de dichas incógnitas puede tomar infinitos valores y para cada uno de ellos corresponde un solo valor de la tercera, resultando además la terna de valores correspondientes raíz do la ecuación dada, se deduce que:

Una ecuación de primer grado con tres incógnitas admite infinitas raíces.

11. Sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. -- DEFINICIÓN. - Se llama sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas a toda terna de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas que tengan raíces comunes.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas, se reemplaza el sistema dado por otros equivalentes, hasta llegar a uno en el cual en dos de sus ecuaciones se hayan eliminado una misma incógnita.

A continuación exponemos uno de los métodos usados para la resolución de sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas.

12. Método de reducción por suma y resta. - Sea, por ejemplo, resolver el sistema

Tratemos de igualar los valores absolutos de los coeficientes de los términos que contienen a una de las incógnitas, la z por ejemplo, en las ecuaciones del sistema dado.

Para ello se multiplica:

Restando miembro a miembro las ecuaciones [1'] y [2'], y sumando en la misma forma las [2'] y [3'] se tiene, respectivamente:

que es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolviéndolo por el método de sustitución, se tiene:

Sustituyendo los valores hallados de x e y en la ecuación [1] se tiene:

Veamos si la terna x = - 1, y = 2, z = - 3 es la raíz del sistema propuesto. Sustituyendo en las ecuaciones [1], [2] y [3] estos valores, se tiene:

luego la terna x = - 1, y= 2, z = - 3 es la  raíz del sistema.
El procedimiento seguido, que es general, nos permite dar la siguiente:

REGLA. - Para hallar la raíz de un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas por el MÉTODO DE REDUCCIÓN:

1°) Se igualan los valores absolutos de los coeficientes de los términos que contienen a una misma incógnita en las tres ecuaciones, para lo cual se multiplica cada una de éstas por factores convenientes.

2°) Se suman o restan miembro a miembro una de las ecuaciones obtenidas con cada una de las otras dos, según que los coeficientes de los términos igualados tengan distinto o igual signo, respectivamente, obteniéndose así un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

3°) Se resuelve el sistema así obtenido, con lo cual quedan determinados los valores del par de incógnitas que se supuso conocer.

4°) Se sustituyen estos valores de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones del sistema, obteniéndose una ecuación de primer grado con una sola incógnita.

5°) Se resuelve la ecuación así obtenida, con lo que queda determinado el valor de la tercera incógnita.

6°) Se verifica si la terna de valores hallados es raíz del sistema dado.

 

 


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