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Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas


 

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13. Resolución de un sistema de tres ecuaciones literales de primer grado con tres incógnitas - Sea resolver el sistema:

Resolviendo este sistema por determinantes, resulta:

Las fórmulas [7] y [8] que dan los valores de x e y, nos muestran que ambas tienen el mismo denominador y que sus numeradores se obtienen sustituyendo en el denominador los coeficientes que en el sistema dado tiene la incógnita que se trata de despejar, por los términos independientes de las ecuaciones de dicho sistema.

Así para obtener el valor de x basta sustituir en el denominador los coeficientes a1, a2 y a3, de las ecuaciones [1], [2] y [3] por d1, d2 y d3 respectivamente, y para obtener el de y sustituir b1, b2 y b3, por d1, d2 y d3 respectivamente.

Por otra parte si se hubiera eliminado en el sistema dado, el valor de y, en lugar del de z, se habría obtenido otro sistema de primer  grado en x y z del cual se hubiera obtenido el mismo valor para x, y para z la fracción.

que se puede obtener directamente escribiendo el denominador común de x e y, y por numerador el que resulta de sustituir c1, c2 y c3 , por d1, d2 y d3 respectivamente.

Sustituyendo los valores hallados de x, y, z dados por las expresiones [7], [8] y [9] en las ecuaciones [1], [2] y [3] del sistema dado, se comprueba que esa terna de valores es raíz del sistema propuesto.

14. Determinantes de tercer orden.- Para recordar las fórmulas anteriores se conviene, en la práctica, representar a una suma algebraica compuesta de seis productos de tres factores cada uno (tales como los términos de dichas fórmulas) por un símbolo, análogo al empleado para representar los términos de las fracciones de primer grado con dos incógnitas .

que se llama determinante de tercer orden.

Recíprocamente, el valor de un determinante de tercer orden puede obtenerse de acuerdo con el convenio llamado:

15. Regla de Sarrus. - El valor de un determinante de tercer orden [I]

es igual a la suma algebraica de los productos que se obtienen repitiendo debajo de la última fila sus dos primeras, sumando los productos de los números que se encuentran sobre las flechas que bajan y restando los productos de los números que se encuentran sobre las flechas que suben [II].

que es el denominador común de las fracciones [7], [8] y [9] que dan los valores de x, y, z.

 

 

 


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