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Factoreo de expresiones algebraicas


 

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Divisibilidad y cocientes notables. Cocientes notables (cn).  Factor común. Ejercicios. Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo. Trinomio cuadrado perfecto. Cuatrinomio cubo perfecto. Diferencia de cuadrados. Suma o diferencia de potencias de igual grado. Combinaciones de los casos anteriores. Funciones enteras primas y compuestas. Definiciones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas enteras. Ejercicios de aplicación.


DIVISIBILIDAD Y COCIENTES NOTABLES

La finalidad es determinar polinomios desconocidos dadas ciertas condiciones.

Principio de divisibilidad

1º Para determinar la suma de los coeficientes de un polinomio, se iguala la variable o variables a 1.

Suma de coeficientes de:

P(x ; y) = P(1 ; 1)

Ejemplo:

P(x, y) = 3x3 - 2x2y - 5xy2 + y3

SP (1 ; 1) = 3(1)3 - 2(1)2(1) - 5(1)(1)2 + (1)3

SP (1 ; 1) = -3

2º El término independientemente se determina haciendo igual a cero la variable a la cual se refiere el polinomio.

Término independiente = P(0)

Ejemplo:

P(x) = 5x3 + 2x2y - 6xy2 - 8y3

Desde el punto de vista de la variable x:

P(0) = 5(0)3+ 2(0)2y - 6(0)y2 - 8y3

P(0) = -8y3

por otra parte, para la variable y:

P(0) = 5x3 + 2x2(0) - 6x(0)2 - 8(0)3

P(0) = 5x3

3º Si un polinomio es divisible separadamente entre dos o más binomios será divisible entre el producto de ellos.

Si: P(x) : (x - a), r = 0

P(x) : (x - b), r = 0

P(x) : (x - c), r = 0

Luego se tendrá:

P(x) ÷ (x - a) (x - b) (x - c), r = 0

4º Viceversa, si un polinomio es divisible entre un producto de varios factores, binomios, será divisibles separadamente por cada uno de ellos.

5º En general, si al dividendo y al divisor se le multiplica por una misma cantidad, el resto queda multiplicado por dicha cantidad.

D . m = d . m . q + r . m

6º Si al dividendo y divisor se divide por una misma cantidad, el resto queda dividido por dicha cantidad.

COCIENTES NOTABLES (CN)

Se denomina cociente notable, aquel cociente que no requiere efectuar operaciones para conocer su resultado, porque obedece a ciertas reglas fijas.

FORMA GENERAL DE LOS COCIENTES NOTABLES

Se denotan en 4 casos:

Regla práctica para desarrollar cualquier cociente notable

1) El primer término del cociente es igual al cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.

2) El último término del cociente es igual al cociente entre el segundo término del dividendo y el segundo término del divisor.

3) A partir del segundo término del cociente el exponente de "x" comienza a disminuir de 1 en 1 hasta "cero".

4) A partir del segundo término del cociente, aparece el segundo término "a" con exponente "1" y comienza a aumentar de 1 en 1 hasta "m - 1".

5) Los signos varián así:

• Cuando el divisor es de la forma "x + a" los signos de los términos del cociente son alternados (+) (-), comenzando con (+).

• Cuando el divisor es de la forma "x - a" los signos de los términos del cociente son todos positivos.

Ejemplo:

Hallar un termino cualquiera “k” de un cociente notable

tK = (signo) xm-K aK-1

Regla para el signo:

1) Cuando el divisor es de la forma (x - a), el signo de cualquier término es positivo.

2) Cuando el divisor es de la forma (x + a), los signos son alternadamente positivos y negativos, empezando por positivo.

Por consiguiente, los terminos de lugar par: son negativos, y los términos de lugar impar: son positivos.

Ejemplo:

Métodos de factorización :

Se llama factoreo algebraico a la operación que tiene por objeto transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros, o de otra manera al procedimiento que permite transformar una suma algebraica en un producto.

Para su estudio se distinguen varios casos de los cuales estudiaremos los siguientes métodos de factorización :

1. ler. CASO. - Factor común.

Sea transformar en producto una expresión del siguiente tipo

am+ bm – cm = ?

Teniendo en cuenta que

(a + b - c)m = am + bm – cm

Por propiedad distributiva de la multiplicación

resulta

Por carácter recíproco de igualdad

Observando que los términos encerrados en el paréntesis, son los cocientes de la división de cada término de la expresión dada por el factor común m, podemos dar la siguiente:

REGLA. - Cuando los términos de un polinomio tienen un factor común, se puede sacar éste fuera de un paréntesis en el que se escribe el cociente de dividir el polinomio por el factor común.

NOTAS. - En la práctica suele colocarse el factor común delante del paréntesis, y eso puede hacerse en virtud de la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Factor común monomio.

Cuando el factor común en todos los términos es un monomio.

Ejemplo:

P(,x y) = 72x2ayb + 48xa+1 yb+1 + 24xay2b

El factor común es 24xayb, de este modo:

P(x, y) = 24xayb (3xa + 2xy + yb)

Factor común polinomio

Cuando el factor común que aparece es un polinomio.

Ejemplo:

Cuando los términos de un polinomio tienen varios factores comunes, se saca fuera del paréntesis el producto de dichos factores, dividiendo el polinomio por dicho producto.

 


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