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Métodos de factorización :

2. 2° CASO. - Descomposición en grupos de igual número de términos y con un factor común. Factor común por agrupación. Sea transformar en producto una expresión del siguiente tipo:

am + bm + an + bn = ?

Como los dos primeros términos de la expresión dada, tienen el factor común m y los dos últimos el n, convendrá entonces agrupar los términos en la siguiente forma:

am + bm + an + bn = (am + bm) + (an + bn)

lo que es posible por la propiedad asociativa de la suma.

Sacando el factor común  en cada grupo se tiene:

am + bm + an + bn = (a +b)m + (a + b)n por el primer caso,

Pero los términos del segundo miembro tienen (a + b) como factor común, luego

por el primer caso.

Observando que en el polinomio dado se formaron grupos de igual número de términos con un factor común para cada grupo, y que al sacar estos factores comunes apareció un nuevo factor común, el procedimiento seguido, que es general, puede enunciarse mediante la siguiente:

Regla.  Si los términos de un polinomio no tienen un factor común, pero en cambio se puede descomponer dicho polinomio en grupos de igual número de términos en los que aparezca un factor común, si sacando estos factores comunes el polinomio que queda dentro de cada paréntesis es el mismo, se lo saca a su vez como factor común.

Ejemplo. Sea:

x^m+n + y^m+n + (xy)^m + (xy)ⁿ

Efectuando operaciones:

x^mxⁿ + y^myⁿ + x^my^m + xⁿyⁿ

agrupando:

(x^mxⁿ +x^my^m) + (y^myⁿ + xⁿyⁿ)

factoricemos cada paréntesis:

x^m(xⁿ +y^m) + yⁿ(y^m +xⁿ)

el factor común es el paréntesis, así:

(xⁿ+ yⁿ) (x^m + yⁿ)

APLICACIONES, - Transformar en producto los polinomios.

OBSERVACIÓN - Si tratáramos de transformar en producto el polinomio

 am - bm + bn – an

aplicando el procedimiento anterior, se tendría

y no puede continuarse la operación porque los polinomios encerrados entre paréntesis no son los mismos.
Pero puede observarse que la diferencia entre ellos sólo consiste en los signos de sus términos, de modo que si en el segundo grupo se saca el factor común con signo contrario, resultan iguales. Es decir, tendríamos:

La regla anterior se completa teniendo en cuenta que:

Cuando después de descomponer un polinomio en grupos de igual número de términos con un  factor común y de sacados estos alguno de los polinomios que queda  dentro de los paréntesis sólo difiere de los restantes en los signos de sus términos, se saca el factor común del grupo en que ello ocurre con signo contrario y se procede como en el caso general.

APLICACIONES. - Transformar el producto en los siguientes polinomios:

3. 3er. CASO. -Trinomio cuadrado perfecto. -DEFINICIÓN. – Se dice que un trinomio es cuadrado perfecto, cuando dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos y el tercer término es el doble del producto de las bases de dichos cuadrados, pudiendo ser positivo o negativo.

Sea transformar en producto un trinomio cuadrado perfecto, es decir, una expresión de los siguientes tipos:

por una propiedad anterior.

Observando que en ambos casos el trinomio ha sido descompuesto en el producto  de dos factores binomios iguales, y que dichos factores son la suma o diferencia de las bases de los términos cuadrados perfectos, según que el tercer término sea positivo o negativo respectivamente, como el procedimiento seguido es general se deduce la siguiente:

REGLA. - Todo trinomio cuadrado perfecto puede descomponerse en el producto de dos factores binomios iguales a la suma o diferencia de las bases de los cuadrados perfectos, según que el tercer término sea positivo o negativo respectivamente.

4. 4to. CASO. - Diferencia de cuadrados . Es necesario no confundir la diferencia de cuadrados con el cuadrado de una diferencia. La diferencia de cuadrados, como toda diferencia, sólo consta de dos términos.

a²- b²

El cuadrado de una diferencia una vez desarrollado, consta de tres términos pues:

(a - b)² = a² – 2ab² + b²

Sea transformar en producto una expresión del siguiente tipo:

Ejemplo:

por el carácter recíproco de la igualdad.

Observando que el segundo miembro de la última igualdad es el producto de dos factores binomios respectivamente iguales a la suma y diferencia de las bases de los cuadrados del primer miembro, se obtiene la siguiente:

REGLA. - Toda  diferencia de cuadrados se puede transformar en un producto de dos factores binomios iguales a la suma y diferencia de las bases de dichos cuadrados, respectivamente.

APLICACIONES. - Transformar en producto:

5. 5to. CASO. - Suma o diferencia de potencias de igual grado. - Sea transformar en producto una expresión del tipo

x^m ± a^m = ?

o sea;

1er. caso.- Transformar en producto la suma de potenicias de igual grado.

x^m + a^m = ?

Recordando que la suma de dos potencias de igual grado, sólo es divisible por la suma de las bases cuando el exponente de las mismas es impar , se tiene que:

En general, si m es impar, resulta

NOTA. - Como x^m + a^m nunca es divisible por la diferencia de sus bases x - a  resulta que la suma dada no se podrá transformar en un producto en el cual x - a sea uno de sus factores.

La observación del ejemplo anterior, que es general, nos permite dar la siguiente:

REGLA. - La suma de dos potencias de igual grado impar, es igual a un producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las bases y el otro el cociente de la expresión dada por el primer factor que es un polinomio completo homogéneo de grado una unidad menor que el dividendo, ordenado en sentido decreciente con  respecto a x y creciente con respecto a a, siendo los signos de sus términos + y – alternadamente.

Ejemplo : Suma o diferencia de cubos :

APLICACIONES. - Transformar en producto las siguientes expresiones :