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Métodos de factorización :

2do. Caso. Transformar en producto la diferencia de potencias de igual grado.

x^m - a^m = ?

Puede ocurrir que: a) m sea par: b) m sea impar.

La observación de estos ejemplos nos permite dar la siguiente

REGLA. -La diferencia de dos potencias de igual grado par puede descomponerse en un producto de dos factores aplicando la regla correspondiente al caso de una diferencia de cuadrados.

b) Si m es impar, recordando que la diferencia de dos potencias de igual grado siempre es divisible por la diferencia de las bases, se tiene:

x^m - a^m  es siempre divisible por  x - a

porque el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente.

En general: si m es impar, resulta

La observación del ejemplo anterior, que es general, nos permite dar la siguiente:

REGLA. - La diferencia de dos potencias de igual grado impar es igual a un producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de las bases, y el otro el cociente de la expresión dada por el primer factor, que es un polinomio completo homogéneo de grado una unidad menor que el dividendo, ordenado en sentido decreciente con respecto a x, y creciente con respecto a a, siendo positivos todos sus términos.

APLICACIÓN. - Transformar en producto la siguiente expresión

6. Combinación de los casos de factoreo. Hay polinomios tales que después dle descomponerlos en factores, aplicando uno de los casos de factoreo, uno de estos factores es susceptible de ser descompuesto a su vez en productos de otros.

Daremos a continuación algunos ejemplos donde puede observarse lo dicho en el párrafo anterior:

Transformar en producto los siguientes polinomios:

FUNCIONES ENTERAS PRIMAS Y COMPUESTAS

Recordemos que se dice que una expresión algebraica racional es entera, cuando ninguna de sus letras figura como denominador o con exponente negativo.

Ejemplos : a-b; b; son expresiones algebaicas enteras.

7. Funciones enteras primas y compuestas. - DEFINICIÓN.  Se llama función o expresión entera prima a la que no puede descomponerse en producto de otras expresiones algebraicas enteras de grado menor, y expresión entera compuesto a la que se puede descomponer en otros factores de menor grado.

NOTA. - Los matemáticos demuestran que son expresiones primas

a + b; a - b; a + b - c + d   y en general

Son primas todas las expresiones de primer grado.

Son también expresiones primas las del tipo:

a² + b² ; a⁴ + b4 ; a² + ab + b²

El binomio de 2º grado a² - b² es una expresión compuesta puesto que a² - b² = (a + b) (a - b) por el 4º caso de factoreo, siendo a + b y a - b de primer grado.

NOTA. - Dada una expresión entera, resulta a veces muy difícil averiguar si no admite una descomposición en producto de otras expresiones algebraicas enteras de grado menor,  pues aunque no sea aplicable ninguno de los casos de factoreo, puede, sin embargo, ser el resultado del producto de otros factores.

Así, por ejemplo, el trinomio

x⁴ + 4x² + 16

que se encuentra en las condiciones anteriores es, sin embargo, el  producto de los trinomios

x² - 2x + 4  y  x² + 2x + 4 o sea

x⁴ + 4x² + 16 = (x² - 2x + 4) (x² + 2x + 4)

Por esta razón sólo daremos ejemplos de expresiones algebraicas que sean descomponibles por algunos de los métodos de factoreo dados anteriormente.