En la explicación de las
fracciones decimales se indicó
que por conveniencia al escribir fracciones cuyos denominadores
son 10 o alguna potencia de 10 puede emplearse la coma decimal
y eliminarse los denominadores. Así, este grupo especial
de fracciones es posible escribirlo en una forma mucho más
simple. Aproximadamente en el siglo xv los comerciantes comenzaron
a usar tanto ciertas fracciones que les dieron una designación
especial: POR CIENTO.
SIGNIFICADO DE POR CIENTO
La expresión "por ciento" deriva del latín.
Era originalmente "per centum", que significa “por
el cien". Así, se establece a menudo que “por
ciento" significa centésimos.
El porcentaje concierne a un grupo de fracciones decimales
cuyos denominadores son 100 -es decir, fracciones de dos lugares
decimales-. Dado el intenso uso del centésimo desapareció
la coma decimal y se colocó el símbolo %, que
se lee "por ciento" (por cien). Entonces, 0,15 y
15 % representan el mismo valor, 15/100. El primero se lee
"quince centésimos" y el segundo se lee "quince
por ciento". Ambos significan 15 partes de 100.
Por lo general, el por ciento se usa para referir valores
relativos. Por ejemplo, 25 por ciento puede conducir a la
idea de valor relativo o relación. El decir "el
25 por ciento de los tripulantes están en tierra"
nos da una idea de qué parte de la tripulación
se ha ido pero no nos dice cuántos. Por ejemplo, 25
por ciento de la tripulación puede representar un número
muy diferente si la operación se refiere a un crucero
o a una lancha. Cuando es necesario usar un por ciento en
cálculo el número se escribe en su forma decimal
para evitar confusiones.
Convirtiendo todas las fracciones decimales de modo que
todas ellas tengan el denominador común 100 se logra
visualizar mentalmente el tamaño relativo de la parte
total que está siendo considerada.
Transformación de decimales a por ciento
Puesto que por ciento significa centésimos, todo
decimal puede cambiarse a por ciento expresándolo primero
como una fracción con 100 en el denominador. El numerador
de la fracción así formada señala cuántos
centésimos tenemos e indica por tanto "cuántos
por cientos". Por ejemplo, 0,36 es lo mismo que 36/100.
En consecuencia, 0,36 expresado como un porcentaje sería
36 por ciento. Por el mismo razonamiento, visto que 0,052
es igual a 5,2/100, 0,052 es lo mismo que 5,2 por ciento.
En la práctica raramente se escribe el paso en el
cual aparece el denominador 100. La expresión en términos
de centésimos se convierte mentalmente a por ciento.
Esto es el resultado de la siguiente regla: Para convertir
un decimal en por ciento se multiplica el decimal por 100
y se le agrega el signo de por ciento (%). Puesto que multiplicar
por cien tiene el efecto de mover la coma decimal dos lugares
a la derecha, la regla se establece a veces como sigue: Para
convertir un decimal a por ciento se corre la coma decimal
dos lugares a la derecha y se agrega el signo de por ciento.
CONVERSIÓN DE FRACCIONES COMUNES Y NÚMEROS
ENTEROS A POR CIENTO
Las fracciones comunes se cambian a por ciento expresándolas
primero como decimales. Por ejemplo, la fracción 1/4
es equivalente al decimal 0,25. Entonces, 1/4 es lo mismo
que 25 por ciento.
Los números enteros se considerarán como tipos
especiales de decimales (por ejemplo, 4 puede considerarse
como 4,00) y luego se expresarán en términos
de porcentaje. El significado de una expresión como
400 por ciento es vago a no ser que tengamos en cuenta que
el porcentaje constituye una forma de comparación.
Por ejemplo, una pregunta que surge a menudo es: "¿cómo
resulta posible tener más del 100 por ciento de algo
si el 100 por ciento es el total?"
Este problema parecería razonable si limitáramos
nuestra atención a cantidades tales como el puntaje
de un examen. Sin embargo, también es razonable emplear
el porcentaje para comparar un grupo de datos comunes con
datos anteriores. Por ejemplo, si la cantidad de energía
eléctrica usada en una nave este año es el doble
de la empleada el año pasado, entonces la energía
que se utilizó este año es el 200 por ciento
de la que se usó el año anterior.
El significado de una frase tal como "200 por ciento
de lo usado el año anterior" con frecuencia se
interpreta mal. Una cantidad total que es el 200 por ciento
de la cantidad previa no es lo mismo que un aumento del 200
por ciento. El aumento es en este caso sólo del 100
por ciento para un total de 200. Si el aumento hubiera sido
del 200 por ciento, entonces el nuevo valor de consumo sería
un 300 por ciento del número anterior.
Los promedios de los bateadores de baseball representan
un caso especial en el que el porcentaje se usa solamente
con referencia ocasional a la palabra "por ciento".
Los porcentajes en los promedios de voleo se expresan en su
forma decimal por el número 1000 representando el 100
por ciento. Si bien un promedio de voleo de 0,300 se refiere
como "voleo 300", esta es una nomenclatura errónea
desde el punto de vista estrictamente matemático. La
afirmación correcta sería matemáticamente,
"voleo cero coma tres cero cero" o "voleo 30
por ciento".
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Convertir a por ciento cada uno de los siguientes números:
Conversión de por ciento a decimal
Puesto que no trabajamos con los números en forma
porcentual, con frecuencia es necesario cambiar un por ciento
a la forma porcentual. El procedimiento es el opuesto de convertir
decimales a por ciento. Para transformar un por ciento en
decimal se saca el símbolo de por ciento y se divide
el número por 100. En forma mecánica, se corre
simplemente la coma decimal dos lugares a la izquierda y se
saca el signo porcentual. Por ejemplo, 25 por ciento es lo
mismo que el decimal 0,25. Los por cientos mayores que el
100 por ciento se transforman en decimales por el mismo procedimiento
que los decimales comunes. Por ejemplo, 125 por ciento es
equivalente a 1,25.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Transformar los siguientes por cientos a decimales:
Los tres casos de porcentaje
Para explicar los casos que surgen en problemas que comprenden
por cientos es preciso definir los términos que serán
utilizados. La razón (r) es el número de centésimas
partes tomado. Éste es el número que antecede
al signo de por ciento. La base (b) es el número entero
sobre el cual opera la razón. El porcentaje (p) es
la parte de la base determinada por la razón. En el
ejemplo:
5 % de 40 = 2
5 % es la razón, 40 es la base y 2 es
el porcentaje.
En general, hay tres casos que surgen al tratar
con porcentajes:
Caso I- Determinar el porcentaje cuando se
conocen la base y la razón.
EJEMPLO: ¿Qué número es el 6 % de 50?
Caso II - Determinar la razón cuando se conocen la
base y el porcentaje.
EJEMPLO: ¿Qué por ciento es 20 de 60?
Caso III - Determinar la base cuando se conocen la razón
y el porcentaje.
EJEMPLO: El número 5 ¿es el 25 % de qué
número?
Caso I
En el ejemplo
6% de 50 = ?
"de" tiene el mismo significado que en ejemplos
de fracciones tales como,
1/4 de 16 = ?
En otras palabras, "de" significa multiplicar.
Entonces, para determinar el porcentaje, multiplicar la base
por la razón. Indudablemente, la razón debe
convertirse de por ciento a decimal antes que pueda realizarse
la multiplicación.
La razón por la base es igual al porcentaje.
Entonces,
6% de 50 = ?
0,06 x 50 = 3
El número que es el 6 % de 50 es 3.
Por cientos fraccionarios. - Un por ciento
fraccionario representa una parte de 1 por ciento. En un caso
como éste a veces es fácil determinar el 1 por
ciento del número y luego hallar la parte fraccionaria.
Por ejemplo, determinaremos 1/4 por ciento de 840 como sigue:
1% de 840 = 0,01 x 840 = 8,40
Por tanto, 1/4 % de 840 = 8,40 x 1/4 = 2,10
Caso II
Para explicar los casos II y III observamos en el ejemplo
anterior que la base corresponde al multiplicando, la razón
corresponde al multiplicador y el porcentaje corresponde al
producto.
| 50 |
(
base o multiplicando) |
| 0,06 |
(razón
o multiplicador ) |
| ---------- |
|
| 3,00 |
(porcentaje
o producto ) |
Teniendo en cuenta que el producto dividido
por uno de sus factores da el otro factor, podemos resolver
el siguiente problema:
?% de 60 = 20
Tenemos la base (60) y el porcentaje (20).
| 60 |
(base) |
| ? |
(razón
) |
| ------ |
|
| 20 |
(porcentaje) |
Dividimos el producto (porcentaje) por el multiplicando (base)
para obtener el otro factor (razón). El porcentaje
dividido por la base es igual a la razón. La razón
se determina como sigue:
La regla para el caso II, según se ilustró
en el problema anterior, es como sigue: Para determinar la
razón cuando se conocen el porcentaje y la base, se
divide el porcentaje por la base, Primero se escribe el cociente
en la forma decimal y por último como un por ciento.
Caso III
EI factor desconocido en el caso III es la base y se conocen
la razón y el porcentaje.
EJEMPLO: 25% de ? = 5
| ? |
(base) |
| 0,25 |
(razón) |
| ------- |
|
| 5,00 |
(porcentaje) |
Dividirnos el producto por su factor conocido para determinar
el otro factor. El porcentaje dividido por la razón
es igual a la base. Entonces,
5/0,25 = 20 ( base)
La regla en el caso III podrá establecerse
como sigue: Para determinar la base cuando se conoce la razón
y el porcentaje, dividimos el porcentaje por la razón.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, determinar primero
a qué caso corresponde; luego, encontrar la respuesta.
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