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Porcentajes y medidas


 

 


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PORCENTAJE Y MEDIDAS

En la explicación de las fracciones decimales se indicó que por conveniencia al escribir fracciones cuyos denominadores son 10 o alguna potencia de 10 puede emplearse la coma decimal y eliminarse los denominadores. Así, este grupo especial de fracciones es posible escribirlo en una forma mucho más simple. Aproximadamente en el siglo xv los comerciantes comenzaron a usar tanto ciertas fracciones que les dieron una designación especial: POR CIENTO.

SIGNIFICADO DE POR CIENTO

La expresión "por ciento" deriva del latín. Era originalmente "per centum", que significa “por el cien". Así, se establece a menudo que “por ciento" significa centésimos.

El porcentaje concierne a un grupo de fracciones decimales cuyos denominadores son 100 -es decir, fracciones de dos lugares decimales-. Dado el intenso uso del centésimo desapareció la coma decimal y se colocó el símbolo %, que se lee "por ciento" (por cien). Entonces, 0,15 y 15 % representan el mismo valor, 15/100. El primero se lee "quince centésimos" y el segundo se lee "quince por ciento". Ambos significan 15 partes de 100.

Por lo general, el por ciento se usa para referir valores relativos. Por ejemplo, 25 por ciento puede conducir a la idea de valor relativo o relación. El decir "el 25 por ciento de los tripulantes están en tierra" nos da una idea de qué parte de la tripulación se ha ido pero no nos dice cuántos. Por ejemplo, 25 por ciento de la tripulación puede representar un número muy diferente si la operación se refiere a un crucero o a una lancha. Cuando es necesario usar un por ciento en cálculo el número se escribe en su forma decimal para evitar confusiones.

Convirtiendo todas las fracciones decimales de modo que todas ellas tengan el denominador común 100 se logra visualizar mentalmente el tamaño relativo de la parte total que está siendo considerada.

Transformación de decimales a por ciento

Puesto que por ciento significa centésimos, todo decimal puede cambiarse a por ciento expresándolo primero como una fracción con 100 en el denominador. El numerador de la fracción así formada señala cuántos centésimos tenemos e indica por tanto "cuántos por cientos". Por ejemplo, 0,36 es lo mismo que 36/100. En consecuencia, 0,36 expresado como un porcentaje sería 36 por ciento. Por el mismo razonamiento, visto que 0,052 es igual a 5,2/100, 0,052 es lo mismo que 5,2 por ciento.

En la práctica raramente se escribe el paso en el cual aparece el denominador 100. La expresión en términos de centésimos se convierte mentalmente a por ciento. Esto es el resultado de la siguiente regla: Para convertir un decimal en por ciento se multiplica el decimal por 100 y se le agrega el signo de por ciento (%). Puesto que multiplicar por cien tiene el efecto de mover la coma decimal dos lugares a la derecha, la regla se establece a veces como sigue: Para convertir un decimal a por ciento se corre la coma decimal dos lugares a la derecha y se agrega el signo de por ciento.

Conversión de fracciones comunes y números enteros a por ciento

Las fracciones comunes se cambian a por ciento expresándolas primero como decimales. Por ejemplo, la fracción 1/4 es equivalente al decimal 0,25. Entonces, 1/4 es lo mismo que 25 por ciento.

Los números enteros se considerarán como tipos especiales de decimales (por ejemplo, 4 puede considerarse como 4,00) y luego se expresarán en términos de porcentaje. El significado de una expresión como 400 por ciento es vago a no ser que tengamos en cuenta que el porcentaje constituye una forma de comparación. Por ejemplo, una pregunta que surge a menudo es: "¿cómo resulta posible tener más del 100 por ciento de algo si el 100 por ciento es el total?"

Este problema parecería razonable si limitáramos nuestra atención a cantidades tales como el puntaje de un examen. Sin embargo, también es razonable emplear el porcentaje para comparar un grupo de datos comunes con datos anteriores. Por ejemplo, si la cantidad de energía eléctrica usada en una nave este año es el doble de la empleada el año pasado, entonces la energía que se utilizó este año es el 200 por ciento de la que se usó el año anterior.

El significado de una frase tal como "200 por ciento de lo usado el año anterior" con frecuencia se interpreta mal. Una cantidad total que es el 200 por ciento de la cantidad previa no es lo mismo que un aumento del 200 por ciento. El aumento es en este caso sólo del 100 por ciento para un total de 200. Si el aumento hubiera sido del 200 por ciento, entonces el nuevo valor de consumo sería un 300 por ciento del número anterior.

Los promedios de los bateadores de baseball representan un caso especial en el que el porcentaje se usa solamente con referencia ocasional a la palabra "por ciento". Los porcentajes en los promedios de voleo se expresan en su forma decimal por el número 1000 representando el 100 por ciento. Si bien un promedio de voleo de 0,300 se refiere como "voleo 300", esta es una nomenclatura errónea desde el punto de vista estrictamente matemático. La afirmación correcta sería matemáticamente, "voleo cero coma tres cero cero" o "voleo 30 por ciento".

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Convertir a por ciento cada uno de los siguientes números:

Conversión de por ciento a decimal

Puesto que no trabajamos con los números en forma porcentual, con frecuencia es necesario cambiar un por ciento a la forma porcentual. El procedimiento es el opuesto de convertir decimales a por ciento. Para transformar un por ciento en decimal se saca el símbolo de por ciento y se divide el número por 100. En forma mecánica, se corre simplemente la coma decimal dos lugares a la izquierda y se saca el signo porcentual. Por ejemplo, 25 por ciento es lo mismo que el decimal 0,25. Los por cientos mayores que el 100 por ciento se transforman en decimales por el mismo procedimiento que los decimales comunes. Por ejemplo, 125 por ciento es equivalente a 1,25.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Transformar los siguientes por cientos a decimales:

Los tres casos de porcentaje

Para explicar los casos que surgen en problemas que comprenden por cientos es preciso definir los términos que serán utilizados. La razón (r) es el número de centésimas partes tomado. Éste es el número que antecede al signo de por ciento. La base (b) es el número entero sobre el cual opera la razón. El porcentaje (p) es la parte de la base determinada por la razón. En el ejemplo:

5 % de 40 = 2

5 % es la razón, 40 es la base y 2 es el porcentaje.

En general, hay tres casos que surgen al tratar con porcentajes:

Caso I- Determinar el porcentaje cuando se conocen la base y la razón.

EJEMPLO: ¿Qué número es el 6 % de 50?

Caso II - Determinar la razón cuando se conocen la base y el porcentaje.

EJEMPLO: ¿Qué por ciento es 20 de 60?

Caso III - Determinar la base cuando se conocen la razón y el porcentaje.

EJEMPLO: El número 5 ¿es el 25 % de qué número?

Caso I

En el ejemplo

6% de 50 = ?

"de" tiene el mismo significado que en ejemplos de fracciones tales como,

1/4 de 16 = ?

En otras palabras, "de" significa multiplicar. Entonces, para determinar el porcentaje, multiplicar la base por la razón. Indudablemente, la razón debe convertirse de por ciento a decimal antes que pueda realizarse la multiplicación.

La razón por la base es igual al porcentaje.

Entonces,

6% de 50 = ?
0,06 x 50 = 3

El número que es el 6 % de 50 es 3.

Por cientos fraccionarios. - Un por ciento fraccionario representa una parte de 1 por ciento. En un caso como éste a veces es fácil determinar el 1 por ciento del número y luego hallar la parte fraccionaria. Por ejemplo, determinaremos 1/4 por ciento de 840 como sigue:

1% de 840 = 0,01 x 840 = 8,40

Por tanto, 1/4 % de 840 = 8,40 x 1/4 = 2,10

Caso II

Para explicar los casos II y III observamos en el ejemplo anterior que la base corresponde al multiplicando, la razón corresponde al multiplicador y el porcentaje corresponde al producto.

50 ( base o multiplicando)
  0,06 (razón o multiplicador )
----------  
3,00 (porcentaje o producto )

Teniendo en cuenta que el producto dividido por uno de sus factores da el otro factor, podemos resolver el siguiente problema:

?% de 60 = 20

Tenemos la base (60) y el porcentaje (20).

60 (base)
? (razón )
------  
20 (porcentaje)

Dividimos el producto (porcentaje) por el multiplicando (base) para obtener el otro factor (razón). El porcentaje dividido por la base es igual a la razón. La razón se determina como sigue:

La regla para el caso II, según se ilustró en el problema anterior, es como sigue: Para determinar la razón cuando se conocen el porcentaje y la base, se divide el porcentaje por la base, Primero se escribe el cociente en la forma decimal y por último como un por ciento.

Caso III

EI factor desconocido en el caso III es la base y se conocen la razón y el porcentaje.

EJEMPLO: 25% de ? = 5

? (base)
0,25 (razón)
-------  
5,00 (porcentaje)

Dividirnos el producto por su factor conocido para determinar el otro factor. El porcentaje dividido por la razón es igual a la base. Entonces,

5/0,25 = 20 ( base)

La regla en el caso III podrá establecerse como sigue: Para determinar la base cuando se conoce la razón y el porcentaje, dividimos el porcentaje por la razón.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
En cada uno de los siguientes problemas, determinar primero a qué caso corresponde; luego, encontrar la respuesta.

 

 


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