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Expresiones Algebraicas Fraccionarias


 

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PROGRAMA:  Definición. Simplificación. Ejercicios. Reducción a común denominador. Ejercicios. Reducción a mínimo común denominador. Ejercicios. Suma de expresiones fraccionarias por reducción a común denominador y por reducción a mínimo común denominador. Resta de expresiones algebraicas fraccionarias por reducción a común y a mínimo común denominador. Multiplicación y división de expresiones fraccionarias. Ejercicios.


En una fracción, como por ejemplo 2/3, el número escrito arriba de la línea de fracción, o sea  el 2, es el dividendo; el dividendo en llamado el numerador de la fracción. El número escrito debajo de la línea, acá el 3, es el divisor y es llamado en denominador de la fracción. Así, la fracción 2/3 indica que 2 será dividido por 3. Similarmente, una fracción algebraica indica la división de una fracción algebraica por otra expresión algebraica. Así, la fracción a/b indica que a será dividido por b. El dividendo o numerador de la fracción es a, y el divisor o denominador de la fracción es b.

En las siguientes fracciones algebraicas, ¿cuáles son los numeradores y cuáles son los denominadores ?

El denominador de una fracción nunca  puede ser cero, porque no es posible dividir por cero. No podemos sustituir cualquier número por las letras en una fracción algebraica que volviera al denominador igual a cero. Por ejemplo, en la fracción,

b no puede ser igual a 2, porque éste volvería al denominador igual a cero. El numerador de una fracción si puede ser cero. Cuando cero es dividido por cualquier número, excepto cero, el cociente será igual a cero.

Puede c igualar a d en la fracción

Si, se puede. Si c=d, entonces el numerador de la fracción será cero, pero el denominador será igual a 2c; por lo tanto, el valor de la fracción será cero.

1. Expresiones algebraicas fraccionarias. Definición. Se llama expresión algebraica fraccionaria o simplemente fracción algebraica, al cociente indicado de dos expresiones algebraicas enteras dadas en un cierto orden.

También: Se denomina fracción algebraica a toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el denominador.

La primera expresión se llama numerador, la segunda denominador y ambas, términos de la fracción.

Los siguientes ejemplos, son fracciones algebraicas :

Nota. El cociente indicado de que se hable en la definición anterior , es el valor numérico del dividendo por el valor numérico del divisor, para cada sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos valores no anulen al denominador, pues en tal caso ese cociente carecería de sentido.

Siendo necesario para el estudio de las fracciones algebraicas daremos la siguiente:

DEFINICIÓN. - Se dice que dos fracciones algebraicas son iguales cuando lo son sus valores numéricos para cualquier sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos sistemas no anulen a sus denominadores.

Ejercicios de comprensión

En los enunciados 1-8 a continuación, reemplace las preguntas con una palabra o número que complete o verifique cada enunciado.

1- En la fracción :

c, no puede ser igual a ...

2- En la fracción,

x no puede ser igual a ...

3- Si a es igual a 2, la fracción

¿Qué valor tiene ?

4- La línea horizontal que es usada para separar las dos partes de una fracción indican la operación de …

5- La expresión sobre la línea de fracción es … de la fracción

6- La expresión debajo de la línea de fracción es … de la fracción

7- El dividendo de una fracción es llamado …

8- El divisor de una fracción es llamado …

9- En cado una de las siguientes igualdades, ¿cómo es obtenida la segunda fracción a partir de la primera?

Soluciones :

CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN

1) CUANDO NO HAY PRODUCTOS INDICADOS

Se puede cambiar dos de sus tres signos y la fracción no se altera.

Ejemplo:

2) CUANDO LA FRACCIÓN TIENE PRODUCTOS INDICADOS

En toda fracción, si se cambia de signo a un número par de factores, la fracción no cambia de signo ; si se cambia de signo a un número impar de factores, la fracción sí cambia de signo.

Ejemplo:

 

2. Simplificación de fracciones algebraicas. – Simplificar una fracción algebraica, significa encontrar otra fracción igual a la dada, cuyos términos sean de grado menor que los de la primera.

En aritmética se enseña que el valor de una fracción no cambia si tanto el denominador como el numerador son multiplicados por el mismo número (excepto cero), o si tanto el numerador como el denominador son divididos por el mismo número (excepto cero), o sea

Esto también es válido en álgebra. Así

Las dos partes de la fracción, el numerador y el denominador son llamados con frecuencia los términos de la fracción. Las fracciones se dice que son reducidas a sus menores términos si el numerador y el denominador son primos entre sí; o sea no tienen factores comunes, excepto 1.

Son fracciones primas.

Siendo las expresiones algebraicas números indeterminados, resulta que una fracción algebraica es una fracción numérica; luego se podrán dividir ambos términos de una fracción por una misma expresión entera, sin que por ello altere. Para simplificar una fracción algebraica bastará, pues, dividir ambos términos de la misma por un factor común, o lo que es lo mismo, suprimir dicho factor común.

Para simplificar fracciones se factoriza.

Ejemplo: Simplificar:

La observación de este ejemplo y la consideración de que en cualquier otro caso se procedería de la misma manera, nos permiten dar la siguiente:

REGLA. - Para simplificar una fracción algebraica, se descomponen  sus términos en sus factores primos y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.

Dicho de otra manera. Para reducir una fracción a sus términos más bajos: factorizar numerador y denominador de la fracción; luego divida el numerador y el denominador por todos los factores comunes a ambos.

Ejemplos ilustrativos : Reducir las fracciones

1- Factorizar la siguiente expresión :

Solución. Dada la fracción :

Factorizando

Dividiendo numerador y denominador por

obtenemos ;

que es la respuesta.

Podríamos obtener este mismo resultado dividiendo el numerador y el denominador por el factor común más alto del numerador y el denominador. Así, factorizando

Dividiendo por

obtenemos ;

que es la respuesta.

2- Reducir la fracción algebraica :

Solución : Factorizando

Dividiendo tanto el numerador como el denominador por x + y

La respuesta es :

2- Reducir la fracción algebraica :

Solución : Factorizando completamente

Dividiendo tanto el numerador como el denominador por x - y; la solución será :

En estos ejemplos al tachar factores idénticos en el numerador y el denominador lo que se hace es simplificar. El proceso en realidad es una división.

Como puede observarse; el numerador y el denominador tiene tienen el  factor común  x4 y3 z2 . Dividiendo numerador y denominador por dicho factor se tiene :

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador .

DEFINICIÓN : Reducir varias fracciones a omún denominador, es encontrar otras fracciones que siendo respectivamente iguales a las dadas tengan el mismo denominador.

Teniendo en cuenta que las fracciones algebraicas son fracciones numéricas , y que por lo tanto se puede multiplicar ambos términos de una de ellas por una misma expresión entera sin que altere, resulta que podrán reducirse las fracciones algebraicas a común denominador siguiendo el mismo procedimiento que para las fracciones numéricas, es decir, aplicando la siguiente:

REGLA. - Para reducir varias fracciones a común denominador se multiplican los términos de cada una de ellas por el producto de los denominadores de todas las otras.

APLICACIONES. - 1) Reducir a común denominador las fracciones

 

A fin de reducir una fracción a su menor expresión, dividimos tanto el numerador como el denominador por la misma cantidad. Esta cantidad debe ser un factor de todo el numerador y todo el denominador. Un error común al reducir fracciones algebraicas a su menor expresión es dividir un miembro de la fracción por una cantidad y hacerlo sólo en una parte en el otro miembro de la fracción por la misma cantidad. Consideremos las siguientes ilustraciones :

CORRECTO

Simplificar un factor en el numerador de una fracción y un factor idéntico en el denominador de la misma fracción es correcto. Estamos dividiendo numerador y denominador por la misma cantidad

INCORRECTO

Aquí no estamos simplificando un factor en el numerador con un factor idéntico en el denominador. Los siguientes ejemplos son incorrectos. Trate de evitar errores como éstos

EJERCICIOS. Reducir Fracciones

Reducir las siguientes fracciones a su menor expresión. Con soluciones

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