PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Veremos a continuación la aplicación de ecuaciones de primer grado por medio de la resolución de problemas. Lo nuevo en esta parte es que a partir del contexto y descripción del problema, se debe plantear la ecuación o ecuaciones, para luego resolverlas.

Es pertinente tener en cuenta para resolver problemas con ecuaciones, los siguientes aspectos, los cuales permitirán obtener resultados claros y verdaderos.

1) Se debe leer bien el contexto del problema hasta que quede completamente entendido. Si es necesario, leerlo las veces que se requieran para comprenderlo.

2) Llevar dicho problema a un lenguaje matemático, a través de símbolos como coeficientes, variables, igualdades, otros; llamado modelación matemática.

3) Si es necesario utilizar gráficos, tablas y otros; como ayuda para la ilustración del problema.

4) Realizar las operaciones necesarias, para obtener el valor de las incógnitas.

5) Identificar la respuesta y hacer su respectiva verificación.

EJERCICIO: ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Ecuaciones de primer grado con una incógnita: problemas

Para resolver problemas de una ecuación con una incógnita, es más pedagógico proponer ejercicios modelos, los cuales nos ilustrarán el proceso.

Ejemplo 1

Escribir en modelación matemática la siguiente situación. El área de un triángulo es la mitad del producto de la longitud de la base y la altura.

Solución: sea A = área del triángulo, b= longitud de la base, h la longitud del triángulo. Finalmente la mitad del producto será 1/2 b h , luego:

Ejemplo 2

Un padre debe repartir su fortuna entre sus dos hijos, la cual es de 100.000, si al hijo mayor le corresponde x cantidad de la fortuna, ¿qué cantidad le corresponde al hijo menor?

Solución: llamemos cantidad de la herencia del hijo menor y, como la del hijo mayor es x, entonces:

y = 100.000 - x, cantidad que le corresponde al hijo menor.

Ejemplo 3

Un carpintero debe cortar una tabla de 6m de largo, en tres tramos. Si cada tramo debe tener 20 cm más que el anterior ¿cuáles serán las longitudes de cada tramo?

Solución: Sea x la longitud del tramo más corto, es obvio que sea así, entonces, el segundo tramo será x + 20, del tercer tramo será x + 40.

Ejemplo 4

Se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es el otro aumentado en 10°. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos no rectángulos de dicho triángulo?

Solución: sea x el ángulo más pequeño, entonces el otro ángulo será:

x + 10°. Por la condición de la suma de ángulos para un triángulo, tenemos

Ejemplo 5

En una molécula de azúcar se encuentran el doble de átomos de hidrógeno que de oxígeno. También tiene un átomo más de carbono que de oxígeno. Si la molécula de azúcar tiene 45 átomos, ¿cuántos átomos de cada elemento tiene dicho sistema?

Solución: sea x los átomos de oxígeno, luego:

átomos de hidrógeno = 2x

átomos de carbono = x + 1, como todo suma 45, entonces:

Ejemplo 6

Un Ingeniero desea desarrollar un equipo hidráulico, que está compuesto por dos cilindros. El primer cilindro está a 120 cm del punto de apoyo y ejerce una fuerza de 500 kg-f. El sistema debe soportar una fuerza de 1.200 kg-f ubicada a 90 cm del punto de apoyo y al lado opuesto de los cilindros. ¿En donde se debe colocar el segundo cilindro para que ejerza una fuerza de 700 kg-f?

EJERCICIOS: PROBLEMAS ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Hacer el planteamiento del problema y resolverlos adecuadamente.

1. La suma de dos números enteros, positivos es igual a 12, uno de ellos es el doble del otro. ¿Cuáles son los números?

Rta: 4 y 8

2. Un voceador reparte el peródico en 1.800 seg; su compañero lo hace en 120 seg, ¿cuánto tardará en entregar el peródico si lo hace simultáneamente?

Rta: 720 seg.

3. Se desea construir un silo para granos en forma de cilindro circular y semiesférico en la parte superior. El diámetro del silo debe ser de 30 pies, ¿cuál será la altura del silo, si la capacidad debe ser de 11.250 π pie³ ?

4. El largo de un campo de baloncesto es 12 metros mayor que su ancho, si el perímetro es de 96 metros, ¿cuáles son las dimensiones del campo?

Rta: largo = 30 metros; ancho= 18metros

5. En un triángulo, el ángulo más pequeño es la mitad del mayor y las dos terceras partes del ángulo intermedio, ¿cuáles serán las medidas de los ángulos?

Rta: menor: 40°, intermedio= 60° y mayor 80°

6. Un fabricante de grabadoras reduce el precio de un modelo en el 15%, si el precio con el descuento es de $125.000, ¿cuál será el precio original del modelo de la grabadora.

Rta: $147.059

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: problemas

Con el desarrollo de ecuaciones de primer grado con una incógnita, se ha adquirido alguna destreza en el planteamiento y resolución de problemas. No olvidemos los 5 pasos que se referencian al inicio de esta sección para resolver ecuaciones.

Para ésta sección, analizaremos problemas donde participan 2 variables en el planteamiento y resolución de problemas diversos, lo que nos indica que debemos plantear 2 ecuaciones con 2 incógnitas, la forma de solución ya se han estudiado en temáticas anteriores.

Ejemplo 1

Una industria tiene dos tipos de equipos para comunicación, el tipo A cuesta $67.000 y el tipo B cuesta $100.000, si fueron vendidos 72 equipos por $5.880.000

¿cuántos equipos de cada tipo fueron vendidos?

Solución: debemos plantear dos ecuaciones, una para cantidad de equipos y otra para costo de los mismos.

Cantidad equipos:

x= equipos tipo A

y= equipo tipo B, luego:

x + y = 72

Costo de equipos: 67.000 x + 100.000y = 5.880.000

tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas, vamos a utilizar reducción:

x + y = 72

67.000 + 100.000y= 5.880.000

multiplicamos la primera ecuación por -100.000 para eliminar y, luego:

- 1000.000 x - 100.000 y = -7.200.000

67.000x + 100.000 y = 5.880.000

operando:

- 33.000x = - 1.320.000

x = - 1.320.000 / - 33.000 = 40

como x =40 corresponde a equipo tipo A.

Para hallar y, reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales:

x + y = 72; ==> y = 72 - x; ==> y = 72- 40 = 32

Respuesta:

Equipos de tipo A vendidos: 40

Equipos de tipo B vendidos: 32

Ejemplo 2

Sea una solución obtenida al mezclar 2 soluciones de 5% y 20%, se quiere obtener 200 ml de la solución con una concentración de 15%, ¿cuántos ml de las soluciones se deben mezclar?

Solución:

x= solución al 5%

y = solución al 20%

ecuación para volumen

x + y = 200

Por consiguiente, se deben mezclar 66,67 ml de solución al 5% y 133,33 ml de solución a 20%.

Ejemplo 3

El costo de arreglo para equipos de computación es de $6.000; su costo unitario es $400. El costo de arreglo para equipos de comunicación es de $8.000; su costo unitario es $300. ¿Cuál será el punto de equilibrio, sabiendo que éste se consigue cuando los costos son equivalentes?

Solución:

c₁ = costo fabricar x equipos computación

c₂ = costo fabricar x equipos comunciación

x = cantidad unidades fabricadas

Entonces; para equipos de computación:

c₁ = 400x + 6.000

para equipos de comunciación:

c₂ = 300x + 8.000

En un circuito en serie, la resistencia total, es la suma de las resistencias componentes. Un circuito en serie está compuesto por dos resistencias R1 y R2 , la resistencia total es de 1.375 ohmios, para suministrar el voltaje requerido, R1 debe tener 125 ohmios más que R2 . ¿Cuál será el valor de las resistencias?

Solución:

Sea R1 + R2 = 1.375 ohmios, por otro lado

R1 = R2 +125 ohmios, luego ordenando, tenemos dos ecuaciones, en dos incógnitas.

R1 + R2 = 1.375.

R1 - R2 = 125

resolvermos por sustitución, como: R1 + R2 =1.375 y además R1 = R2 +125 ; reemplazamos R1 en la primera ecuación, luego:

EJERCICIOS: PROBLEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES

Leer cuidadosamente los problemas propuestos y resolverlos haciendo los pasos necesarios en la resolución de los mismos.

1. Un ángulo mide 46° más que su complementario, ¿cuál será la medida de los ángulos?

Rta: 22° y 68°

2. Si en una distribuidora de dulces, 4 paquetes de dulce y 4 paquetes de galletas valen $7.00, dos paquetes de galletas cuestan $20 más que un paquete de dulces. ¿Cuánto cuestan un paquete de galletas y un paquete de dulces?

Rta: Galletas = $665

Dulces$1.310

3. Un automóvil recorre 50 km en el mismo tiempo que un avión viaja 180 km. la velocidad del avión es de 143 k/hr más que la del automóvil. ¿Cuál será la velocidad del automóvil?

Rta: 55 km/hr

4. El perímetro de un rectángulo es de 16 metros, su área es de 15m². ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Rta: Largo = 5 mts.

Ancho= 3 mts.

5. Para entrar a una función de teatro se tienen dos tipos de entradas. el preferencial vale $4.500 y el popular vale $3.00, si se vendieron 450 boletas, para un recaudo de $1.819.500. ¿Cuántas boletas de cada clase se vendieron?

Rta: Preferencia= 313

Popular= 137

6. Se desea preparar 200 litros de ácido nítrico al 34%; a partir de dos soluciones de 28% y 36% de concentración de ácido. ¿Cuáles deberán ser la cantidades de ácido a utilizar de cada uno; para obtener la solución?

Rta: Solución al 28%= 50 lt

Solución al 36% = 150 lt

Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas: problemas

El método de solución de ecuaciones de este tipo es similar a los casos anteriores, algunos ejemplos nos ilustrarán dicha situación.

Ejemplo 1

La suma de tres números es 4. El primero más dos veces el segundo más el tercero es 1. Por otro lado, tres veces el primero más el segundo, menos el tercero es -2. ¿Cuáles son los números?

Observación: para resolver problemas con ecuaciones del tipo que estamos estudiando, la mayor dificultad están en plantear las ecuaciones, ya que conocidas éstas, la solución ha sido ampliamente analizada.

Ejemplo 2

El ángulo más grande de un rectángulo es 70° mayor que el ángulo más pequeño y el ángulo restante es 10° más grande que tres veces el ángulo más pequeño.¿Cuáles son las medidas de los ángulos?

Solución:

x = ángulo más pequeño

y = ángulo intermedio

z = ángulo mayor

Las condiciones:

x + y + z  = 180 (1) ¿por qué?

x         -z = -70 (2) ¿por qué?

3x - y     = -10 (3) ¿por qué?

cada ecuación tiene su justificación, usted debe buscarla y analizarla. Eliminamos y en las ecuaciones originales, obtenemos:

x - z = -70 (4)

4x +z = 170 (5)

Por favor hacer el procedimiento que permitió obtener las ecuaciones (4) y (5). Resolviendo (4) y (5): x = 20 y z=90, verificar estos resultados, finalmente y = 70.

respuesta: los ángulos son 20°, 70° y 90°.

EJERCICIO: PROBLEMAS ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

Resolver aplicando los principios estudiados sobre ecuaciones lineales, los siguientes problemas.

1. Un Biólogo desea probar un fertilizante a partir de tres clases existentes, referenciados F1, F2, F3 , cuyo contenido de nitrógeno es 30%, 20% y 15%, respectivamente. El Biólogo quiere trabajar con 600 kg de mezcla con un contenido de nitrógeno del 25%. La mezcla debe contener 100 kg más de F3 que da F2 . ¿Cuánto requiere el Biólogo de cada tipo de fertilizante?

Rta: F1=380 kg, F2 = 60 kg , F3 = 160kg

2. Determinar la parábola y = ax² + bx + c , que pasa por los puntos P1(1,2), P2 (-2,-7), P3 (2,-3).

Rta: y = -2x² + x + 3

3. En la caja de un banco hay $880 en billetes de $5, $10 y $50. La cantidad de billetes de $10 es el doble de la de $50, si hay en total 44 billetes. ¿Cuántos billetes de cada denominación tiene la caja del banco?

Rta: de $5 = 8 billetes ; de $10 = 24 billetes; de $50= 12 billetes

4. Para tres grupos de investigación, hay $1.360.000. La cantidad de científicos en total es 100. Cada científico del primer grupo recibió $20.000 millones, del segundo grupo; cada científico recibió $8.000 millones y del tercer grupo; cada científico recibió $10.000 millones. Los científicos del primer grupo recibió 5 veces más fondos que el segundo grupo. ¿Cuántos científicos hay en cada grupo de investigación?

Rta: del primer grupo = 40; del segundo grupo = 20; del tercer grupo= 40