CURSO DE MATEMÁTICAS

Principios de mediciones.

Los cálculos con decimales implican a menudo la adición o sustracción de números que no poseen la misma cantidad de lugares decimales. Por ejemplo, podríamos tener que sumar números tales como 4,1 y 32,31582. ¿Cómo se debería sumarlos? ¿Habría que agregar ceros a 4,1 hasta que fuera del mismo orden que el otro decimal (el mismo número de lugares)? ¿O debería redondearse a las decenas a 0,31582? ¿Se intenta precisar la suma a los décimos o a los cien milésimos? Las respuestas a estas preguntas dependen de cómo surgen los números originales.

Algunos decimales son finitos o se les considera tales debido a su empleo. Por ejemplo, el decimal que representa 1/2, que es 0,5, es tan exacto a 0,5 como lo es a 0,5000. De la misma forma, el decimal que representa a 1/8 tiene el valor 0,125 y podría escribirse con la misma precisión con ceros adicionales al final. Tales números se dice que son finitos. Los números que se cuentan son finitos, Los pesos y los centavos constituyen ejemplos de valores finitos. Así, $ 10,25 y $ 5,00 son valores finitos.

Para sumar los decimales que representan 1/8 y 1/2 nos es necesario redondear 0,125 a décimos. Entonces, 0,5 + 0,125 se suman como sigue:

Observe que se agregaron los ceros finales a 0,5 para tener el mismo número de lugares que 0,125. No es preciso escribir estos ceros para llenar los espacios si los números se mantienen en las columnas correctas y si quedan alineadas las comas decimales. Los decimales que poseen un valor definido pueden sumarse o restarse aunque sean de orden diferente.

Por otro lado, si los números resultan de mediciones de algún tipo, entonces la cuestión de cuánto debe redondearse hay que decidirla en términos de precisión y exactitud de las mediciones.

Estimación

Supongamos que han de sumarse dos números resultantes de mediciones. Digamos que uno de los números se midió con una regla marcada en milímetros y se determiné, aproximando al milímetro, que mide 2,3 cm. El otro número, medido con una regla de precisión, es 1,45 cm, acercando al medio milímetro.

Cada uno de estos números requiere una estimación entre las marcas de la regla y la estimación entre marcas de cualquier instrumento de medida está sujeta a error humano. La experiencia ha demostrado que lo mejor que puede hacer una persona media es decidir cuándo una medida es más o menos que la mitad entre marcas. La forma adecuada de establecer este hecho correctamente es diciendo que una medida que se realiza con un instrumento marcado en milímetros implica un error máximo probable de 0,05 cm (cinco centésimos es la mitad de un décimo). Por el mismo razonamiento, el error probable en una medición efectuada con un instrumento graduado en medios milímetros es de 0,025 cm.

Precisión

En general, el error probable en cualquier medición es la mitad de la división más pequeña del instrumento de medida. De modo que la precisión de la medición depende de la precisión con que está graduado el instrumento. Es importante tener en cuenta que la precisión se refiere al tamaño de la división más pequeña de la escala; no tiene nada que ver con la exactitud (corrección) de las graduaciones. En otras palabras, decir que un instrumento es más preciso que otro no implica que el instrumento menos preciso está mal fabricado. En efecto, es posible disponer de un instrumento con una precisión aparente muy elevada, pero si ha sido calibrado con poco cuidado las medidas que se tomen con él resultarán imprecisas.

Desde el punto de vista matemático, la precisión de un número resultante de mediciones depende de la cantidad de, lugares decimales; o sea que un gran número de lugares decimales significa un error probable más pequeño. En 2,3 cm el error probable es 0,05 cm, ya que está en realidad entre 2,5 y 2,35. En 1,45 hay un error probable mucho más pequeño, de 0,025 cm. Si sumamos 2,3 + 1,45 y obtenemos la respuesta en centésimos, la respuesta 3,75 estaría dada con una precisión de centésimos; pero esto no es cierto, puesto que hay un error probable de 0,05 en uno de los sumandos. Además, 2,30 parecería ajustado al milésimo, pero en este ejemplo su precisión es sólo de décimos.

Resulta evidente que la precisión de una suma no es mayor que la del sumando menos exacto. Puede demostrarse también que la precisión de una diferencia no es mayor que la del número de menor exactitud.

Para sumar o sustraer números de diferentes órdenes, todos los números deben redondearse al orden del número de menor precisión. En el ejemplo anterior, 1,45 deberá redondearse a décimos: decir, 1,4.

Esta regla se aplica también a los decimales periódicos. Visto que es posible redondear un decimal periódico a cualquier punto deseado, el grado de precisión deberá estar determinado y todos los decimales periódicos serán redondeados a ese nivel. Entonces, para sumar los decimales originados por 1/3, 2/3 y 5/12, corregidos a la milésima, primero se redondea cada decimal a la milésima y luego se suma en la siguiente forma:

Cuando se emplea una fracción común para registrar el resultado de una medición, el denominador de la fracción indica el grado de precisión. Por ejemplo, una regla marcada en setenta y cuatro avos de pulgada tiene divisiones mucho más pequeñas que otra marcada en cuartos de pulgadas. Por tanto, una medida de 3 4/64 pulgadas es de mayor precisión que una medida de 3 1 /4 pulgadas, aun cuando las dos fracciones fueran numéricamente iguales. Recuerde que una medida de 3 4/64 pulgadas contiene un error probable de un medio de un sesenta y cuatro avo de pulgada solamente. Por otro lado, si la división más pequeña de la regla es un cuarto de pulgada, entonces una medición de 3 1/4 pulgadas contiene un error probable de un octavo de pulgada.

Exactitud

Aun cuando un número pudiera ser muy preciso, lo que indica que se midió con un instrumento que posee divisiones muy poco espaciadas, podría no ser muy exacto. La exactitud de una medición depende del tamaño relativo del error probable cuando se lo compara con la cantidad medida. Por ejemplo, pueden medirse los 50 metros de alcance de una pistola con cuidado suficiente para corregir al centímetro. Dado que hay 5000 cm en 50 metros, esta medida está comprendida entre 4999,5 cm y 5000,5 cm. Cuando se lo compara con el total de 5000 cm, el error probable de 0,05 cm no es muy grande.

Por otro lado, puede medirse un trozo de caño con mayor precisión y determinar que mide 3,2 metros de largo. El error probable aquí es 0,05 cm, y esta medida es más precisa que el alcance de la pistola mencionada antes. Para comparar la exactitud de las dos medidas, observamos que 0,05 cm de un total de 3,2 metros es lo mismo que 0,5 cm de un total de 32 metros. Comparando esto con el número obtenido en el otro ejemplo (0,5 cm de 5000) concluimos que la medición más exacta es en realidad la menos precisa de las mediciones consideradas.

Es importante tener en cuenta que la localización de la coma decimal no concierne a la exactitud del número. Por ejemplo, 1,25 pesos representa exactamente la misma cantidad de dinero que 125 centavos. Estas son formas de igual modo precisas de representar la misma cantidad, independientemente del hecho de que la coma decimal esté colocada de otra manera.

PRACTICA DE PROBLEMAS:

En cada uno de los siguientes problemas determine qué número de cada paso es más exacto y cuál es más preciso:

1. 3,72 centímetros o 2,417 metros.
2. 2,5 centímetros o 17,5 centímetros.
3. 5 3/4 pulgadas o 12 7/8 pulgadas.
4. 34,2 segundos o 13 segundos.

Respuestas:
1. 3,72 centímetros es más preciso; 2,417 metros es más exacto.
2. Los números son igualmente precisos; 17,5 cm es más exacto.
3. 12 7/8 es más preciso y más exacto.
4. 34,2 segundos es más preciso y más exacto.

PORCENTAJE DE ERROR

La exactitud de una medida está determinada por el ERROR RELATIVO. El error relativo es la relación entre el error probable y la cantidad medida. Esta relación es simplemente la fracción formada utilizando el error probable como numerador y la medición como denominador. Por ejemplo, supongamos que se determina que una plancha de metal mide 5,4 centímetros de largo, corregida al décimo de centímetro. El máximo error probable es cinco centésimos de centímetro (la mitad de un décimo de centímetro) y el error relativo se determina como sigue:

Entonces, el error relativo es 5 partes en 540.

El error relativo se expresa generalmente COMO ERROR PORCENTUAL. Cuando el denominador de la fracción que expresa la relación del error se divide por el numerador se obtiene un decimal. Este decimal convertido a por ciento da el porcentaje de error. Por ejemplo, el error en el problema anterior se establecería como 0,93 por ciento, puesto que la relación 5/540 se reduce a 0,0093 (redondeada) en la forma decimal.

DÍGITOS REPRESENTATIVOS

.La exactitud de una medición se suele describir en términos del número de dígitos significativos utilizados para expresarla. Si los dígitos del número resultante de una medición se examinan uno por uno comenzando por el dígito de la izquierda, el primer dígito distinto de cero es el primer dígito significativo. Por ejemplo, 2345 tiene cuatro dígitos significativos y 0,023 posee solamente dos dígitos significativos.

Los dígitos 2 y 3 en una medición tal como 0,023 cm significan cuántos milésimos de un cm comprende la medida. Los ceros no tienen significado en la especificación del número de milésimos en la medida. Su presencia se requiere tan sólo como "lugares" para colocar la coma decimal.

Una regla que se usa a menudo establece que los dígitos significativos de un número comienzan con el primer dígito no cero (contando de izquierda a derecha) y terminan con el último dígito. Esto implica que 0 puede ser un dígito significativo si no es el primer dígito del número. Por ejemplo, 0,205 cm es una medida que posee tres dígitos significativos. El 0 entre el 2 y el 5 es significativo porque constituye una parte del número que especifica cuántos milésimos hay en la medida.

La regla establecida en el párrafo anterior olvida clasificar los ceros finales de la derecha. Por ejemplo, en un número tal como 4700 el número de dígitos significativos sería dos, tres o cuatro. Si los ceros simplemente localizan la coma decimal (es decir, muestran que el número es cuarenta y siete cientos en vez de cuarenta y siete), entonces el número de dígitos significativos es dos. Sin embargo, si el número 4700 representa un número tal como 4703 redondeado al centenar hay tres dígitos significativos. El último cero localiza simplemente el punto decimal. Si el número 4700 representa un número tal como 4700,4, redondeando, entonces el número de dígitos significativos es cuatro.

A no ser que sepamos en qué forma se midió un número particular, a veces es imposible determinar cuándo los dígitos de la derecha son el resultado de redondear. Sin embargo, en una situación de práctica normalmente es posible obtener una fracción acerca de los instrumentos utilizados y el grado de precisión de los datos originales antes de realizar un redondeo.

En un número tal como 49,30 cm es razonable suponer que el cero en el lugar de los centésimos no se habría colocado si no fuera significativo. En otras palabras, el instrumento usado para la medición podría leer hasta las centésimas de cm, El cero a la derecha es entonces significativo. Esta conclusión puede lograrse de otra forma observando que el cero en 49,30 no es necesario como lugar para colocar la coma decimal. Por tanto, su presencia debe tener algún otro significado.

Los hechos concernientes a los dígitos significativos pueden resumirse como sigue:

1. Los dígitos diferentes de cero son siempre significativos.
2. Cero es significativo cuando está ubicado entre los dígitos significativos.
3. Todo cero final a la derecha de la coma es significativo.
4. Cuando un cero está presente sólo como lugar para localizar la coma decimal no es significativo.
5. Las siguientes categorías comprenden los dígitos significativos de cualquier número medido:
a. El primer dígito no cero de la izquierda es significativo.
b. El dígito que indica la precisión del número es significativo. Este es el dígito más alejado de la derecha, excepto cuando el dígito de la derecha es cero. Cuando cero puede ser sólo un lugar en el caso de un número entero.
e. Todos los dígitos entre dígitos significativos son significativos.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

Determinar el por ciento de error y el número de dígitos significativos en cada una de las siguientes medidas:

1. 5,4 pies.
2. 0,00042 pulgadas.
3. 4,17 seg.
4. 147,50 millas.
Respuestas:
1. Porcentaje de error: 0,93 % ; dígitos significativos: 2.
2. Porcentaje de error: 1,19% ; dígitos significativos: 2.
3. Porcentaje de error: 0,12 % ; dígitos significativos: 3.
4. Porcentaje de error: 0,0034%; dígitos significativos: 5.

Cálculos con números aproximados

Los conceptos de precisión y exactitud forman las bases para las reglas que gobiernan el cálculo con números aproximados (números resultantes de mediciones).

ADICIÓN Y SUSTRACCION

Una suma o diferencia nunca puede ser más precisa que el número menos preciso del cálculo. Por consiguiente, antes de sumar o sustraer números aproximados deberán redondearse todos al grado del número menos preciso en el grupo a combinar. Por ejemplo, los números 2,95; 32,7 y 1,414 se redondearían a las décimas antes de sumar, como sigue:

Cuando se multiplican dos números el resultado posee a menudo varios dígitos más que cualquiera de los factores originales. La división también produce con frecuencia más dígitos en el cociente que los que poseen los datos originales, si aquélla se efectúa a varios lugares decimales.

Resultados tales como estos parecerían tener más dígitos significativos que los de las mediciones originales que los produjeron, dando la falsa impresión de mayor exactitud que la justificada. Para corregir esta situación se emplea la siguiente regla:

A fin de multiplicar o dividir dos números aproximados que poseen una cantidad igual de dígitos significativos se redondea la respuesta al mismo número de dígitos significativos que tienen los datos originales. Si uno de los factores originales. posee más dígitos significativos que el otro se redondea el número más exacto antes de multiplicar. Se lo redondeará con un dígito más significativo que el que aparece en el número de menor exactitud; el dígito extra protege a la respuesta del efecto de este redondeo múltiple. Después de realizar la multiplicación o división se redondea el resultado al mismo número de dígitos significativos que aparece en el factor original menos preciso.

PRÁCTICA DE PROBLEMAS:

1. Determinar la suma de los lados de un triángulo en el cual las longitudes de los tres lados son como sigue: 2,5 cm, 3,72 cm y 4,996 cm.
2. Determinar el producto de la longitud y el ancho de un rectángulo que tiene 2,95 m de largo y 0,9046 m de ancho.

Respuestas:

1. 11,2 cm
2. 2,67 m²