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Representación gráfica de funciones de una variable


 

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PROGRAMA. - Coordenadas cartesianas ortogonales. Abscisas y coordenadas.  Signos de las mismas. Dado un punto del plano hallar sus coordenadas  y recíprocamente. Variables. Función y  argumento. Variaciones de la función y = a/x.  Tabla de valores. Representación  gráfica.  Representación  gráfica de la función lineal. Verificación de que los puntos representativos de 1os pares de valores correspondientes pertenecen a una misma recta y recíprocamente. Regla práctica para representar gráficamente una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Su aplicación a la resolución de sistemas de  ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Gráficas de conversión de monedas.


DEFINICIONES. - Dada una recta X'X, llamada eje, un punto  cualquiera O de la misma llamado origen, y un segmento arbitrario U como unidad, se llama abscisa de un punto cualquiera A del eje XX' a la medida, con respecto a la unidad U, del segmento OA determinado por dicho punto A con el origen O. Dicha medida lleva el signo + o el -, según que el punto A pertenezca a una u otra de las semirrectas determinadas por O en XX'.

Observación,-Las abscisas de los puntos de un eje son números.

De la definición de abscisa resulta que: A cada punto de un eje le corresponde un número y sólo uno, su abscisa.

Recíprocamente: A cada número le corresponde sobre un eje un punto, y sólo uno, que lo tiene por abscisa.

En efecto: Dados un segmento U y un número real α, existe un segmento y solo uno cuya medida con respecto a U es igual a α.

1. Coordenadas, cartesianas ortogonales: abscisas y ordenadas. - DEFINICIÓN, - Consideremos los ejes XX' e YY' que tengan el origen común O y sean perpendiculares, se da el nombre de coordenadas cartesianas ortogonales de un punto cualquiera M del plano de esos ejes, a las abscisas de las  proyecciones de dicho punto sobre cada uno de los ejes.

Definiciones. - Al eje XX' se lo llama eje de las «equis»· o de las abscisas y se lo toma, generalmente, horizontal; y al YY' se lo llama eje de las «íes» o de las ordenadas.

NOTACIÓN. M (x / y) significa que el punto M tiene por abscisa x y por ordenada y.

Así, para el punto M de la figura anterior, se tiene M (4/3).

2. Signos de las coordenadas. - Las semirrectas determinadas sobre cada uno de los ejes por el origen de los mismos, se llaman semi-ejes, y convendremos en que:

El plano de dos ejes coordenados queda dividido por éstos en cuatro ángulos que se llaman cuadrantes. El ángulo que tiene por lados los semi-ejes positivos OX y OY se llama primer cuadrante y los puntos interiores del mismo tienen abscisa y ordenada positivas. El ángulo que tiene por lados a los semi-ejes OY y OX' se llama segundo cuadrante y sus puntos interiores  tienen abscisa negativa y ordenada positiva. El ángulo que tiene por lados a los semi-ejes  OX' y OY' se llama tercer cuadrante y sus puntos interiores tienen abscisa y ordenada negativas. El cuarto cuadrante es el ángulo que tiene por lados a los semi-ejes OY' y OX, y sus puntos interiores tienen abscisa positiva y ordenada negativa.

3. Dado un punto del plano hallar sus coordenadas. – De acuerdo con la definición de abscisas y ordenadas resulta: que a todo punto del plano de dos ejes coordenados, le corresponde un par ordenado de números reales, sus coordenadas.

Para obtener esas coordenadas basta proyectar, como dijimos, el punto dado sobre los ejes y medir con las unidades prefijadas, las abscisas de esas proyecciones.

Así, por ejemplo: dado el punto P del plano de los ejes XX' e YY', trazamos por el PP'  XX' y PP"    YY', y como la unidad u está contenida 3 veces en OP' y 4 veces en OP" resulta: abscisa de P = 3 y ordenada de P = 4; luego P (3/4). 

       

Puede evitarse la proyección del punto sobre uno de los ejes, el de las íes por ejemplo, observando que PP' = OP" y que, por lo tanto, para obtener la ordenada de P basta medir PP' en lugar de OP".

Puede omitirse también el trazado de las perpendiculares PP' y PP", utilizando papel cuadriculado, tomando como ejes dos líneas del cuadriculado, perpendiculares entre sí, y como unidad uno o varios lados de la cuadrícula.

Procediendo de esta manera hemos hallado a simple vista que: B (-3/5), puesto que desde el origen  hasta el punto de intersección de XX' con la paralela a YY' que pasa por B, se cuentan 3 lados de cuadrículas sobre OX', y desde el origen O hasta el punto de intersección de YY' con la paralela a XX' que pasa por B se cuentan, sobre OY, 5 de esos lados.

En forma análoga se ha encontrado que C (-4/0); D(-3/-2); E (-1/-4) y F(3/-5).

En la práctica se usa, también, el papel milimetrado, cuyas cuadrículas tienen 1 mm de lado. Además están marcadas en él, con trazos más gruesos, las líneas separadas de 5 mm, 1 cm y 5 cm.

Para representar sobre este papel; conviene tomar como ejes coordenados dos de las líneas perpendiculares más gruesas.


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