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Trigonometría - Funciones trigonométricas

 


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PROGRAMA - Definiciones de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Cálculo aproximado de las funciones trigonométricas. Tablas de valores naturales: su manejo. Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo. Resolución de triángulos rectángulos. Aplicaciones.


Definiciones

Si hacemos coincidir el origen de un sistema de ejes coordenados cartesianos son el vértice de un ángulo cualquiera, de modo que el lado inicial del ángulo esté sobre el semi-eje positivo, de las equis y el lado terminal en un cuadrante cualquiera, entonces se dice que ese ángulo está en posición ordinaria.

Si el lado terminal de un ángulo en posición ordinaria está en cierto cuadrante, también se dice que el ángulo está en dicho cuadrante. Así en la figura siguiente el ángulo positivo Θ "theta" está en posición ordinaria y se dice que está en el tercer cuadrante.

Ejemplo 1. Consideremos los ángulos 60° + n . 90°, siendo n un número entero. Si n = 0 el ángulo es de 60° y se halla en el primer cuadrante; si n = 1 el ángulo es de 150° y se halla en el segundo cuadrante; si n = 2 el ángulo es de 240° y se halla en el tercer cuadrante; si n = 3 el ángulo es de 330° y se halla en el cuarto cuadrante y así sucesivamente.

Ángulos cooterminales. Los ángulos que estando en posición ordinaria tienen el mismo lado terminal se dice que son cooterminales por ejemplo los ángulos de 45°, 405° y -315° son  cooterminales.

Ángulo de referencia. Si un ángulo está en posición ordinaria, uno de los ángulos comprendidos entre su lado terminal y el eje de las equis será un ángulo agudo y positivo o ángulo recto o ángulo nulo. Un ángulo descrito de esta manera se dice que es un ángulo de referencia para el ángulo Θ, por ejemplo el ángulo de referencia para el ángulo de 135° es el ángulo de 45°; el ángulo referencia para el ángulo de 210° es el ángulo de 30°.

En conclusión: el ángulo de referencia para un ángulo Θ es el menor ángulo no negativo comprendido entre el lado terminal de Θ y el eje de las equis, cuando Θ está en posición ordinaria.

Razones trigonométricas de un ángulo en posición ordinaria

Consideremos un ángulo Θ en posición ordinaria y tomemos en el lado terminal un punto P(x, y), siendo x, y números reales, tracemos la recta MP perpendicular a la recta OM, como se indica en las figuras siguientes, el lado terminal puede estar en cualquiera de los cuatro cuadrantes.

Se tiene que x = OM; y = MP y r = OP en donde r es la distancia del origen O al punto P siendo siempre positiva. Entonces para un ángulo Θ de cualquier amplitud, las razones siguientes, llamadas razones trigonométricas representan números reales, se definen así:

Ejemplo 2. Calcular las razones trigonométricas del ángulo XOP = Θ, si el punto P tiene de coordenadas (2, 5)

2. Signos de las razones trigonométricas

Hemos definido el seno de un ángulo como la razón de la ordenada a la distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera del lado terminal del ángulo. Como la distancia r siempre es positiva, sen Θ tendrá el mismo signo algebraico de la ordenada del punto, por tanto sen Θ es positivo cuando el ángulo está en el primero o segundo cuadrante y negativo cuando el ángulo está en el tercero y cuarto cuadrante. De igual manera se puede determinar los signos algebraicos de las otras razones, referidos al ángulo Θ . El siguiente cuadro resume los signos de las razones trigonométricas.

Hemos visto que, cuando un ángulo Θ, en posición ordinaria es agudo, la abscisa, la ordenada y la distancia del origen a cualquier punto del lado terminal forman un triángulo rectángulo, en el cual el ángulo Θ es uno de los ángulos agudos. Por consiguiente un ángulo agudo de un triángulo rectángulo se puede sonsiderar en posición ordinaria respecto a un sistema de ejes coordenados.

1. Las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. – Consideremos un ángulo agudo ABC. Si sobre uno cualquiera de sus lados, el BC por ejemplo, tomamos puntos C, C', C", etc., y por ellos trazamos las perpendiculares CA, C'A', C"A", etc., al otro lado AB del ángulo dado, se forman triángulos rectángulos.

por el teorema fundamental de semejanza;

luego como los lados homólogos son proporcionales resulta que se pueden establecer series de razones iguales entre los catetos opuestos o adyacentes al ángulo común B y las hipotenusas correspondientes, o entre los catetos de cada triángulo entre sí; con lo que resulta

Las expresiones anteriores nos dicen que dado un ángulo agudo son constantes: las razones entre un cateto opuesto o adyacente al mismo y la hipotenusa;  o las razones entre esos catetos, de cualquier triángulo rectángulo que tenga como uno de sus ángulos agudos al dado. Estas razones toman nombres particulares de acuerdo con las siguientes definiciones:

DEFINICIÓN DEL SENO. - Se llama seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa.

En símbolos: Designando a los lados de un triángulo con la letra minúscula del mismo nombre que  su  ángulo opuesto, y con sen  al seno de un ángulo, tendríamos

sen B y sen C se leen seno de B y seno de C respectivamente.

DEFINICIÓN DE COSENO - Se llama coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo a la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa.

cos B y cos C se leen coseno de B y coseno de C respectivamente

DEFINICIÓN DE LA TANGENTE. - Se llama tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a dicho ángulo.

tg B y tg C se leen tangente dc B  y  tangente de C, respectivamente.

DEFINICIÓN DE LA COTANGENTE. - Se llama cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto a dicho ángulo.

 

cotg B y cotg C se leen cotangente de B y cotangente de C, respectivamente.

De todo lo anterior se deduce que no importa en qué posición o cuadrante se encuentre un triángulo rectángulo, pues siempre las razones trigonométricas de los ángulos agudos se pueden expresar en términos de los catetos y de la hipotenusa.

2, Cálculo aproximado de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo empleando el transportador y la regla graduada.

Sea, por ejemplo, calcular el sen, cos, tg y cotg de un ángulo de 64º 30'. Dibujamos con ayuda del transportador  y de la regla el ángulo dado, llevamos sobre uno de los lados, a partir del vértice, un segmento de longitud conveniente, por ejemplo BC = 3 cm (30 cm si se tratara de una figura en el pizarrón), trazamos por el punto C obtenido la  perpendicular al otro lado del ángulo, y queda construido el triángulo rectángulo BAC que tiene como uno de sus ángulos agudos al ángulo  B = 64°30'

 

Observaciones –

I . Como la razón entre dos segmentos es un número abstracto, resulta que :

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo agudo son números abstractos.

II- Como cada cateto de un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa del mismo, resulta que:

El seno y el coseno de un ángulo agudo son números menores que 1.

III- Como el cateto puede ser mayor, igual o menor que el otro, resulta que:

La tangente y la cotangente de un  ángulo agudo son números que pueden ser mayores, iguales o menores que 1.

IV. Como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios y el cateto opuesto a un  ángulo agudo resulta adyacente al otro y recíprocamente, se tiene:

El seno y la tangente de un ángulo son respectivamente iguales al coseno y a la cotangente de su complemento y recíprocamente.

En símbolos: Como B y C son complementarios, sen B = cos C; cos B = sen C; tg B = cotg C; cotg B = tg C.

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo son cuatro de las llamadas funciones trigonométricas del mismo ( las otras dos funciones trigonométricas de un ángulo son la secante y la cosecante que son los números inversos del coseno y del seno, respectivamente, de esos ángulos).

3. Razones trigonométricas de ángulos "especiales": 30°, 45° y 60°

Los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo se pueden calcular con tanta exactitud como se desee; pero con tres cifras decimales es suficiente para obtener una buena aproximación.

Sin embargo para ciertos ángulos se pueden hallar los valores exactos de las razones trigonométricas por geometría elemental, tales ángulos son los de 30°, 45° y 60°, como veremos enseguida.

A. Ángulo de 30°

Consideremos un ángulo de 30° en posición ordinaria y en el lado terminal tomemos un punto P de modo que PBOB. Por geometría se sabe que PB, lado opuesto al ángulo de 30°, es la mitad de la hipotenusa OP en el triángulo rectángulo POB.

Tomando y = PB = 1 unidad, entonces r = OP = 2 unidades; y x = OB = √3 unidades. Por definición se tiene:

B. Ángulo de 45°

Consideremos un ángulo de 45° en posición ordinaria y en el lado terminal tomemos un punto P de modo que PBOB

El triángulo rectángulo POB es isósceles por tanto: OB = PB.

Tomando las coordenadas de P como (1, 1), resulta r = √2; entonces por defición se tiene:

C. Ángulo de 60°

Como en los casos anteriores, consideremos en posición ordinaria un ángulo de 60° y en el lado terminal tomemos un punto P de modo que PBOB.

Teniendo en cuenta las consideraciones hechas para el ángulo de 30°, tenemos que si x = OB= 1, entonces OP = r = 2; y = PB = √3

D. Aplicación

Las razones trigonométriéas de los ángulos especiales ofrecen gran ventaja para hallar las razones de cualquier ángulo, para el cual sean ángulos de referencia, teniendo en cuenta el signo de las coordenadas x, y en los cuadrantes en donde pueda encontrarse el ángulo. Para lo cual se debe dibujar un triángulo en el que aparezca ya sea el ángulo de 30°, de 45° o de 60°.

Ejemplo 3. Hallar las razones trigonométricas del ángulo 210°.

Solución: consideremos el ángulo dado en posición ordinaria y en el lado terminal tomemos el punto P(x, y) y tracemos PBOB.

El ángulo de referencia es un ángulo de 30° y las coordenadas del punto P son (- √3, - 1 ) y r = 2.

Por definición:

 

 


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