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Trigonometría - Funciones trigonométricas


 

 


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PROGRAMA - Definiciones de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Cálculo aproximado de las funciones trigonométricas. Tablas de valores naturales: su manejo. Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo. Resolución de triángulos rectángulos. Aplicaciones.


1. Las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. – Consideremos un ángulo agudo ABC. Si sobre uno cualquiera de sus lados, el BC por ejemplo, tomamos puntos C, C', C", etc., y por ellos trazamos las perpendiculares CA, C'A', C"A", etc., al otro lado AB del ángulo dado, se forman triángulos rectángulos.

por el teorema fundamental de semejanza;

luego como los lados homólogos son proporcionales resulta que se pueden establecer series de razones iguales entre los catetos opuestos o adyacentes al ángulo común B y las hipotenusas correspondientes, o entre los catetos de cada triángulo entre sí; con lo que resulta

Las expresiones anteriores nos dicen que dado un ángulo agudo son constantes: las razones entre un cateto opuesto o adyacente al mismo y la hipotenusa;  o las razones entre esos catetos, de cualquier triángulo rectángulo que tenga como uno de sus ángulos agudos al dado. Estas razones toman nombres particulares de acuerdo con las siguientes definiciones:

DEFINICIÓN DEL SENO. - Se llama seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa.

En símbolos: Designando a los lados de un triángulo con la letra minúscula del mismo nombre que  su  ángulo opuesto, y con sen  al seno de un ángulo, tendríamos

sen B y sen C se leen seno de B y seno de C respectivamente.

DEFINICIÓN DE COSENO - Se llama coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo a la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa.

cos B y cos C se leen coseno de B y coseno de C respectivamente

DEFINICIÓN DE LA TANGENTE. - Se llama tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a dicho ángulo.

tg B y tg C se leen tangente dc B  y  tangente de C, respectivamente.

DEFINICIÓN DE LA COTANGENTE. - Se llama cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto a dicho ángulo.

 

cotg B y cotg C se leen cotangente de B y cotangente de C, respectivamente.

2, Cálculo aproximado de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo empleando el transportador y la regla graduada.

Sea, por ejemplo, calcular el sen, cos, tg y cotg de un ángulo de 64º 30'. Dibujamos con ayuda del transportador  y de la regla el ángulo dado, llevamos sobre uno de los lados, a partir del vértice, un segmento de longitud conveniente, por ejemplo BC = 3 cm (30 cm si se tratara de una figura en el pizarrón), trazamos por el punto C obtenido la  perpendicular al otro lado del ángulo, y queda construido el triángulo rectángulo BAC que tiene como uno de sus ángulos agudos al ángulo  B = 64°30'

Observaciones – I . Como la razón entre dos segmentos es un número abstracto, resulta que :

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo agudo son números abstractos.

II- Como cada cateto de un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa del mismo, resulta que:

El seno y el coseno de un ángulo agudo son números menores que 1.

III- Como el cateto puede ser mayor, igual o menor que el otro, resulta que:

La tangente y la cotangente de un  ángulo agudo son números que pueden ser mayores, iguales o menores que 1.

IV. Como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios y el cateto opuesto a un  ángulo agudo resulta adyacente al otro y recíprocamente, se tiene:

El seno y la tangente de un ángulo son respectivamente iguales al coseno y a la cotangente de su complemento y recíprocamente.

En símbolos: Como B y C son complementarios, sen B = cos C; cos B = sen C; tg B = cotg C; cotg B = tg C.

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo son cuatro de las llamadas funciones trigonométricas del mismo ( las otras dos funciones trigonométricas de un ángulo son la secante y la cosecante que son los números inversos del coseno y del seno, respectivamente, de esos ángulos).


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