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Trigonometría - Funciones trigonométricas

 


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Resolución de triángulos rectángulos

Todo triángulo ya sea rectángulo o no tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. El proceso por medio del cual se buscan los elementos desconocidos en un triángulo se dice que es "resolver" el triángulo. En la presente página sólo nos ocuparemos de los triángulos rectángulos.

Como en un triángulo rectángulo el ángulo recto es uno de los elementos conocidos, entonces para resolver un triángulo rectángulo, necesariamente se deben conocer otros dos elementos, de los cuales uno de ellos debe ser un lado.

En lo que sigue a, b, y c representarán la altura, la base y la hipotenusa respectivamente; A, B y C los ángulos opuestos a los lados respectivos, hasta que no se diga lo contrario.

La solución de un triángulo ABC, depende entonces de las siguientes relaciones, las dos primeras resultan de la geometría y las ocho restantes de las razones trigonométricas.

Ejemplo. Resolver el triángulo rectángulo ABC con A = 25° y b = 3,245.

Ver la figura anterior.

Solución: A + B = 90°; como A= 25°, entonces B = 90°- A= 65°

Para encontrar el lado a debemos usar una fórmula que nos relacione el elemento a con dos elementos conocidos, esto es:

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un ángulo

Consideremos un ángulo θ en posición ordinaria, es evidente que para θ en cualquier cuadrante se verifica:

x2 + y2 = r2 (I)

Dividiendo (I) por r2 resulta:

También, a partir de las razones trigonométricas son evidentes las siguientes razones recíprocas (inversos multiplicativos).

Las ocho fórmulas anteriores se denominan identidades, puesto que son verdaderas para cualquier ángulo, también se les conoce como identidades fundamentales o fórmulas.

Ejemplo.

Dado sen θ = 1/2 y θ en el primer cuadrante, determinar las otras razones por medio de las fórmulas fundamentales.

Solución:

Razones trigonométricas para ángulos positivos comprendidos entre 90° y 180°

Consideremos un ángulo θ en el segundo cuadrante y sea:

θ'= 180° - θ

Por definición :

etc.

Donde x es negativa, Y y r positivas.

Las razones trigonométricas del ángulo θ son iguales, en valor absoluto, a las razones del ángulo θ', si tenemos en cuenta el signo, resulta:

 

Razones trigonométricas para ángulos positivos comprendidos entre 180° y 270°

Ahora consideremos un ángulo θ en el tercer cuadrante y sea θ'= θ - 180° como en el caso anterior, las razones para el ángulo θ son, en valor absoluto, iguales a las del ángulo θ'; teniendo en cuenta el signo se tiene:

sen θ= - sen θ; cos θ = - cos θ'; tan θ = tan θ'

cot θ = cot θ'; sec θ = - sec θ'; csc θ = - csc θ'

Ejemplo

sen 230° = -sen (230° - 180°) = - sen 50°

cos 230° = - cos (230° - 180°) = - cos 50°

tan 230° = tan (230° - 180°) = tan 50°; etc.

Construcción de un ángulo dado su seno, su coseno o su tangente. -

PROBLEMA I. - Construir un ángulo agudo β sabiendo que sen β = 0,53.

SOLUCIÓN. - De acuerdo con la definición de seno, se tiene:

lo que nos dice que para obtener el ángulo pedido basta construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa a valga, por ejemplo, 10 cm, y uno de sus catetos b = 5,3 cm y tomar el ángulo opuesto a ese cateto, pues en él es

PROBLEMA II. - Construir un ángulo agudo β sabiendo que cos  β = 0,5.

SOLUCIÓN: Siendo

basta construir un triángulo rectángulo BAC, cuya hipotenusa a sea el doble de uno de sus catetos y tomar el ángulo agudo adyacente a él. En la figura resulta β = 60·.

PROBLEMA III. - Construir un ángulo agudo β sabiendo que tg β = 1,6.

basta construir un triángulo rectángulo BAC en el cual el cateto b sea igual a 1,6  veces el cateto c y   tomar el ángulo opuesto al primer cateto.

En la figura se tomó el cateto c = 2cm y el  b = 2 cm x 1,6 = 3,2cm

y resultó β ≈ 58º .

Tabla de los valores naturales de las funciones trigonométricas.

En la actualidad los valores de las funciones trigonométricas se obtienen rápidamente por el uso de calculadoras o de software de computadoras, ámpliamente disponibles en el ambiente académico, pero si no se dispone de la tecnología, en la práctica se calculan los valores aproximados de las funciones trigonométricas no por el procedimiento anterior, sino que se emplean las Tablas de valores naturales. Se llaman así a los cuadros donde están consignados los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 0º a 90º. Como en  general los valores de estas funciones son números irracionales, por ejemplo

tg 60° = 3 = 1,7320508076... , etc.

las tablas citadas sólo dan las primeras cifras de dichos números,  es decir, valores aproximados de las funciones.

Damos por separado la tabla de valores naturales de las funciones trigonométricas de los ángulos de 0° a 90°, de 10 en 10 minutos, con menor error que un diez milésimo.

En ellas puede observarse que cuando un ángulo aumenta de 0° a 90° aumentan sus funciones (seno y tangente) y disminuyen sus cofunciones (coseno y cotangente).

Manejo de tablas. - PROBLEMA DIRECTO. - Dado un ángulo hallar el valor de una de sus  funciones trigonométricas. - El valor de una de las funciones trigonométricas de un ángulo menor que 45° se encuentra en la intersección de la columna encabezada por el nombre de la función cuyo valor se busca, con la fila que comienza por el número de grados y minutos de dicho ángulo.

EJEMPLOS:

sen 18° 20' = 0,3145 ; tg 29° 0' = 0,5543 ; cotg 31° 50' = 1,6107.

Si un ángulo es mayor que 45°, los valores de sus funciones se encuentran como en el caso anterior, pero buscando el nombre de la función en la parte inferior de las columnas y el número de grados y minutos en la columna de la derecha.

EJEMPLOS:

sen 58° 10' = 0,8496 ; cotg 72° 40' = 0,3121 ; cos 83° 30' = 0,1132.

Si el ángulo está expresado en grados y minutos y el número de estos últimos no figura en la tabla, se puede hallar, también con esa tabla, un valor aproximado de una de sus funciones trigonométricas, mediante un procedimiento que se llama interpolación, y cuyo detalle se explica en los ejemplos siguientes:

EJEMPLO I- Hallar el sen 38° 24'.

El ángulo dado no figura en la tabla, pero como está comprendido entre 37° 20' y 37° 30', resulta que el seno buscado está comprendido entre los de esos dos ángulos. Como de la tabla se saca que

observamos que cuando el ángulo aumenta de l0' el seno aumenta de 23 diez milésimos, luego cuando sólo aumenta 4', si se admite que el seno sufre un aumento proporcional x, se tiene:

EJEMPLO III. - Hallar el cos 66° 45'.

Razonando como en el caso anterior y adoptando la misma disposición práctica., tendríamos:

Hemos restado 14 diez milésimos correspondientes a los 5', porque cuando un ángulo comprendido entre  0º y 90º aumenta, su coseno disminuye.

PROBLEMA RECÍPROCO  - Dado el valor de una de las funciones trigonométricas de un ángulo hallar dicho ángulo.

Por ejemplo sen X = 0,6361, se puede hallar el ángulo X, buscando en las columnas de los senos el valor de sen X, Si dicho valor se encuentra en la columna que lleva el nombre sen en la parte superior, el número de grados y minutos que le corresponden es el indicado al comienzo de la fila  que lo contiene, Para este ejemplo resulta X = 39°30'.

Si en cambio el valor dado se encuentra en la columna que lleva el nombre de la función en la parte inferior, el número de grados y minutos que le corresponden es el indicado al final de la fila que lo contiene, Así, por ejemplo, si cotg Y = 0,7646 es Y = 54° 56'. Si el valor de la función  trigonométrica del ángulo buscado no está en la tabla, puede hallarse un valor aproximado de ese ángulo mediante una interpolación, como indicamos en los ejemplos siguientes:

EJEMPLO I -Hallar X sabiendo que tg X = 0,4708,

Procediendo como en los ejemplos anteriores nos encontramos en la tabla la tg dada, pues vemos que está comprendida entre los valores 0,4699 y 0,4734,

Pero como a 0,4699 corresponde el ángulo de 25° 10'
               y a 0,4734 corresponde el ángulo de 25° 20'

Como la diferencia entre las tangentes de esos ángulos es de 35 diez milésimos, observamos que cuando la tangente aumenta 35 diez milésimos el ángulo aumenta 10', luego cuando esa tangente aumente 9 diez milésimos (diferencia entre la tangente dada y la menor de las que la comprenden en la tabla) se admite que dicho ángulo sufrirá un aumento proporcional y, es decir

En la práctica se adopta una disposición análoga a la del problema directo como se indica a continuación.

EJEMPLO II. - Hallar X sabiendo que cos X = 0,3764.

Razonando como en el ejemplo anterior y adoptando la misma disposición práctica, tendríamos:

Hemos restado los 3' correspondientes a los 9 diez milésimos de diferencia entre el coseno dado y el menor de los que lo comprenden en la tabla, porque cuando un ángulo comprendido entre 0° y 90°. aumenta, su coseno disminuye.

TABLA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

 

 


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