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Trigonometría - Funciones trigonométricas

 


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5. Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo.

- Consideremos el triángulo rectángulo BAC, se tiene que

es

por definición de razón.

Luego: Un cateto de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto a dicho cateto.

Luego: Un cateto de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por el coseno del ángulo adyacente a dicho cateto.

Luego: Un cateto de un triángulo rectángulo es igual al producto del otro cateto por la tangente del ángulo opuesto al primero.

Luego: Un cateto de un triángulo rectángulo es igual al producto del otro cateto por la cotangente del ángulo adyacente al primero.

6. Cálculo de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo conociendo otro lado y un ángulo agudo.

- PROBLEMA I. Calcular con los datos del croquis, que representa un triángulo rectángulo, los catetos b y c y el ángulo C.

PROBLEMA II. - Calcular con los datos del croquis, que representa a un triángulo rectángulo, la hipotenusa a, el cateto b y el ángulo D.

Razones trigonométricas para ángulos negativos

Consideremos los ángulos Θ en el primer cuadrante y su opuesto - Θ en el cuarto cuadrante, siendo

x' = x ;

y'= -y ;

r = r ;

por definición se tiene:

En cualquier cuadrante podemos considerar el ángulo Θ y trazar su opuesto.

De esta manera las fórmulas anteriores son válidas en forma general.

Ejemplo.

sen (- 150°) = -sen 150° = -sen ( 180°- 150°) = - sen 30°

Seno y coseno de la suma de dos ángulos

Sea el ∠ XOB = α "α: alfa" y ∠ BOC = β "β: beta" de modo que α, β y + β) son ángulos agudos.

Tomemos en la figura siguiente, un punto P en el lado terminal OC y tracemos PH OX, PDOP, DMOX y DEPH.

Entonces resulta: Δ MOD ≈ Δ EDP puesto que sus lados son mutuamente perpendiculares, entonces ∠ E PD = α

Ahora por definición:

por tanto:

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

Ejemplo.

sen (30° + 60°) = sen 30° cos 60° + cos 30° sen 60°

Seno y coseno de la diferencia de dos ángulos

sen (α - β) =sen [α + (- β)] =sen α cos (- β) +cos α sen (- β)

pero

cos (- β) = cos β y sen (- β) = -sen β

sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β

Asimismo:

cos (α - β) = cos [α+ (- β)] = cos α cos (- β) - sen α sen (- β)

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

Las fórmulas anteriores son válidas para cualesquiera sean los valores de los ángulos α y β

Tangente y cotangente de la suma de dos ángulos

Vimos que para cualquier ángulo Θ se tiene:

Dividiendo numerador y denominador por cos α cos β se tiene:

También hemos visto que

entonces para un ángulo α+ β se tiene:

D!vidiendo numerador y denominador por sen α sen β se tiene:

 

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